Mechanika kwantowa/Kwantowy oscylator harmoniczny: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
|||
Linia 6:
Hamiltonian oscylatora jednowymiarowa jest sumą operatorów energii kinetycznej i operatora energii potencjalnej (operator energii potencjalnej jest to operator mnożenia przez liczbę, podobnej jak operator współrzędnej położenia, który jest operatorem mnożenia) {{LinkWzór|17.1}}, jeśli założymy, że pomijamy spin cząstki kwantowej, to operator energii całkowitej kinetycznej wyrazimy:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{d^2}\over{dx^2}}+{{1}\over{2}}m\omega^2x^2\cdot\;</MATH>|17.2}}
Równanie własne operatora energii {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}}, tuż potem po przekształceniu do postaci wygodnej, jest zapisane według:
{{IndexWzór|<MaTH>\left(-{{\hbar^2}\over{2m}}{{d^2}\over{dx^2}}+{{1}\over{2}}m\omega^2x^2\right)\psi=E\psi
\Rightarrow \left({{d^2}\over{dx^2}}-{{m^2\omega^2}\over{\hbar^2}}x^2\right)\psi+{{2mE}\over{\hbar^2}}\psi=0\;</MaTH>|17.3}}
Linia 18:
Przy powyższym oznaczeniu nowej zmiennej {{LinkWzór|17.5}} równanie {{LinkWzór|17.3}} w tychże zmiennych jest:
{{IndexWzór|<MATH>\alpha^2{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\alpha^4x^2\psi+{{2mE}\over{\hbar^2}}\psi=0\Rightarrow
{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\alpha^2x^2\psi+{{2mE}\over{\hbar^2}}{{\hbar}\over{m\omega}}\psi=0\Rightarrow{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\alpha^2x^2\psi+{{2E}\over{\hbar\omega}}\psi=0\;</MATH>
Przyjmując jeszcze raz oznaczenie {{LinkWzór|17.5}} oraz wprowadzony następny stały parametr w trzecim składniku sumy ostatniego wyrażenia, czyli parametr zależny od energii cząstki w oscylatorze harmonicznym i jest on zdefiniowany wedle sposobu:
{{IndexWzór|<math>\lambda={{2E}\over{\hbar\omega}}\;</maTH>|17.7}}
Linia 27 ⟶ 26:
===Rozwiązania asymptotyczne===
Napiszmy równanie asymptotyczne spełnione dla {{Formuła|<MATH>x\rightarrow\infty\;</MATH>}}, według definicji {{Formuła|<MATH>\xi\;</MATH>}} {{LinkWzór|17.5}} zauważamy, że mamy warunek dla niej, gdy zmienna z kwadratem {{Formuła|<MATH>\xi^2\;</math>}} jest o wiele większa od parametru {{Formuła|<MATH>\lambda\;</MATH>}}, czyli zachodzi warunek dla rozwiązania asymptotycznego {{Formuła|<math>\xi^2>>\lambda\;</MATH>}}, odpowiednikiem asymptotycznym równania własnego {{LinkWzór|17.8}} jest równanie:
{{IndexWzór|<MATH>{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\xi^2\psi=0\;</MATH>|17.9}}
Rozwiązaniem powyższego równania jest zestaw funkcji, a znak występującej w tej funkcji przyjmiemy jako plus lub minus, i udowodnimy czy dla tego rozwiązania asymptotycznego właściwym znakiem jest znak minus, bo jest on rozwiązaniem asymptotycznym:
Linia 37 ⟶ 36:
