Wikibooks

Metody matematyczne fizyki/Rachunek tensorowy: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017
Nie podano opisu zmian
Linia 202:
==Pochodna kowariantna wielkości o współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych==
Aby udowodnić wzór na pochodną tensorową na dowolną wielkość tensorową, należy skorzystać z definicji wielkości absolutnej z poprzedniego rozdziału, czyli ze wzoru z punktu {{linkWzór|2.61}}, dla której różniczka zupełna wielkości absolutnej wyraża się przez:
{{IndexWzór|<MATH>dA=d\left[\left(A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)\right]=d\left(A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}\right)\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\;</MATH><BR><MATH>+\left(\sum^r_{q=1}A^{...,k_{q-1},k_q,k_{q+1},...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}de_{k_q}\prod^r_{i=1,i\neq q}e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\;</MATH><BR><MATH>+\left(\sum^m_{q=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{q-1},r_q,r_{q+1},...}de^{r_q}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1,i\neq q}e^{r^i}\right)\;</MATH>|2.62}}
Teraz skorzystajmy z definicji symboli Christofela, czyli ze wzorów {{LinkWzór|2.24}} i {{LinkWzór|2.25}}, aby dojść do wniosku, że różniczki zupełne wektorów kowariantnych i kowariantnych wyrażają się jak poniżej:
{|width=100%|-
Linia 209:
|}
A zatem wzór na różniczką wielkości A przedstawia się na podstawie wzoru {{linkWzór|2.62}} do którego podstawiamy dwie tożsamości {{LinkWzór|2.63}} i {{LinkWzór|2.64}}, wtedy dostajemy:
{{IndexWzór|<MATH>dA={{\partial A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}}\over{\partial x^l}}dx^l\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\sum^r_{i=1} A^{...,k_{i-1},q,k_{i+1},...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}{\Gamma^{k_i}}_{lq}dx^l\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}+\;</MATH><BR><MATH>-\sum^m_{i=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}{\Gamma^{q}}_{lr_i}\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}dx^l\right)\;</MATH>|2.65}}
Jeśli wzór {{LinkWzór|2.65}} podzielimy przez wielkość ''du'', dalej grupując wyrazy w nawiasie, a poza nawiasem umieścimy pochodne wielkości x<sup>l</sup> względem wielkości ''u'' i iloczyn wszystkich wektorów kowariantnych i kontrawariantnych, otrzymamy:
{{IndexWzór|<MATH>{{dA}\over{du}}=\left({{\partial A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}}\over{\partial x^l}}+\sum^r_{i=1}A^{...,k_{i-1},q,k_{i+1},...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}{\Gamma^{k_i}}_{lq}-\sum^m_{i=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}{\Gamma^q}_{lr_i}\right){{dx^l}\over{du}}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\;</MATH>|2.66}}
Linia 293:
==Tensor Riemanna-Christoffela (tensor krzywizny) zdefiniowany przy pomocy tensorów metrycznych==
Do wzoru na czterowskaźnikowy tensor krzywizny {{LinkWzór|2.87}} wstawiamy za tensory Christoffela zdefiniowane wedle wzoru {{LinkWzór|2.82}}, w końcu otrzymujemy następujący wzór zależny tylko od drugich pochodnych cząstkowych tensora metrycznego, co wykażemy później:
{{IndexWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{mr,l,n}+g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{mr,n,l}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)+{{1}\over{2}}{g^{kr}}_{,n}\left(g_{mr,l}+g_{rl,m}-g_{lm,r}\right)-{{1}\over{2}}{g^{kr}}_{,l}\left(g_{mr,n}+g_{rn,m}-g_{nm,r}\right)+\;</MATH><BR><MATH>+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;\;</MATH>|2.93}}
<math>+{{1}\over{2}}{g^{kr}}_{,n}\left(g_{mr,l}+g_{rl,m}-g_{lm,r}\right)-{{1}\over{2}}{g^{kr}}_{,l}\left(g_{mr,n}+g_{rn,m}-g_{nm,r}\right)+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;\;</MATH>|2.93}}
Ponieważ pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero według schematu {{LinkWzór|2.75}}, to wyznaczając z niego pochodną cząstkową stojącą po lewej stronie tensora metrycznego, a pozostałe po prawej jego stronie, otrzymujemy wielkość:
{{IndexWzór|<MATH>0={g^{kr}}_{;n}={g^{kr}}_{,n}+{\Gamma^k}_{ns}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\Rightarrow{g^{kr}}_{,n}=-{\Gamma^k}_{ns}g^{sr}-{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\;</MATH>|2.94}}
Czterowskaźnikowy tensor krzwywizny {{LinkWzór|2.93}}. po zastosowaniu do niego tożsamości wynikowej {{LinkWzór|2.94}}, możemy zapisać:
{{IndexWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)-{{1}\over{2}}\left({\Gamma^k}_{ns}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\right)\left(g_{mr,l}+g_{rl,m}-g_{lm,r}\right)+\;</MATH><BrBR><MATH>+
{{1}\over{2}}\left({\Gamma^k}_{ls}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}\right)\left(g_{mr,n}+g_{rn,m}-g_{nm,r}\right)+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\Rightarrow{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)+\;</MATH><BR><MATH>-{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{ns}{\Gamma^s}_{lm}+{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{ls}{\Gamma^s}_{nm}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}-{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}{\Gamma^p}_{lm}g_{pr}+{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}{\Gamma^p}_{nm}g_{rp}\;</MATH>|2.95}}
<MATH>-{{1}\over{2}}\left({\Gamma^k}_{ns}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\right)\left(g_{mr,l}+g_{rl,m}-g_{lm,r}\right)+
{{1}\over{2}}\left({\Gamma^k}_{ls}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}\right)\left(g_{mr,n}+g_{rn,m}-g_{nm,r}\right)+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;\;</MATH><BR>
<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)-{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{ns}{\Gamma^s}_{lm}+{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{ls}{\Gamma^s}_{nm}+\;</MATH>
<MATH>+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}-{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}{\Gamma^p}_{lm}g_{pr}+
{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}{\Gamma^p}_{nm}g_{rp}\;</MATH>|2.95}}
Następnie wyznaczmy wyrażenie tensorowe, które występuje według wzoru {{linkWzór|2.25}}, korzystając przy tym z właściwości tensora metrycznego:
{{IndexWzór|<MATH>{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}{\Gamma^p}_{lm}g_{pr}={\Gamma_{pn}}^k{\Gamma^p}_{lm}=
Linia 311 ⟶ 306:
Mając wzór {{LinkWzór|2.95}}, a także tożsamości {{linkWzór|2.96}} i {{LinkWzór|2.97}}, wspomniany czterowskaźnikowy tensor krzywizny możemy zapisać:
{{indexWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)+
{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}-{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{np}{\Gamma^p}_{lm}+{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{pl}{\Gamma^p}_{nm}\;</MATH><Br>|2.98}}
:<MATH>-{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{np}{\Gamma^p}_{lm}+{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{pl}{\Gamma^p}_{nm}\;</MATH>|2.98}}
Przepisując jeszcze raz końcowy wynik {{LinkWzór|2.98}}, wtedy czterowskaźnikowy tensor krzywizny z tylko pierwszym wskaźnikiem górnym zapisujemy wedle schematu:
{{IndexWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)\;</MATH>|2.99}}
Linia 326 ⟶ 320:
Tożsamość {{LinkWzór|2.102}} wstawiamy do wzoru {{linkWzór|2.86}} na tensor czterowskaźnikowy krzywizny i otrzymujemy równość, którą zapisujemy wedle schematu:
{{indexWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={\Gamma^k}_{lm;n}-{\Gamma^k}_{sn}{\Gamma^s}_{lm}+{\Gamma^s}_{ln}{\Gamma^k}_{sm}+{\Gamma^s}_{mn}{\Gamma^k}_{sl}-
