Mechanika kwantowa/Proste przykłady zagadnień kwantowomechanicznych: Różnice pomiędzy wersjami

Jeśli założymy, że {{Formuła|<MATH>E>0\;</MATH>}}, to {{Formuła|<MATH>k^2>0\;</MATH>}}, zatem jego rozwiązaniem jest kombinacja liniowa funkcyj trygonometrycznych:

Zajmijmy się warunkami brzegowymi dla nieskończonej studni potencjału według rysunku obok dla punktów: {{Formuła|<MATh>x=\pm{{a}\over{2}}\;</MATH>}}. Funkcja falowa w tychże punktach powinna przyjmować wartość zero, ze względu na hermitowskość operatora pędu.

Aby współczynniki układu równań {{LinkWzór|11.5}} były niezerowe musimy stworzyć wyznacznik z elementów stojących przy stałych {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}}, a jego wartość przyrównać do zera oraz wyznaczyć wartość zmiennej {{Formuła|<MATH>k</MATH>}}

Powyżej dowiedzieliśmy się, że stała n jest zależna od liczby nieparzystej {{Formuła|<MATH>2n-1</MATH>}} lub liczby parzystej {{Formuła|<MATH>2n</MATH>}}, które można połączyć w jedno rozwiązanie, gdzie {{Formuła|<MATH>n</MATH>}} zależy od liczby naturalnej większej od zera.

Załóżmy, że k zależy od liczby n dla rozwiązania nieparzystego, mamy A=0, a także {{Formuła|<MATH>B\neq 0\;</MATH>}} według {{LinkWzór|11.5}}, zatem przy wartościach tych stałych rozwiązanie {{linkWzór|11.4}} zapisujemy poniżej, z którego w tej samej linijce wyznaczymy stałą B.

Funkcjami równania własnego równania niezależnego od czasu są zatem dwa rozwiązania dla {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} parzystego (pierwsze rozwiązanie w {{LinkWzór|11.11}}) i nieparzystego (drugie rozwiązanie w {{LinkWzór|11.11}}), które można je połączyć w jedno rozwiązanie dla n naturalnego (bez zera) do {{LinkWzór|11.12}}, które rozkładamy z definicji funkcji trygometrycznych do {{LinkWzór|11.13}}, które jak widzimy dla odpowiednich {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} przechodzi w {{LinkWzór|11.11}}. Przykładowe wykresy dla n=1, n=2 i n=3 są wykreślone na rysunkach w {{LinkGrafika|wk11}}, {{LinkGrafika|wk2}} i {{LinkGrafika|wk3}}.

Wprowadzimy oznaczenie stałej {{Formuła|<MATH>\kappa^2\;</MATH>}} {{LinkWzór|11.15}} do równania własnego zdefiniowanej w {{LinkWzór|11.14}}, dochodzimy do wniosku, że:

Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|11.15}a} są dwie funkcje eksponecjalne jako wektory bazy, ale na razie nie wiemy czy ta baza jest ciągła, czy nawet dyskretna, ale przekonamy się, że ta baza jest skwantowana, wtedy funkcje własne {{LinkWzór|11.15a}} są:

Odejmując od siebie dwa równania ostatniego układu równań, dochodzimy do wniosku, że stała {{Formuła|<math>A_2\;</mATH>}} jest równa zero:

Należy pamiętać, że funkcja {{Formuła|<MaTH>\psi_1\;</MATH>}} jest dla przedziału {{Formuła|<MaTH>(-\infty,-a)\;</MATH>}}, funkcja {{Formuła|<MATH>\psi_2\;</MATH>}} dla {{Formuła|<MaTH>(-a,a)\;</MATH>}}, a także funkcja {{Formuła|<math>\psi_3\;</MATH>}} dla {{Formuła|<MATH>(a,\infty)\;</MATH>}}.

Ogólnie dla nieskończonego przedziału niech rozwiązaniem będzie funkcja {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}}, którą można podzielić na poszczególne przedziały jak dla rozwiązania parzystego {{LinkWzór|11.36}} i nieparzystego {{LinkWzór|11.37}}.

