Mechanika kwantowa/Postulat pierwszy mechaniki kwantowej: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
→Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017 |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 13:
{{IndexWzór|<MATH>p_i={{\partial L}\over{\partial \dot{q}_i}}</MATH>|5.3}}
*'''gdzie:'''
:{{Formuła|<MATH>L\;</MATH>}} jest to lagrangian cząstki,
:{{Formuła|<MATH>q_i\;</MATH>}} jest to uogólnione położenie cząstki,
:{{Formuła|<MATH>\dot{q}_i\;</MAth>}} jest to uogólniona prędkość cząstki,
:{{Formuła|<MATH>p_i\;</MATH>}} jest to pęd uogólniony.
Zwykle uogólniony pęd jest równy zwykłemu pędowi znane z mechaniki klasycznej Newtona, co udowodnimy poniżej.
Lagrangian cząstki w polu potencjalnym jest równy:
Linia 27:
Możemy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|5.3}} podstawiając do niego powyższy Lagrangian, otrzymujemy klasyczny newtonowski i einsteinowski pęd cząstki na podstawie definicji lagrangianu w mechanice Newtona {{linkWzór|5.3a}} i mechanice Einteina (szczególna teorias względności) {{linkWzór|5.3a1}}:
{{IndexWzór|<MATH>\vec{p}=m\dot{\vec{r}}=m\vec{v}\;</MATH>|5.3b}}
*gdzie {{Formuła|<MATH>m\;</MATH>}} jest to masa cząstki w mechanice klasycznej Newtona, a {{Formuła|<MATH>m\;</MATH>}} jest to masa relatywistyczna w mechanice Einsteina równa {{Formuła|<MATH>m=m_0\gamma\;</MATH>}}.
Udowodniliśmy, że gdy w Lagrangianie {{Formuła|<MATH>L\;</MATH>}} nie ma dodatkowych członów związanych prędkościami cząstki, to pęd uogólniony {{LinkWzór|5.3}} we współrzędnych kartezjańskim jest równy pędowi klasycznemu Newtonowskiemu podanych w ostatnim wzorze, ale nie zawsze musi tak być, bo w Lagrangianie mogą pojawić się dodatkowe człony zawierające wektory prędkości, jak np. w mechanice Newtona:
{{IndexWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m\vec{v}^2-q\varphi+q\vec v\vec A\;</MATH>|5.3c}}
i w mechanice Einsteina w szczególnej teorii względności:
Linia 35:
Wtedy możemy wykorzystać {{LinkWzór|5.3}} do policzenia pędu uogólnionego korzystając {{LinkWzór|5.3c}} (mechanika Newtona) i {{linkWzór|5.3c1}} (mechanika Einsteina), mamy:
{{IndexWzór|<MATH>\vec p=m\vec v+q\vec A=\vec p_{kl}+q\vec A\;</MATH>|5.3d}}
*gdzie {{Formuła|<MATH>\vec p_{kl}=m\vec v\;</MATH>}} jest to pęd klasyczny znany z teorii dynamiki Newtona i Einsteina.
Widzimy, że w nim pęd uogólniony jest suma pędu uogólnionego i iloczynu ładunku cząstki i potencjału wektorowego magnetycznego.
Przedstawieniu operatorowym zamieniamy wszystkie współrzędne uogólnionego pędu {{LinkWzór|5.3}} we współrzędnych kartezjańskich przez współrzędne operatora pędu w tym samym układzie, które te operatory są zdefiniowane w sposób:
Linia 42:
Udowodnimy, że operator pędu jest rzeczywiście operatorem hermitowskim, najpierw udowodnimy to dla współrzędnej iksowej operatora pędu.
{{IndexWzór|<MATH>(\hat{p}_x\varphi,\psi)=i\hbar\int^{b}_{a}\nabla_x\varphi^*\psi dx=i\hbar\left(\varphi^*\psi|^{b}_{a}-\int^{b}_{a}\varphi^*\nabla_x\psi dx\right)=-i\hbar\int^{b}_{a}\varphi^*\nabla_x\psi dx=\int_{a}^{b}\varphi^*\hat{p}_x\psi dx=(\varphi,\hat{p}_x\psi)\;</MATH>|5.5}}
W powyższym dowodzie korzystaliśmy z założenia, że funkcje falowe ψ i {{Formuła|<MATH>\varphi\;</MATH>}} zerują się w punkcie a i b.
Według {{LinkWzór|5.5}} udowodniliśmy, że iksowy operator pędu jest operatorem hermitowskim. Podobnie dowodzimy, że operator igrekowy i zetowy są operatorami hermitowskimi, zatem wektor operatora pędu też jest operatorem hermitowskim.
Linia 64:
Znając już Lagrangian w mechanice Newtona {{linkWzór|5.10}} i Einsteina {{LinkWzór|5.10a}} wyznaczmy jaki cząstka posiada pęd uogólniony:
{{IndexWzór|<MATH>\vec{p}={{\partial L}\over{\partial\vec{v}}}=m\vec{v}+q\vec{A}\;</MATH>|5.11}}
gdzie {{Formuła|<MATH>m\;</MATH>}} w {{linkWzór|5.11}} w mechanice Newtona jest to masa cząstki, a w mechanice Einsteina jest to masa relatywistyczna cząstki równa {{Formuła|<MATH>m=m_0\gamma\;</MATH>}}.
W powyższym wzorze pęd uogólniony jest równy pędowi klasycznemu cząstki znanej z mechaniki Newtona z poprawką o potencjał wektorowy pomnożonej o ładunek cząstki.
Ze wzoru Eulera-Lagrange otrzymamy równanie ruchu cząstki znane z elektrodynamiki klasycznej połączone z równaniami Newtona:
Linia 78:
Co teraz następnym krokiem jest udowodnienie {{LinkWzór|5.16}}, to musimy wykorzystać definicję symboli Leviego-Civity ε<sub>ijk</sub> i symboli Kroneckera δ<sub>ij</sub>, mając te definicje, i wiedząc, że iloczyn dwóch symboli Leviego-Civity, jak można udowodnić, że jest to kombinacją symboli Kroneckera, wtedy:
{{IndexWzór|<MATH>\left(\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})\right)_i=\epsilon_{ijk}v_j\epsilon_{klm}\nabla_lA_m=
\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}v_j\nabla_lA_m
Przy obliczeniach {{LinkWzór|5.17}} założono, że współrzędne prędkości i położenia są to zmienne niezależne, zatem {{LinkWzór|5.15}} przyjmuje postać:
{{IndexWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}(m\vec{v})=q\left[-\nabla\varphi-{{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}\right]+q\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})\;</MAtH>|5.18}}
Linia 86:
|{{IndexWzór|<MATH>\vec{B}=\nabla\times\vec{A}\;</MATH>|5.20}}
|}
Wyrażenie {{LinkWzór|5.18}} na podstawie {{LinkWzór|5.19}} (definicji natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} w zależności od sumy gradientu potencjału elektrycznego <MatH>\varphi\;</MATH> i zmiany w czasie w danym punkcie wektorowego potencjału magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MaTH>}} i to wszystko wzięte z minusem) i {{LinkWzór|5.20}} (definicji indukcji pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}} jako rotacji wektorowego potencjału pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}}) przyjmuje postać:
{{IndexWzór|<MaTH>{{d}\over{dt}}(m\vec{v})=q\left[\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right]\Rightarrow
{{dm\vec{v}}\over{dt}}=\vec{F}_{el}+\vec{F}_{mag}
Linia 107:
Energię kinetyczną w mechanice klasycznej definiujemy jako iloraz kwadratu wartości wektora pędu punktu materialnego przez podwojoną masę tegoż punktu materialnego, ponieważ bez pola wektorowego elektromagnetycznego pęd uogólniony jest równy zwykłemu pędowi klasycznemu znany z mechaniki Newtona, mamy:
{{IndexWzór|<MATH>T={{m\vec{v}^2}\over{2}}={{(m\vec{v})^2}\over{2}}={{p^2}\over{2m}}</MATH>|5.23}}
Zastępując wartość energii kinetycznej punktu materialnego T przez operator energii kinetycznej {{Formuła|<MATH>\hat{T}</MATH>}}, oraz p<sup>2</sup> przez kwadrat operatora wektora pędu {{Formuła|<MATH>\hat{p}^2</MATH>}} {{LinkWzór|5.8}}, otrzymujemy:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{T}={{\hat{p}^2}\over{2m}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}\nabla^2=-{{\hbar^2}\over{2m}}\Delta</MATH>|5.24}}
Widzimy, że we wzorze {{LinkWzór|5.24}} operator energii kinetycznej jest zależny od masy ciała i operatora Δ, czyli od kwadratu operatora nabla.
Operator {{Formuła|<MATH>\hat{T}\;</MATH>}} jest operatorem hermitowskim, ponieważ kwadrat operatora pędu też jest operatorem hermitowskim, a dzielenie przez liczbę rzeczywistą, tzn. przez 2m, nic nie zmienia.
==Operator energii kinetycznej w polu elektromagnetycznym==
Korzystając przy tym z definicji uogólnionego pędu {{LinkWzór|5.11}} i wyznaczając z niego pęd klasyczny cząstki, to znaczy {{Formuła|<MATH>m\vec{v}\;</MATH>}} i podstawiając do wzoru na energię kinetyczną, stąd po odpowiednich modyfikacjach wzoru na tą energię, dostajemy wzór na energię kinetyczną w polu elektromagnetycznym poprzez pęd uogólniony:
{{IndexWzór|<MATH>T={{m\vec{v}^2}\over{2}}={{(m\vec{v})^2}\over{2m}}={{(\vec{p}-q\vec{A})^2}\over{2m}}\;</MATH>|5.24a}}
Zastępując wartość energii punktu materialnego T w polu elektromagnetycznym przez operator energii kinetycznej {{Formuła|<MATH>\hat{T}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec{p}\;</MATH>}} przez wektor operatora pędu {{Formuła|<MATH>\hat{p}\;</MATH>}} {{LinkWzór|5.4}}, otrzymujemy:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{T}={{(\hat{p}-q\vec{A})^2}\over{2m}}={{(-i\hbar\nabla-q\vec{A})^2}\over{2m}}\;</MATH>|5.25}}
W operator energii kinetycznej {{LinkWzór|5.25}} przechodzi w operator energii kinetycznej w {{LinkWzór|5.24}}, gdy zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{A}=0\;</MATH>}} lub {{Formuła|<MATH>q=0\;</MATH>}}.
Operator {{LinkWzór|5.25}} jest operatorem hermitowskim, ponieważ w liczniku pod potęgą różnica operatora hermitowskiego i zwykłego wektora jest operatorem hermitowskim, a więc kwadrat takiego operatora też jest operatorem hermitowskim. Gdy taki operator podzielimy przez 2m, to nadal on jest operatorem hermitowskim.
Linia 166:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}^2=\hat{l}^2_x+\hat{l}^2_y+\hat{l}^2_z=-\hbar^2\Bigg\{\left(y{{\partial}\over{\partial z}}-z{{\partial}\over{\partial y}}\right)^2+\left( z{{\partial}\over{\partial x}}-x{{\partial}\over{\partial z}}\right)^2+\left(x{{\partial}\over{\partial y}}-y{{\partial}\over{\partial x}}\right)^2\Bigg\}=</MATH><br><MATH>=-\hbar^2\left\{y^2{{\partial^2}\over{\partial z^2}}+z^2{{\partial^2}\over{\partial y^2}}-y{{\partial}\over{\partial z}}z{{\partial}\over{\partial y}}- z{{\partial}\over{\partial y}}y{{\partial}\over{\partial z}}+z^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}+x^2{{\partial^2}\over{\partial z^2}}-z{{\partial}\over{\partial x}}x{{\partial}\over{\partial z}}-x{{\partial}\over{\partial z}}z{{\partial}\over{\partial x}} \right\}+</MATH><BR>
<MATH>-\hbar^2\left\{x^2{{\partial^2}\over{\partial y^2}}+y^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}-x{{\partial}\over{\partial y}}y{{\partial}\over{\partial x}}-y{{\partial}\over{\partial x}}x{{\partial}\over{\partial y}}\right\}=-\hbar\left\{y^2{{\partial^2}\over{\partial z^2}}+z^2{{\partial^2}\over{\partial y^2}}-yz{{\partial^2}\over{\partial y\partial z}}-y{{\partial}\over{\partial y}}-zy{{\partial^2}\over{\partial y\partial z}}-z{{\partial}\over{\partial z}}\right\}+</MATH><BR><MATH>-\hbar\left\{ z^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}+x^2{{\partial^2}\over{\partial z^2}}-zx{{\partial^2}\over{\partial z\partial x}}-z{{\partial}\over{\partial z}}-xz{{\partial^2}\over{\partial x\partial z}}-x{{\partial}\over{\partial x}} \right\}-\hbar\left\{x^2{{\partial^2}\over{\partial y^2}}+y^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}-xy{{\partial^2}\over{\partial x\partial y}}-x{{\partial }\over{\partial x}}-yx{{\partial^2}\over{\partial x\partial y}}-y{{\partial}\over{\partial y}} \right\}=</MATH><BR><MATH>=-\hbar\left\{\left(y^2+z^2\right){{\partial^2}\over{\partial x^2}}+\left(x^2+y^2\right){{\partial^2}\over{\partial z^2}}+\left(x^2+z^2\right){{\partial^2}\over{\partial y^2}}\right\}-\hbar\left\{x^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}+z^2{{\partial^2}\over{\partial z^2}}+y^2{{\partial}\over{\partial y^2}}-x^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}-z^2{{\partial^2}\over{\partial z^2}}-y^2{{\partial}\over{\partial y^2}} \right\}+</MATH><BR><MATH>-\hbar\left\{-yz{{\partial^2}\over{\partial y\partial z}}-y{{\partial}\over{\partial y}}-zy{{\partial^2}\over{\partial y\partial z}}-z{{\partial}\over{\partial z}} \right\}-\hbar\left\{-zx{{\partial^2}\over{\partial z\partial x}}-z{{\partial}\over{\partial z}}-xz{{\partial^2}\over{\partial x\partial z}}-x{{\partial}\over{\partial x}} \right\}+</MATH><BR><MATH>-\hbar\left\{ -xy{{\partial^2}\over{\partial x\partial y}}-x{{\partial }\over{\partial x}}-yx{{\partial^2}\over{\partial x\partial y}}-y{{\partial}\over{\partial y}} \right\}=-\hbar\left\{\left(x^2+y^2+z^2\right)\Delta -x^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}-z^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}-y^2{{\partial}\over{\partial y^2}}\right\}+</MATH><BR><MATH>-\hbar\left\{-yz{{\partial^2}\over{\partial y\partial z}}-y{{\partial}\over{\partial y}}-zy{{\partial^2}\over{\partial y\partial z}}-z{{\partial}\over{\partial z}} \right\}-\hbar\left\{-zx{{\partial^2}\over{\partial z\partial x}}-z{{\partial}\over{\partial z}}-xz{{\partial^2}\over{\partial x\partial z}}-x{{\partial}\over{\partial x}} \right\}+</MATH><BR><MATH>-\hbar\left\{-xy{{\partial^2}\over{\partial x\partial y}}-x{{\partial }\over{\partial x}}-yx{{\partial^2}\over{\partial x\partial y}}-y{{\partial}\over{\partial y}} \right\}=-\hbar\Bigg\{ \left(x^2+y^2+z^2\right)\Delta-\left(x{{\partial }\over{\partial x}}+y{{\partial }\over{\partial y}}+z{{\partial }\over{\partial z}}\right)+\;</MATH><BR><MATH>-\left(x{{\partial}\over{\partial x}}x{{\partial}\over{\partial x}}+y{{\partial}\over{\partial y}}y{{\partial}\over{\partial y}}+z{{\partial}\over{\partial z}}y{{\partial}\over{\partial z}}\right)\Bigg\}-\hbar\left({-2xy{{\partial^2}\over{\partial x\partial y}}-2xz{{\partial^2}\over{\partial x\partial z}}-2yz{{\partial^2}\over{\partial y\partial z}}}\right)=\;</MATH><BR><MATH>=-\hbar\left\{\left(x^2+y^2+z^2\right)\Delta-\left(x{{\partial}\over{\partial x}}+y{{\partial}\over{\partial y}}+z{{\partial}\over{\partial z}}\right)-\left(x{{\partial}\over{\partial x}}+y{{\partial}\over{\partial y}}+z{{\partial}\over{\partial z}}\right)^2\right\}</MATH>}}
Z obliczeń powyższych dostajemy, że kwadrat operatora całkowitego momentu pędu jest zapisany przy pomocy operatora położenia {{Formuła|<Math>\vec{r}\;</math>}} i operatora różniczkowania cząstkowego ∇ i operatora Δ, i ten nasz operator jest równy do równoważnego powyżej przedstawienia:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}^2=-\hbar^2\left\{r^2\Delta-(\vec{r}\nabla)^2-\vec{r}\nabla\right\}</MATH>|5.38}}
A następnie policzmy pomocnicze wyrażenie operatorowe będące iloczynem wektora położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</Math>}} i operatora ∇, czyli coś w rodzaju pochodnej kierunkowej, stąd możemy napisać:
{{IndexWzór|<MATH>\vec{r}\nabla=\vec{e}_{r} r\left(\vec{e}_{r}{{\partial}\over{\partial {r}}}+\vec{e}_{\theta}{{\partial}\over{r\sin\phi\partial\theta}}+\vec{e}_{\phi}{{\partial}\over{r\partial\phi}}\right)=r{{\partial}\over{\partial r}}</MATH>|5.39}}
Nasz operator {{LinkWzór|5.38}} na podstawie obliczeń pomocniczych {{LinkWzór|5.39}} (to wyrażenie zależy tylko on od współrzędnych radialnych) jest równy wzorowi:
Linia 185:
W rozdziale o metodach matematycznych fizyki napisaliśmy coś o kulistym układzie współrzędnym i wyraziliśmy współrzędne w układzie kartezjańskim względem kulistego układu współrzędnych i wyrażaliśmy operatory pochodnych cząstkowych operatora ∇ zdefiniowanych początkowo we współrzędnych kartezjańskich. Napiszmy ten operator względem współrzędnych kulistych, które będą nam potrzebne do wyrażenia współrzędnych operatora momentów pędu w tychże współrzędnych.
Mając operator momentu pędu iksowy znając jego definicję we współrzędnych kartezjańskich wedle wzoru operatorowego {{LinkWzór|5.35}} i wyznaczmy czemu jest równy ten operator po podzieleniu go przez liczbę urojoną {{Formuła|<MATH>-i\hbar\;</MATH>}}:
{{IndexWzór|<MATH>{{\hat{l}_x}\over{-i\hbar}}=y{{\partial}\over{\partial z}}-z{{\partial}\over{\partial y}}=\underbrace{r\sin\theta\sin\phi}_{y}\underbrace{\left[\cos\phi{{\partial}\over{\partial r}}-{{\sin\phi}\over {r}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right]}_{{{\partial}\over{\partial z}}}-\underbrace{r\cos\phi}_{z}\underbrace{\left[\sin\theta\sin\phi{{\partial}\over{\partial r}}+{{\cos\theta}\over{r\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}+{{\sin\theta\cos\phi}\over{r}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right]}_{{{\partial}\over{\partial y}}}=</MATH><br>
<MATH>=r\sin\theta\sin\phi\cos\phi{{\partial}\over{\partial r}}-\sin\theta\sin^2\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}-r\cos\phi\sin\theta\sin\phi{{\partial }\over{\partial r}}-{{\cos\phi\cos\theta}\over{\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}-\cos^2\phi\sin\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}=</MATH><br>
<MATH>=-\sin\theta(\sin^2\phi+\cos^2\phi){{\partial}\over{\partial\phi}}-\operatorname{ctg}\phi\cos\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}=
-\sin\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}-\operatorname{ctg}\phi\cos\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}</MATH>}}
Na podstawie poprzednich obliczeń operator iksowego momentu pędu {{LinkWzór|5.35}} napisaliśmy we współrzędnych kulistych po podzieleniu go przez stały czynnik {{Formuła|<MATH>-i\hbar\;</MATH>}}. W tym operatorze, jak udowodniliśmy zależy tylko ono od współrzędnych kątowej, to znaczy od współrzędnej azymutalnej(θ) i zenitalnej(φ), zatem ten operator jest napisany razem z tym czynnikiem:
{{IndexWzór|<MATH>
\hat{l}_x=i\hbar\left[\sin\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}+\operatorname{ctg}\phi\cos\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}\right]</MATH>|5.44|Obramuj}}
Mając operator igrekowy momentu pędu zdefiniowanej w postaci operatorowej we współrzędnych kartezjańskich wedle {{LinkWzór|5.36}}, przedstawmy go we współrzędnych kulistych zamieniając wszystkie te współrzędne kartezjańskie oraz operatory cząstkowe zdefiniowane we współrzędnych kartezjańskich na współrzędne kuliste, napiszemy go po podzieleniu przez liczbę urojoną: {{Formuła|<MATH>-i\hbar\;</MATH>}}:
{{IndexWzór|<MATH>{{\hat{l}_y}\over{-i\hbar}}=z{{\partial}\over{\partial x}}-x{{\partial}\over{\partial z}}=\underbrace{r\cos\phi}_{z}\underbrace{\left[\cos\theta\sin\phi{{\partial}\over{\partial r}}-{{\sin\theta}\over{r\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}+{{\cos\theta\cos\phi}\over{r}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right]}_{{{\partial}\over{\partial x}}}-\underbrace{r\cos\theta\sin\phi}_{x}\underbrace{\left[\cos\phi{{\partial }\over{\partial r}}-{{\sin\phi}\over{r}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right]}_{{{\partial}\over{\partial z}}}=</MATH><br>
<MATH>=r\cos\theta\cos\phi\sin\phi{{\partial}\over{\partial r}}-\operatorname{ctg}\phi\sin\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}+
Linia 201:
<MATH>=\cos\theta(\sin^2\phi+\cos^2\phi){{\partial}\over{\partial\phi}}-\operatorname{ctg}\phi\sin\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}=
\cos\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}-\operatorname{ctg}\phi\sin\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}</MATH>}}
Na podstawie poprzednich obliczeń operator iksowy momentu pędu zdefiniowany we współrzędnych kartezjańskich {{LinkWzór|5.23}} napiszemy go we współrzędnych kulistych co napiszemy go po podzieleniu przez stały czynnik ({{Formuła|<MATH>-i\hbar\;</MATH>}}). Jak zobaczymy zależy on tylko od współrzędnych kątowych, nic od współrzędnej radialnej, jest napisana razem z tym czynnikiem:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_y=i\hbar\left(-\cos\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}+\operatorname{ctg}\phi\sin\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}\right)</MATH>|5.45|Obramuj}}
Mając operator momentu pędu zetowy przedstawiony we współrzędnych kartezjańskich w postaci operatorowej wedle {{LinkWzór|5.37}}, w nim zamieńmy wszystkie jego współrzędne kartezjańskie i operatory pochodnych cząstkowych zdefiniowanych we współrzędnych karteziańskich na współrzędne kuliste, dalej wyznaczmy ten operator po podzieleniu go przez liczbę urojoną {{Formuła|<MATH>-i\hbar\;</MATH>}}:
{{IndexWzór|<MATH>{{\hat{l}_z}\over{-i\hbar}}=x{{\partial}\over{\partial y}}-y{{\partial}\over{\partial x}}=\;</MATH><BR><MATH>=\underbrace{r\cos\theta\sin\phi}_{x}\underbrace{\left[\sin\theta\sin\phi{{\partial}\over{\partial r}}+
{{\cos\theta}\over{r\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}+{{\sin\theta\cos\phi}\over r}{{\partial}\over{\partial \phi}}\right]}_{{{\partial}\over{\partial y}}}-\underbrace{r\sin\theta\sin\phi}_{y}\underbrace{\left[\cos\theta\sin\phi{{\partial}\over{\partial r}}-{{\sin\theta}\over{r\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}+{{\cos\theta\cos\phi}\over{r}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right]}_{{{\partial}\over{\partial x}}}=</MATH><br><MATH>=r\cos\theta\sin\theta\sin^2\phi{{\partial}\over{\partial r}}+\cos^2\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}+\sin\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}-r\sin\theta\cos\theta\sin\phi^2{{\partial}\over{\partial r}}+\sin\theta^2{{\partial}\over{\partial\theta}}-\sin\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}=</MATH><br> <MATH>=\cos^2\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}+
\sin^2\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}
= (\cos^2\theta+\sin^2\theta){{\partial}\over{\partial\theta}} ={{\partial}\over{\partial\theta}}</MATH>}}
Na podstawie poprzednich obliczeń operator zetowy momentu pędu zdefiniowany we współrzędnych kartezjańskich {{LinkWzór|5.37}} udowodniliśmy, że w przedstawieniu jego we współrzędnych kulistych i po podzieleniu go przez stały czynnik ({{Formuła|<MATH>-i\hbar\;</MATH>}}), że on nie zależy on od współrzędnej radialnej, ale też nie zależy od współrzędnej zenitalnej, natomiast po przeprowadzeniu powyższego dowodu zależy ona tylko od współrzędnej azymutalnej θ.
{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_z=-i\hbar{{\partial}\over{\partial\theta}}</MATH>|5.46|Obramuj}}
Udowodniliśmy, że najprostszy operator momentu pędu we współrzędnych kulistych jest to operator zetowy momentu pędu, bowiem zależy tylko od jednej współrzędnej kulistej. Natomiast wszystkie współrzędne operatora momentu pędu zależą tylko od współrzędnych kątowych kulistych, ale nie od współrzędnej radialnej.
Linia 220:
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_0={{1}\over{\hbar}}\hat{l}_z\;</MATH>|5.49|Obramuj}}
|}
Wiedząc, że operatory współrzędnych pędu są to operatory hermitowskie, zatem operatory współrzędnych momentu pędu też są hermitowskie, zatem operatory {{LinkWzór|5.47}} ({{Formuła|<MATH>\hat{l}_+\;</MATH>}}) i {{LinkWzór|5.48}} ({{Formuła|<MATH>\hat{l}_-\;</MaTH>}}) nie są to operatory hermitowskie, ponieważ czynnik urojony nie jest sam ze sobą sprzężony po hermitowsku. Można udowodnić kolejno dla operatora {{LinkWzór|5.47}}, że jest on sprzężony po hermitowsku do operatora {{LinkWzór|5.48}}:
{{IndexWzór|<MATH>(\hat{l}_{+})^{+}={{1}\over{\hbar}}\left(\hat{l}_x+i\hat{l}_y\right)^{+}={{1}\over{\hbar}}\left(\hat{l}_x-i\hat{l}_y\right)=\hat{l}_-\neq \hat{l}_{+}</MATH>|5.50}}
A dla operatora {{LinkWzór|5.48}} jest on sprzężony po hermitowsku z {{LinkWzór|5.47}}, ponieważ czynnik -i zamienia się "i" po wyliczeniu jego sprzężenia hermitowskiego:
{{IndexWzór|<MATH>(\hat{l}_{-})^{+}={{1}\over{\hbar}}\left(\hat{l}_x-i\hat{l}_y\right)^{+}={{1}\over{\hbar}}\left(\hat{l}_x+i\hat{l}_y\right)=\hat{l}_+\neq \hat{l}_{-}</MATH>|5.51}}
Operator wedle definicji {{LinkWzór|5.49}} jest równy ilorazowi operatora współrzędnej momentu pędu przez stałą rzeczywistą stałą proporcjonalności kreślonej Plancka, na tej postawie twierdzimy, że nasz rozważany tutaj operator jest operatorem hermitowskim, a więc ma wartości własne rzeczywiste, prawie takie same jak operator {{Formuła|<Math>\hat{l}_z\;</MATH>}} natomiast funkcje własne posiadają one jednakowe.
{{IndexWzór|<MATH>(\hat{l}_0)^{+}={{1}\over{\hbar}}\hat{l}_z^{+}={{1}\over{\hbar}}\hat{l}_z=\hat{l}_0</MATH>|5.52}}
Operatory {{LinkWzór|5.47}} ({{Formuła|<math>\hat{l}_+\;</MATH>}}), {{LinkWzór|5.48}} ({{Formuła|<MatH>\hat{l}_-\;</MATH>}}), {{LinkWzór|5.49}} ({{Formuła|<MATH>\hat{l}_0\;</Math>}}) są to ważne operatory ułatwiające niektóre obliczenia w fizyce kwantowej.
== Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych ==
Policzmy teraz operator {{Formuła|<MATH>\hat{l}_{+}</MATH>}} zdefiniowanych według {{LinkWzór|5.47}}, we współrzędnych kulistych przy pomocy operatorów momentu pędu iksowego i igrekowego zdefiniowanego we współrzędnych kulistych według {{LinkWzór|5.44}} i {{LinkWzór|5.45}}, to napiszemy:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_{+}=
{{1}\over{\hbar}}
Linia 236:
\operatorname{ctg}\phi\cos\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}\right]+
ii\hbar\left(-\cos\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}+
\operatorname{ctg}\phi\sin\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}\right)\right]
Operator {{LinkWzór|5.47}} we współrzędnych kulistych na postawie obliczeń {{LinkWzór|5.53}} jest zdefiniowany:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_{+}=e^{i\theta}{{\partial}\over{\partial\phi}}-\operatorname{ctg}\phi e^{i\left(\theta+{{\pi}\over{2}}\right)}{{\partial}\over{\partial\theta}}</MATH>|5.54|Obramuj}}
Policzmy teraz operator {{Formuła|<MATH>\hat{l}_{+}</MATH>}} zdefiniowanych według {{LinkWzór|5.48}} we współrzędnych kulistych przy pomocy operatorów momentu pędu iksowego i igrekowego zdefiniowanego we współrzędnych kulistych według {{LinkWzór|5.44}} i {{LinkWzór|5.45}}, napiszemy:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_{-}=
{{1}\over{\hbar}}
Linia 246:
\operatorname{ctg}\phi\cos\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}\right]-
ii\hbar\left(-\cos\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}+
\operatorname{ctg}\phi\sin\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}\right)\right]
Operator {{LinkWzór|5.48}} we współrzędnych kulistych na postawie {{LinkWzór|5.55}} jest zdefiniowany w sposób:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_{-}=-e^{-i\theta}{{\partial}\over{\partial\phi}}+\operatorname{ctg}\phi e^{i({{\pi}\over{2}}-\theta)}{{\partial}\over{\partial\theta}}</MATH>|5.56|Obramuj}}
Policzmy teraz operator {{Formuła|<MATH>\hat{l}_{0}</MATH>}} zdefiniowanych według {{LinkWzór|5.49}} we współrzędnych kulistych przy pomocy operatora zetowej współrzędnej momentu pędu we współrzędnych kulistych według {{LinkWzór|5.46}}:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_0={{1}\over{\hbar}}(-i\hbar){{\partial}\over{\partial\theta}}=-i{{\partial}\over{\partial\theta}}</MATH>|5.57}}
Zatem na podstawie {{LinkWzór|5.57}} dostajemy, że ten operator we współrzędnych kulistych jest jako:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_0=-i{{\partial}\over{\partial\theta}}</MATH>|5.58|Obramuj}}
A więc operatory {{LinkWzór|5.47}}({{Formuła|<MATH>\hat{l}_+\;</MATH>}}), {{LinkWzór|5.48}}({{Formuła|<MATH>\hat{l}_-\;</MATH>}}) i {{LinkWzór|5.49}}({{Formuła|<MAtH>\hat{l}_0\;</MATH>}}) można zdefiniować w zależności od współrzędnych kulistych, które jak udowodniono wcześniej nie są operatorami hermitowskimi (oprócz ostatniego), nawet w tymże współrzędnych kulistych, co nigdy nie powinno zmieniać tej naszej sytuacji. Tzn. gdy operator jest hermitowski w jednym układzie współrzędnym, to w innym też jest.
<noinclude>{{kreska nawigacja|Mechanika kwantowa|Komutacja operatorów fizycznych|Postulat zerowy mechaniki kwantowej}}</noinclude><noinclude>{{BottomColumnPage}}</noinclude>
| |||