{\Gamma^k}_{mn;l}+{\Gamma^k}_{sl}{\Gamma^s}_{mn}-{\Gamma^s}_{ml}{\Gamma^k}_{ns}-{\Gamma^s}_{nl}{\Gamma^k}_{sm}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;</MATH><BR>|2.103}}
<MATH>+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;</MATH>|2.103}}
Jak udowodniliśmy czterowskaźnikowy tensor krzywizny {{linkWzór|2.103}} jest zwykłym tensorem, ponieważ występują w nim same tensory, ale w nich nie ma pochodnych cząstkowych, co pierwotnie ten sam tensor zawierał w zdefiniowany w punkcie {{LinkWzór|2.92}}. Można więc na podstawie wspomnianych tychże obliczeń powiedzieć, iż:
{{IndexWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={\Gamma^k}_{lm;n}-{\Gamma^k}_{mn;l}+{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}-{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}\;</MATH>|2.104|Obramuj}}
Linia 346 ⟶ 339:
{{IndexWzór|<MATH>R_{imnl}=-R_{minl}=-R_{imln}=R_{nlim}\;\;</MATH>|2.108}}
Przejdźmy teraz do następnej tożsamości, korzystając ze wzoru {{LinkWzór|2.101}}. Dochodzimy zatem do wniosku, że ta tożsamość jest równa zero, na co dowód przeprowadzamy poniżej:
{{indexWzór|<MATH>R_{imnl}+R_{ilmn}+R_{inlm}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)+{{1}\;over{2}}\left(g_{in,lm}-g_{nl,im}-g_{im,ln}+g_{ml,in}\right)+\;</MATH><BrBR><MATH>+{{1}\over{2}}\left(g_{im,nl}-g_{mn,il}-g_{il,nm}+g_{ln,im}\right)=0\;\;</MATH>|2.109}}
<MATH>+{{1}\over{2}}\left(g_{in,lm}-g_{nl,im}-g_{im,ln}+g_{ml,in}\right)+{{1}\over{2}}\left(g_{im,nl}-g_{mn,il}-g_{il,nm}+g_{ln,im}\right)=0\;\;</MATH>|2.109}}
Na podstawie obliczeń wykonanych w punkcie {{linkWzór|2.109}} przepisując jeszcze raz wynik końcowy, co do czego doszliśmy:
{{IndexWzór|<MATH>R_{imnl}+R_{ilmn}+R_{inlm}=0\;\;</MATH>|2.110|Obramuj}}
Linia 372 ⟶ 364:
{{IndexWzór|<MATH>K_{nl;p}=K_{nl,p}-{\Gamma^k}_{np}K_{kl}-{\Gamma^k}_{lp}K_{nk}\;\;</MATH>|2.117}}
Następnym naszym krokiem jest policzenie wyrażenia poniżej z wykorzystaniem przy tym tożsamości {{linkWzór|2.117}}. Dzięki temu wiemy, że;
{{indexWzór|<MATH>K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=K_{nl,p}-{\Gamma^k}_{np}K_{kl}-{\Gamma^k}_{lp}K_{nk}+K_{pn,l}-{\Gamma^k}_{pl}K_{kn}-{\Gamma^k}_{nl}K_{pk}+K_{lp,n}-{\;Gamma^k}_{ln}K_{kp}-{\Gamma^k}_{pn}K_{lk}=\;</MATH><brBR><MATH>=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}-{\Gamma^k}_{lp}(K_{nk}+K_{kn})-{\Gamma^k}_{np}(K_{kl}+K_{lk})-{\Gamma^k}_{ln}(K_{kp}+K_{pk})=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}\;\;</MATH>|2.118}}
<MATH>+K_{lp,n}-{\Gamma^k}_{ln}K_{kp}-{\Gamma^k}_{pn}K_{lk}=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}-{\Gamma^k}_{lp}(K_{nk}+K_{kn})-{\Gamma^k}_{np}(K_{kl}+K_{lk})+\;\;</MATH><br>
<MATH>-{\Gamma^k}_{ln}(K_{kp}+K_{pk})=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}\;\;</MATH>|2.118}}
 
Udowodniliśmy, że na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.118}} zachodzi tożsamość, którą udowodniliśmy we wspomnianych obliczeniach:
{{IndexWzór|<MATH>K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}\;\;</MATH>|2.119|Obramuj}}
Teraz skorzystamy z definicji K<sub>nl</sub> {{linkWzór|2.114}} i z własności, że pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero wedle punktu {{linkWzór|2.75}}, a wtedy lewa strona {{linkWzór|2.119}} jest zapisana wzorem:
{{IndexWzór|<MATH>L=K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=(R_{imnl}g^{im})_{;p}+(R_{impn}g^{im})_{;l}+(R_{imlp}g^{im})_{;n}=g^{im}(R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n})\;\;</MATH><Br>|2.120}}
<MATH>=g^{im}(R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n})\;\;</MATH>|2.120}}
A także prawą stronę równości {{LinkWzór|2.119}} zapisujemy:
{{indexWzór|<MATH>P=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}=(R_{imnl}g^{im})_{,p}+(R_{impn}g^{im})_{,l}+(R_{imlp}g^{im})_{,n}\;\;</MATH>|2.121}}
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Rachunek_tensorowy”