{{Formuła|<MATH>_{\kappa=k\operatorname{tg}ka\Rightarrow \cos ka={{k}\over{\kappa}}\sin ka}\;</Math>}} możemy wyjaśnić ile wynosi stała A₂ dla rozwiązań parzystych:

Skorzystamy, ze wzoru {{LinkWzór|11.31}} jako równania wiążące parametr &kappa; z k, co przekształcając go do postaci {{Formuła|<MATH>_{\kappa=-k\operatorname{ctg}ka\Rightarrow\sin ka=-{{k}\over{\kappa}}\cos ka}\;</MATH>}}, to powyższy warunek normowania piszemy w postaci:

Parametr {{Formuła|<MATH>C\;</MATH>}} ma sens objętości jamy potencjału. Ponieważ w {{LinkWzór|11.43}} przyjęliśmy, że ctg(ka) jest wartością ujemną przy dodatnich k² {{LinkWzór|11.20}} i &kappa;² {{LinkWzór|11.15}} według {{LinkWzór|11.31}}. Np. dla {{Formuła|<MATH>C=1,1.5\;</MATH>}} cząstka może mieć tylko jedną wartość rozwiązania E (rozwiązania {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\beta\;</MATH>}}), ale już np. dla {{Formuła|<MATH>C=2,2.25\;</MATH>}} cząstka może przyjmować dwie wartości energii( tzn. określone przez {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\delta\;</MATH>}} oraz kolejno {{Formuła|<MATH>\alpha^'\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\beta^'\;</MATH>}}). Oczywiste jest, że dalsze powiększanie jamy potencjału powoduje pojawianie się dalszych poziomów energetycznych {{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}}, przy czym poziomy odpowiadające rozwiązaniom parzystym i nieparzystym pojawiają się na przemian, bo {{Formuła|<MATH>ka\;</MATH>}} dla rozwiązania parzystego jest mniejsze niż dla rozwiązania nieparzystego dla ściśle określonej objętości jamy potencjału {{Formuła|<MATH>C\;</MATH>}}. Z rozwiązań {{LinkWzór|11.36}} (rozwiązanie parzyste) i {{LinkWzór|11.37}} (rozwiązanie nieparzyste) wynika, że mamy niezerowe funkcje falowe na ściankach studni potencjałów i cząstka może oczywiście wnikać w ściankę jamy potencjału, to zjawisko nie jest możliwe w mechanice klasycznej.

Weźmy w równaniu {{LinkWzór|11.42}} i {{LinkWzór|11.43}}, tzn. w pierwszych tam równościach, za zmienną {{Formuła|<MATH>\xi\;</MATH>}} dla rozwiązania parzystego {{LinkWzór|11.30}} oraz dla rozwiązania nieparzystego {{LinkWzór|11.31}}:

wtedy wzory na zmienną {{Formuła|<MATH>\eta\;</MATH>}} dla rozwiązań parzystych i nieparzystych piszemy:

Widzimy z rysunku {{LinkGrafika|wk2121}}, że rozwiązaniem na rysunku jest co najmniej jeden stan parzysty {{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}}, która wynika napewno z rozwiązania parzystego, dla stanów nieparzystych dla danej głębokości jamy potencjału może nie być rozwiązań nieparzystych. Ogólnie liczba rozwiązań parzystych jest co najmniej jeden, a nieparzystych co najmniej zero, dla danego {{Formuła|<MATH>C\;</MATH>}}.

Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w studni potencjału nazywamy wyrażenie dla stanów parzystych {{LinkWzór|11.36}} lub nieparzystych {{LinkWzór|11.37}} ze stałą {{Formuła|<MATH>A_2\;</MATH>}} {{LinkWzór|11.39}} lub {{Formuła|<MATH>B_2\;</math>}}{{LinkWzór|11.40}}, których ich ostateczna postać jest taka sama.

Dla rozwiązań parzystych obowiązuje wzór {{LinkWzór|11.30}}, z którego można napisać {{Formuła|<MATH>_{\kappa=k\operatorname{tg} ka\Rightarrow \cos ka={{k\sin ka}\over{\kappa}}}\;</MATH>}}, zatem mając wzór {{linkWzór|11.44}}, po wykorzystaniu tego dochodzimy do wniosku:

Dla rozwiązań nieparzystych obowiązuje wzór {{LinkWzór|11.31}}, z tego wzoru możemy otrzymać tożsamość {{Formuła|<math>\kappa=-k\operatorname{ctg}ka\Rightarrow \sin ka=-{{k\cos ka}\over{\kappa}}\;</MATH>}} i podstawiając go do {{LinkWzór|11.44}} zaznaczaniem, że mamy do czynienia, ze stanami nieparzystymi:

Prz definicjach stałych {{LinkWzór|11.55}}({{Formuła|<MATH>k^2\;</MATH>}}) i {{LinkWzór|11.56}}({{Formuła|<Math>\kappa^2\;</MATH>}}) równania różniczkowe {{LinkWzór|11.53}} (stan 1 i 3) i {{LinkWzór|11.54}} (stan 2) przyjmują wygląd:

