Matematyka dla liceum/Trygonometria/Tożsamości trygonometryczne: Różnice pomiędzy wersjami

 

=== Podstawowe tożsamości trygonometryczne ===

<math>\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1</math>

 

 

==== Dowód prawdziwości <math>\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1</math>: ====

<math>\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left ( \frac{a}{c} \right )^2 + \left ( \frac{b}{c}\right )^2 = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1</math>

 

 

==== Dowód prawdziwości <math>\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}</math> ====

<math>tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{ \frac{a}{c} }{ \frac{b}{c} } =

\frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a}{b} </math>

 

==== Dowód prawdziwości <math>ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}</math> ====

<math>ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{ \frac{b}{c} }{ \frac{a}{c} } =

\frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = \frac{b}{a} </math>

 

==== Dowód prawdziwości <math>tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1</math> ====

<math>tg\alpha \cdot ctg\alpha = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1</math>

 

=== Pozostałe tożsamości trygonometryczne ===

 

{{Matematyka dla liceum/Poziom rozszerzony}}

<math> \sin ( \alpha + \beta ) = \sin\alpha\cdot\cos\beta + cos\alpha\cdot\sin\beta</math>

 

 

==== sumy i różnice funkcji trygonometrycznych ====

Dla dowolnych kątów o miarach <math>\alpha</math> i <math>\beta</math>

 

<math> \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} </math>

 

 

 

 

==== funkcje kąta podwójnego ====

<math> \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha </math>