\pm \xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}+\xi^2e^{\pm {{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.12}}
|}
Drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|17.10}} zależnego tylko od zmiennej rzeczywistej {{Formuła|<MaTh>\xi\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|17.12}} i {{LinkWzór|17.10}}, podstawiamy do równania różniczkowego asymptotycznego {{LinkWzór|17.9}}, dostajemy niezerowe tożsamościowo wyrażenie, pamiętając o wyborze znaku minus, która dla ξ nieskończonego, dąży do zera, co opiszemy z komentarzami poniżej, nasze wyrażenie możemy napisać:
{{IndexWzór|<MAtH>{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\xi^2\psi=\pm \xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}+\xi^2e^{\pm {{\xi^2}\over{2}}}-\xi^2e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}=\pm \xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.13}}
Ponieważ wyznaczamy równanie asymptotyczne {{LinkWzór|17.8}} dla {{Formuła|<math>\xi\;</Math>}} bardzo dużego, zatem musi być spełniony warunek:
{{IndexWzór|<MATH>\lim_{\xi\rightarrow\infty}\pm \xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}=0\;</MATH>|17.14}}
Aby powyższe wyrażenie w nieskończonościach dążyło do zera musimy wybrać znak minus, bo ze znakiem plus powyższe wyrazie dąży do nieskończoności i nie jest poprawnym wyrażeniem rozwiązania asymptotycznego:
Linia 45 ⟶ 44:
Doszliśmy do wniosku, że rozwiązaniem asymptotycznym równania {{LinkWzór|17.8}}, czyli dla {{LinkWzór|17.9}}, jest rozwiązanie w postaci funkcji ze znakiem minus, ale już nie ze znakiem plus:
{{IndexWzór|<MATH>\psi=e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.16}}
Powyższe rozwiązanie jest rozwiązaniem całkowalnym z kwadratem po całej linii prostej {{Formuła|<MATH>(-\infty,\infty)\;</MATH>}}, czyli dobrze zrobiliśmy.
===Równanie różniczkowe dla funkcji aplitudowej rozwiązania asymptotycznego===
Dla rozwiązania asymptotycznego {{LinkWzór|17.16}} uzmiennijmy stałą zależącą od zmiennej ξ, którego rozwiązaniem pełnego rozwiązania równania różniczkowego jest {{LinkWzór|17.8}}:
{{IndexWzór|<MATH>\psi=\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.17}}
Wyznaczmy dwie pierwsze pochodne funkcji {{LinkWzór|17.17}} przy założeniu, że funkcja {{Formuła|<MatH>\nu\;</MATH>}} jest zależna od zmiennej ξ, które te pochodne i samą funkcję podstawimy do równania różniczkowego {{LinkWzór|17.8}} z którego wyznaczymy funkcję aplitudową {{Formuła|<MAth>\nu\;</MATH>}} zależną od omawianej zmiennej.
*pierwsza pochodna funkcji {{LinkWzór|17.17}} względem {{Formuła|<math>\xi\;</Math>}}.
{{IndexWzór|<MATH>{{d}\over{d\xi}}={{d\nu}\over{d\xi}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.18}}
*druga pochodna funkcji {{LinkWzór|17.17}}, a więc pierwsza pochodna pierwszej pochodnej {{LinkWzór|17.18}}.