Równania {{LinkWzór|11.62}}, {{LinkWzór|11.63}}, {{LinkWzór|11.64}} i {{LinkWzór|11.65}} stanowi układ czterech równań z pięcioma niewiadomymi. Zajmijmy się równaniami {{LinkWzór|11.64}} i {{LinkWzór|11.65}}, wymnażając te pierwsze równanie obustronnie przez stałą {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}}:

Następnym chwytem jest zastąpienie funkcji wykładniczej {{Formuła|<MATH>e^{\pm 2i\kappa a}\;</MATH>}} odpowiednimi funkcjami trygometrycznymi {{Formuła|<MATH>\cos2\kappa a\pm i\sin 2\kappa a\;</Math>}} które oznaczają tą samą wielkość zespoloną.

Wtedy współczynniki odbicia R =0 {{LinkWzór|11.76}} i transmisji T=1 {{LinkWzór|11.77}}, czyli dochodzimy do wniosku, że wszystkie cząstki przechodzą przez studnię potencjału. Możemy skorzystać ze wzoru na {{Formuła|<math>_{\kappa^2}\;</Math>}} {{LinkWzór|11.56}} i biorąc końcowy warunek wynikowy {{LinkWzór|11.79}}:{{IndexWzór|<MATH>n\pi=2\sqrt{{{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}}a\Rightarrow {{n^2\pi^2}\over{4}}={{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}a^2\Rightarrow E+U={{n^2\pi^2\hbar^2}\over{8m a^2}}\;</MATH>|11.80}}

to dla stanów zwanych rozproszonymi nazywamy energię E dla których zachodzi {{Formuła|<mATH>n>v\;</MATH>}}, to można zapisać przy pomocy p, który jest ograniczony do najbliższych liczb naturalnych, bo zachodzi ostatnie wyrażenie, czyli zachodzi własność {{Formuła|<MATH>p<<v\;</MATH>}}, dla której powinno mieć miejsce:

*gdzie: {{Formuła|<MATH>[v]\;</MATH>}} jest to największa liczba całkowita nieprzekraczająca v.

Nasz stosunek {{Formuła|<MATH>_{{{p}\over{v}}}\;</MATH>}} wedle ostatnich rozważań możemy napisać, dla której {{Formuła|<MATH>_{0\leq{{[v]}\over{v}}\leq 1}\;</MaTH>}} jest liczbą bardzo małą dodatnią, czyli zachodzi {{Formuła|<MaTH>_{p<<v}\;</MATH>}}, zatem możemy napisać wzór na energię rezonansowe w niskoenergetycznym rozpraszaniu wedle sposobu:

Rozpatrzmy stany rozproszeniowe, czyli dla których panuje energia stanów rozproszeniowych E>0 niskoenergetycznych i głębokość studni jest o wiele większa niż energia cząstki czyli stany niskoenergetyczne {{Formuła|<MATH>E<<U\;</MATH>}} lub równoważnie można zapisać:

Możemy wykorzystać wzory {{LinkWzór|11.55}}({{Formuła|<MATH>k\;</MATH>}}) i {{LinkWzór|11.56}}({{Formuła|<math>\kappa\;</MATH>}}), można zapisać stosunek tej drugiej stałej przez pierwszą, dojdziemy do wniosku, że ten obiekt jest o wiele większy od jedynki, a więc jego odwrotność jest o wiele mniejsza od jedynki.

Gdy zachodzi {{Formuła|<MATH>E\rightarrow 0\;</MATH>}}, dochodzimy do wniosku, że {{Formuła|<MaTH>{{k}\over{\kappa}}\rightarrow 0\;</MATH>}}, co wynika ze wzoru {{LinkWzór|11.55}}, to przy tym założeniu współczynniki transmisji i odbicia spełniają warunki:

Możemy wykorzystać definicję stałych {{LinkWzór|11.55}}({{Formuła|<MATH>k^2\;</mATH>}}) i {{LinkWzór|11.56}}({{Formuła|<MATh>\kappa^2\;</MATH>}}), to wzory na współczynnik odbicia R {{LinkWzór|11.90}} i na współczynnik transmisji T {{LinkWzór|11.91}} przy rozpraszaniu niskoenergetycznymi, wiedząc jeszcze, że zachodzi warunek na naszych wspomnianych parametrach:

Liczymy powyższą pochodną dla rezonansu, jeśli mamy dla 2&kappa;a=n&pi;, to zachodzi na pewno wynikającego z poprzedniego warunku {{Formuła|<math>\sin 2\kappa a=0\;</MATH>}}, czyli również można powiedzieć: