Wikibooks

Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Pojęcie ciągu: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Piotr (dyskusja | edycje)
6422 edycje
Piotr (dyskusja | edycje)
6422 edycje
praktycznie zostało to napisane przeze mnie od nowa, teraz ddałem indeks i przykład
Linia 5:
</noinclude>
 
== Pojęcie ciągu liczbowego ==
{{index|ciąg liczbowy}}
 
Zacznijmy od przykładu. Wyobraźmy sobie, że jesteśmy w hipermarkecie i jak zwykle stoimy w kolejce przy kasie. Przed nami stoi kolejno Józek, Maryśka, Krzysiek, Kaśka, Magda, Zdzichu i Mietek. Każda z tych osób zapewne zastanawia się, która jest w kolejce i ile będzie musiała jeszcze czekać. Na samym początku, przy kasie jest Mietek, więc jest pierwszy, potem jest Zdzichu, więc jest drugi, następna jest Magda, więc jest trzecia, czwarta jest Kaśka itd. W ten sposób otrzymaliśmy pewien ciąg. Otóż każdej liczbie naturalnej od 1 do iluś tam, przypisaliśmy konkretną osobę np. dla 1 mamy Mietka, a dla 6 Maryśkę.
Linia 12:
Spojrzmy teraz na definicję:
 
{{index|definicja ciągu, ciąg skończony, ciąg nieskończony}}
{{Matematyka/Definicja|
'''Ciągiem''' nazywamy '''funkcję''', która jest określona dla kolejnych '''liczby naturalnych dodatnich'''.
Linia 25:
Jeśli ciąg jest skończony, wówczas określone jest jedynie ''a(1)'', ''a(2)'', ''a(3)'', ..., ''a(n)'', czyli <math> D_a = \{1, 2, 3, \dots, n \} </math>.
 
Ponieważ ciąg jest zdefiniowany dla kolejnych liczb, więc jeśli wiemy, że np. ''a(100)'' jest zdefioniowane, wówczas ''a(99)'' będzie także zdefiniowane, ponieważ następną liczbą po 99 jest 100. Analogicznie ''a(98)'' także będzie zdefiniowane, ponieważ następną liczbą po 98 jest 99 itd. W końcu zejdziemy tak do 50, aż w końcu dotrzemy do 1. Nie wiemy natomiast, czy ''fa(101)'' jest określone, ponieważ 100 mogło być największą liczbą, dla którego właśnie ten ciąg jest określony.
 
Jeśli mamy na myśli ciąg liczbowy z reguły piszemy <math> a_1 </math> zamiast <math> fa(1) </math>, <math> a_2 </math> zamiast <math> fa(2) </math>, <math> a_3 </math> zamiast <math> a(3) </math> itd. W ogólności zamiast <math> a(n) </math> napiszemy <math> a_n </math>.
 
{{index|wyraz ciągu}}
<math> a_1 </math>, <math> a_{10} </math>, czy też <math> a_n </math> są nazywane '''wyrazami ciągu'''. <math> a_1 </math> to pierwszy wyraz ciągu, <math> a_5 </math> to piąty wyraz ciągu, a <math>a_k</math> to k-ty wyraz ciągu itp.
 
Linia 35 ⟶ 36:
Zamiast ''a'' może być dowolna inna litera alfabetu.
 
{{index|ciąg liczbowy}}
Zobaczmy na kolejny przykład ciągu: <math> a_1 = 1 </math>, a_2 = 4 </math>, <math> a_3 = 2 </math>, <math> a_4 = 10 </math>. Widać, że ciąg ten jest skończony. Możemy nawet powiedzieć, że ma tylko 4 wyrazy. Zauważmy także, że '''wartościami''' tego ciągu są '''liczby''' np. 10 dla wyrazu <math> a_4 </math>. Ciąg taki nazywamy '''ciągiem liczbowym'''.
 
{{Matematyka/Definicja|
Mówimy, że '''ciąg''' jest '''liczbowy''', gdy jego '''wartości''' są '''liczbami'''.
}}
 
Przykład przedstawiony na samym początku na pewno nie będzie ciągiem liczbowym, ponieważ Kaśkę, Mietka czy Maryśkę raczej do liczb nie zakwalifikujemy.
 
Zanim przejdziemy dalej zobaczmy na przykład ciągu nieskończonego <math> (b_n) </math>, w którym zachodzi:
==== Przykłady ciągów: ====
: <math> b_n = 2n </math>
# Każdej liczbie naturalnej n, gdzie n>0, przyporządkujmy <math>\frac{n}{2n-1}</math>. Taki ciąg jest '''ciągiem nieskończonym'''.
#: Kolejne wyrazy tego ciągu to: <math>a_1 = \frac{1}{2-1} = 1 , a_2 = \frac{2}{3} , a_3 = \frac{3}{5} , ...</math>
#: Możemy go zapisywać w postaci: <math>\left ( 1 , \frac{2}{3} , \frac{3}{5} , ... \right)</math> lub też <math>\left(\frac{n}{2n-1}\right)</math>.
# Jeśli przypiszemy określonym liczbom naturalnym <math> n \in \{1,2,3,4,5\} </math> liczbę <math> a_n=n(n+1) </math>.
#: <math> a_1=1 \cdot 2=2~;~a_2=2\cdot 3=6~;~a_3=3 \cdot 4=12~;~a_4 = 4 \cdot 5=20~;~a_5=5 \cdot 6=30</math>
{{Matematyka/Definicja|
Ciąg, który posiada określoną liczbę wyrazów, to '''ciąg skończony'''.}}
 
O ciągu tym możemy powiedzieć, że jest nieskończony, co zresztą już wiemy. Na pewno jest liczbowy. Kilka pierwszych wyrazów wynosi:
=== Określenie ciągu ===
: <math> b_1 = 2 \cdot 1 = 2 </math>, <math> b_2 = 2 \cdot 2 = 4 </math>, <math> b_3 = 6 </math>.
Zwykle ciąg opisujemy '''opisem słownym''' lub '''wzorem ogólnym'''.
 
Ciąg ten możemy zapisać także jako:
Ten sam ciąg może być opisywany na kilka sposobów. Na przykład możemy powiedzieć "ciąg kolejnych liczb naturalnych" (to opis słowny) albo napisać <math>a_n = n</math> (wzór ogólny).
: <math> (b_n) = (2, 4, 6, 8, \dots) </math><center>.
 
===Monotoniczność ciągu ===
 
{{Matematyka/Definicja|
Gdy '''każdy''' wyraz ciągu jest '''większy''' od swojego poprzednika, jest to '''ciąg rosnący'''.}}
Korzystając z ''mowy matematycznej'' możemy wyrazić taki ciąg:<br>
'''Ciąg <math>(a_n)</math> jest rosnący''' <math>\iff \forall_{n\in \mathbb{N}_+} a_{n+1} - a_n > 0</math>
{{Matematyka/Definicja|
Gdy '''każdy''' wyraz ciągu jest '''mniejszy''' od swojego poprzednika, jest to '''ciąg malejący'''.}}
'''Ciąg <math>(a_n)</math> jest malejący''' <math>\iff \forall_{n\in \mathbb{N}_+} a_{n+1} - a_n < 0</math>
 
<noinclude>
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum/Ciągi_liczbowe/Pojęcie_ciągu”