Linia 59 ⟶ 58:
Drugą pochodną {{LinkWzór|17.19}} wyrażenia {{LinkWzór|17.17}} i tą właśnie funkcję podstawiamy do równania różniczkowego {{LinkWzór|17.8}}, dostajemy wyrażenie:
{{IndexWzór|<MATH>
{{d^2\nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-2{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\nu\xi^2e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\lambda\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\xi^2\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}=0
{{d^2\nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-2{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\lambda\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}=0\;</MATH>|17.20}}
Równanie różniczkowe {{LinkWzór|17.20}} dzielimy obustronnie przez funkcję
{{IndexWzór|<MATH>{{d^2\nu}\over{d\xi^2}}-2{{d\nu}\over{d\xi}}\xi +(\lambda-1)\nu=0\;</MATH>|17.21}}
Linia 74 ⟶ 73:
Pochodne zmiennej aplitudowej pierwsze i drugie i samą funkcję podstawiamy do wzoru różniczkowego {{LinkWzór|17.21}} dostając następne wyrażenie:
{{IndexWzór|<MATH>\sum^{\infty}_{k=2}a_k k(k-1)\xi^{k-2}-2\xi\sum^{\infty}_{k=1}a_k k\xi^{k-1}+(\lambda-1)\sum^{\infty}_{k=0}a_k\xi^k=0\;</MATH>|17.25}}
Dokonując drobnych obliczeń w {{LinkWzór|17.25}} przenosząc w drugim wyrazie zmienną {{Formuła|<MATH>\xi\;</MATH>}} pod sumę i włączając ją do potęgi o wykładniku k-1 dostając wykładnik k:
{{IndexWzór|<MaTH>\sum^{\infty}_{k=2}a_k k(k-1)\xi^{k-2}-2\sum^{\infty}_{k=0}a_k k\xi^{k}+(\lambda-1)\sum^{\infty}_{k=0}a_k\xi^k=0\;</MATH>|17.26}}
Dokonujemy zamiany zmiennych w pierwszym składniku sumy wedle schematu, tzn. {{Formuła|<math>k-2\rightarrow k^'\;</MATH>}} w ostatnim wyrażeniu różniczkowym:
{{IndexWzór|<MATH>\sum^{\infty}_{k=0}a_{k+2} (k+2)(k+1)\xi^{k
Wszystkie współczynniki, wyrażone w postaci pewnych wyrażeń, leżące przy współczynnikach {{Formuła|<MATH>\xi^k\;</MATh>}} są równe zero dla dowolnych zmiennych {{Formuła|<math>\xi\;</MATH>}} rzeczywistych, zatem powinno zachodzić:
{{IndexWzór|<MATH>a_{k+2}(k+2)(k+1)-2a_k k+(\lambda-1)a_k=0\Rightarrow a_{k+2}(k+2)(k+1)=(2k-\lambda+1)a_k\;</MATH>|17.28}}
Zatem dla współczynników wzory iteracyjne {{Formuła|<maTH>a_k\;</Math>}} są wyrażone wzorem:
{{IndexWzór|<MATH>a_{k+2}={{2k-\lambda+1}\over{(k+2)(k+1)}}a_k\;</math>|17.29}}
Dla dużych k powyższe wyrażenie iteracyjne zapisujemy:
Linia 88 ⟶ 87:
Dla szeregu potegowego {{LinkWzór|17.31}} napiszmy stosunek współczynnika o numerze k+2 do współczynnika o numerze "k" dostając przy tym pewne uproszczone wyrażenie, i wyraźmy go dla dużych k:
{{IndexWzór|<Math>{{b_{k+2}}\over{b_k}}={{ {{1}\over{(k/2+1)!}} }\over{ {{1}\over{(k/2)!}} }}={{(k/2)}\over{(k/2+1)!}}={{(k/2)1}\over{(k/2)!(k/2+1)}}={{1}\over{(k/2+1)}}\simeq{{2}\over{k}}\;</MATH>|17.32}}
Na podstawie końcowego wyrażenia {{LinkWzór|17.30}} i współczynników rozwinięcia funkcji {{LinkWzór|17.31}} czyli ilorazem kolejnych wyrazów b<sub>k</sub> w {{LinkWzór|17.32}}, zatem rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|17.21}} są takie funkcje, które z {{LinkWzór|17.17}} były niecałkowalne z kwadratem, a rozwiązaniem równania oscylatora harmonicznego powinny być funkcje całkowalne z kwadratem, zatem szereg {{LinkWzór|17.22}} należy urwać na pewnym wyrazie, tzn. {{Formuła|<math>a_{k}\neq 0\;</Math>}} i {{Formuła|<MaTH>a_{k+1}=0\;</MaTH>}}, zatem w {{LinkWzór|17.28}} musi być spełniony warunek by była zachowana całkowalność z kwadratem funkcji {{LinkWzór|17.22}}:
{{IndexWzór|<MATH>2k-\lambda+1=0\;</MATH>|17.33}}
Do równania {{LinkWzór|17.33}} za parametr λ należy podstawić wyrażenie oznaczone {{LinkWzór|17.7}}:
Linia 95 ⟶ 94:
Energie E są skwantowane w zależności od parametru naturalnego k i napiszmy go w postaci zamieniając k na n:
{{IndexWzór|<Math>E_n=\left(n+{{1}\over{2}}\right)\hbar\omega\;</MATH>|17.35}}
Energia własna jednowymiarowego oscylatora harmonicznego jest skwantowana i zależna od liczby kwantowej n, mówi ona, że dla zerowej liczby kwantowej n układ będzie miał jeszcze energię równą {{Formuła|<MaTH>1/2\hbar\omega\;</Math>}}.
===Rozwiązania funkcji własnych równania własnego operatora energii oscylatora harmonicznego===
Linia 104 ⟶ 103:
W równaniu {{LinkWzór|17.37}} występująca funkcja Hermite'a dla małych współczynników można wyrazić go jako:
{{IndexWzór|<MATH>H_0=(-1)^0e^{\xi^2}e^{-\xi^2}=1\;</MATH><BR><MATH>H_1=(-1)^ne^{\xi^2}{{d}\over{d\xi}}e^{-\xi^2}=(-1)e^{\xi^2}(-2\xi)e^{-\xi^2}=2\xi\;</MATH><BR><MATH>H_2=(-1)^2e^{\xi^2}{{d^2}\over{d\xi^2}}e^{-\xi^2}=e^{\xi^2}{{d}\over{d\xi}}\left[(-2)\xi e^{-\xi^2}\right]=-2e^{\xi^2}\left[e^{-\xi^2}-2\xi^2e^{-\xi^2}\right]=4\xi^2-2\;</MATH>|17.38}}
Funkcję {{LinkWzór|17.37}} można unormować całkując ją z kwadratem wyznaczając z stąd stałą {{Formuła|<MATH>C_n\;</MATH>}} zależną od liczby kwantowej n i mając stałą {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}} zdefiniowaną w {{LinkWzór|17.4}}, i przechodząc przez kolejne jego etapy tego unormowania, którego całka jest równa jeden:
{{IndexWzór|<MATH>1=\int_{-\infty}^{\infty}|\psi_n(\xi)|^2dx=C_n^2\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\xi^2}H_n^2(\xi){{d\xi}\over{\alpha}}=C_n^2\alpha^{-1}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\xi^2}H_n^2(\xi)d\xi=C_n^2\alpha^{-1}2^nn!\sqrt{\pi}\;</MATH>|17.39}}
Z powyższego równania normalizacyjnego wyznaczamy stałą {{Formuła|<MATH>C_n\;</MATH>}}, którego wygląd:
{{IndexWzór|<MATH>C_n={{\alpha^{{{1}\over{2}}}}\over{\sqrt{2^nn!\sqrt{\pi}}}}\;</MATH>|17.40}}
wtedy wyrażenie {{LinkWzór|17.37}}, które jest funkcją własna bazy dyskretnej rozwiązania kwantowego równania własnego {{LinkWzór|17.3}} natomiast jest w postaci:
Linia 131 ⟶ 130:
===Część radialna rozwiązania względem rozwiązań Laguerra===
Zakładamy, że funkcja {{Formuła|<MATH>R(r)\;</MATH>}}, która jest rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|17.47}}, która składa się z trzech części i na ostatku z funkcji L(r), którą musimy wyznaczyć, a całkowite rozwiązaniem naszego równania różniczkowego można przedstawić:
{{IndexWzór|<MATH>R(r)=r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)\;</MATH>|17.48}}
Policzmy dwie kolejne pochodne ostatniej funkcji, która zależy od promienia r względem tejże zmiennej (radialnej), najpierw zabierzmy się za pierwszą pochodną naszej funkcji:
Linia 142 ⟶ 141:
r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+\;</MATH><br><MATH>+{{dL}\over{dr}}\left\{-\nu r^{l+2}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}+(l+1)r^{l}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}+(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}} \right\}+\;</MATH><br>
<MATH>+L(r)\left\{l(l+1)r^{l-1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-(l+1)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-(l+2)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}+r^{l+3}\nu^2e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\right\}=\;</MATH><br>
<MATH>=e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\Bigg\{r^{l+1}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{-2\nu r^{l+ 2}+(2l+2)r^l \right\}+L(r)\left\{-(2l+3)r^{l+1}\nu+l(l+1)r^{l-1}+r^{l+3}\nu^2\right\}\Bigg\}\;</MATH>
Obliczoną drugą pochodną {{LinkWzór|17.50}} i wyrażenie {{LinkWzór|17.48}} wstawiamy do równania różniczkowego {{LinkWzór|17.47}}, dostajemy:
{{IndexWzór|<MATH>e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\Bigg\{r^{l+1}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{-2\nu r^{l+ 2}+(2l+2)r^l \right\}+L(r)\left\{-(2l+3)r^{l+1}\nu+l(l+1)r^{l-1}+r^{l+3}\nu^2\right\}+\;</MATH><
Równanie {{LinkWzór|17.51}} dzielimy obustronnie przez {{Formuła|<MATH>e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\;</MATH>}}, która jak wiadomo z analizy matematycznej jest wyrażeniem zawsze niezerowym, a następnie dokonujmy odpowiednich przekształceń w równości {{LinkWzór|17.51}}:▼
▲Równanie {{LinkWzór|17.51}} dzielimy obustronnie przez <MATH>e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\;</MATH>,która jak wiadomo z analizy matematycznej jest wyrażeniem zawsze niezerowym, a następnie dokonujmy odpowiednich przekształceń w równości {{LinkWzór|17.51}}:
{{IndexWzór|<MATH>r^{l+1}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{-2\nu r^{l+2}+(2l+2)r^l \right\}+L(r)\left\{\lambda r^{l+1}-(2l+3)r^{l+1}\nu \right\}=0\;</MATH>|17.52}}
Otrzymane równanie dzielimy obustronnie przez {{Formuła|<MATH>r^{l}\;</MATH>}}, otrzymujemy:
{{IndexWzór|<MATH>r{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{2l+2-2\nu r^2\right\}+L(r)r\left\{\lambda-(2l+3)\nu\right\}=0\;</MATH>|17.53}}
Dokonajmy zamiany zmiennych w równaniu różniczkowym {{LinkWzór|17.53}} zmienną r na zmienną x:
{{IndexWzór|<MATH>x=\nu r^2\;</MATH>|17.54}}
licząc najpierw pierwszą pochodną funkcji {{Formuła|<MATH>L
{{IndexWzór|<MATH>{{dL}\over{dr}}={{dL}\over{dx}}{{dx}\over{dr}}=2\nu r{{dL}\over{dx}}\;</MATH>|17.55}}
a także drugą pochodną funkcji L(r), korzystając z pierwszej pochodnej {{LinkWzór|17.55}}, przy definicji zmiennej x {{linkWzór|17.54}}:
{{IndexWzór|<MATH>{{d^2L}\over{dr^2}}={{d}\over{dr}}{{dL}\over{dr}}={{d}\over{dr}}2\nu r{{dL}\over{dx}}=2\nu{{d}\over{dr}}r{{dL}\over{dx}}=2\nu {{dL}\over{dx}}+2\nu r{{d}\over{dr}}{{dL}\over{dx}}=2\nu {{dL}\over{dx}}+4\nu^2r^2 {{d^2L}\over{dx^2}}=4\nu x{{d^2L}\over{dx^2}}+2\nu{{dL}\over{dx}}\;</MATH>
Równanie {{LinkWzór|17.53}} mnożymy przez {{Formuła|<MATH>\nu r\;</MATH>}}, dostajemy:▼
▲Równanie {{LinkWzór|17.53}} mnożymy przez <MATH>\nu r\;</MATH>, dostajemy:
{{IndexWzór|<MATH>\nu r^2{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+\nu r{{dL}\over{dr}}\left\{2l+2-2\nu r^2\right\}+L(r)r^2\nu\left\{\lambda-(2l+3)\nu\right\}=0\;</MATH>|17.57}}
Dokonujemy teraz wstędnej zamiany zmiennych {{LinkWzór|17.54}} w równaniu różniczkowym {{LinkWzór|17.57}}, co w rezultacie otrzymujemy:
Linia 165 ⟶ 160:
Teraz dokonajmy, podstawień za pochodne, tzn. za pierwszą {{LinkWzór|17.55}} i drugą {{LinkWzór|17.56}} zapisaną względem r funkcji L(r) do {{LinkWzór|17.58}}, dochodzimy do wniosku:
{{IndexWzór|<MATH>4\nu x^2{{d^2L}\over{dx^2}}+2\nu x{{dL}\over{dx}}+2\nu x{{dL}\over{dx}}(2l+2-x)+L(r)x\left\{\lambda-(2l+3)\right\}=0\;</MATH>|17.59}}
Ponieważ mamy w ogólności, że zmienna x {{LinkWzór|17.54}} spełnia takowy warunek {{Formuła|<MATH>x\neq 0\;</MATH>}}, bo nielogiczne jest, że cząstka może przyjmować tylko położenie x=0, więc możemy dokonać dzielenia przez x we wzorze {{LinkWzór|17.59}}:
{{IndexWzór|<MATH>4\nu x{{d^2L}\over{dx^2}}+2\nu {{dL}\over{dx}}(2l+3-x)+L(r)\left\{\lambda-(2l+3)\right\}=0\;</MATH>|17.60}}
Dzielimy obie strony przez niezerowy parametr {{Formuła|<MATH>4\nu\;</MATH>}} dla równania {{LinkWzór|17.60}}, dostajemy:
{{IndexWzór|<MATH>x{{d^2L}\over{dx^2}}+{{dL}\over{dx}}(l+{{3}\over{2}}-x)+L(r)\left\{{{\lambda}\over{4\nu}}-{{2l+3}\over{4\nu}}\right\}=0\;</MATH>|17.61}}
Idąc dalej w {{LinkWzór|17.61}} przekształcamy go do postaci bardzo podobnej do równania różniczkowego Laguerra:
Linia 186 ⟶ 181:
Aby rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|17.66}} było zawsze skończone, które jest rozwiązaniem Laguerra, to musi zachodzić na podstawie {{LinkWzór|17.65}}, że poniższe wyrażenie musi mieć całkowitą skończoną podstać, z której możemy wyznaczyć zmienną b znając a z {{LinkWzór|17.63}}:
{{IndexWzór|<MATH>b-a={{\lambda}\over{4\nu}}-{{l}\over{2}}-{{3}\over{4}}\equiv n-1\Rightarrow b=n-1+a=n-1+l+{{1}\over{2}}\Rightarrow b=n+l-{{1}\over{2}}\;</MATH>|17.67}}
*gdzie: {{Formuła|<MATH>n=1,2,3,...\;</MATH>}}.
===Wartości własne energii własnych===
Linia 195 ⟶ 190:
Końcowe wyrażenie {{LinkWzór|17.68}} powstaje, gdy po podstawieniu za jej lewą stroną ostatnią tożsamość {{linkWzór|17.69}}, otrzymujemy:
{{IndexWzór|<MATH>{{E}\over{\hbar\omega}}=2n+l-{{1}\over{2}}\;</MATH>|17.70}}
Zatem ostatecznie w {{LinkWzór|17.70}}, dokonujemy wymnożenia przez wyrażenie {{Formuła|<MATH>\hbar\omega\;</Math>}}, z której możemy wyznaczyć energię oscylatora harmonicznego w postaci skwantowanej zależącą od dwóch parametrów naturalnych n i l:
{{IndexWzór|<MATH>E=\left(2n+l-{{1}\over{2}}\right)\hbar\omega\;</MATH>|17.71}}
Ponieważ, nic nie zakładaliśmy co do wartości n i l w rozwiązaniach równania radialnego kwantowego oscylatora harmonicznego w {{LinkWzór|17.47}} i tożsamości początkowej {{LinkWzór|17.67}}, to one mogą przebiegać niezależnie, według schematu:
Linia 207 ⟶ 202:
{{IndexWzór|<MATH>N=2n+l-2\;</MATH>{{Tekst|,gdzie }}<MATH>N=0,1,2,3,4,..\;</MATH>|17.75}}
aby równanie {{LinkWzór|17.74}} było zgodne z {{LinkWzór|17.71}}.
Z {{LinkWzór|17.75}} wyznaczamy {{Formuła|<MATH>l\;</MATH>}}, aby później wyznaczyć stopień generacji dla kwantowego oscylatora harmonicznego.
{|width=100%|-
{{IndexWzór|<MATH>l=N+2-2n\;</MATH>{{Tekst|, wtedy mamy: }}<MATH>l=N,N-2,N-4,...,1\mbox{ lub } 0\;</MATH>|17.76}}
Linia 218 ⟶ 213:
===Funkcje własne trójwymiarowego kwantowego oscylatora harmonicznego===
jeśli mamy rozwiązanie R(r) {{LinkWzór|17.48}} poprzez funkcję Laguerra i mając definicję funkcji jako {{Formuła|<MATH>{{R(r)}\over{r}}\;</MATH>}}, i mając jeszcze funkcje kuliste, i uwzględniając jeszcze pojęcie spinu, to nasze rozwiązanie równania własnego {{linkWzór|17.43}} przyjmuje postać:
{{IndexWzór|<MATH>\psi_{nlm_lm_s}\sim r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L^{a=l+{{1}\over{2}}}_{b=n+l-{{1}\over{2}}}(\nu r^2)Y_{lm_l}(\theta\phi)\chi_{m_s}\;</MATH>|17.80}}
Linia 233 ⟶ 228:
Napiszmy teraz równanie własne operatora zdefiniowanego w {{linkWzór|17.84}} wykorzystując równanie własne kwadratu całkowitego, orbitalnego, spinowego momentu pędu, wiedząc, że wszystkie te operatory mają wspólne funkcje własne i mają bardzo podobne wartości pod względem wyglądu:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{H}\psi^{(ls)}_{nljm}=\left\{-{{\hbar^2}\over{2M}}\Delta+{{M\omega^2r^2}\over{2}}\right\}\psi^{(lm)}_{nljm}+
{{D}\over{2}}(\hat{j}^2-\hat{l}^2-\hat{s}^2)\psi^{(lm)}_{nljm}=\left\{(N+{{3}\over{2}})\hbar\omega+{{D}\over{2}}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right]\right\}\psi^{(lm)}_{nljm}\;</MATH>
Poprawka do energii {{Formuła|<MATH>\Delta E\;</MATH>}} poziomów oscylatora harmonicznego trójwymiarowego przyjmuje logiczną postać:▼
▲Poprawka do energii <MATH>\Delta E\;</MATH> poziomów oscylatora harmonicznego trójwymiarowego przyjmuje logiczną postać:
{{IndexWzór|<MATH>\Delta E={{D}\over{2}}\left(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right)={{D}\over{2}}\left(j(j+1)-l(l+1)-{{3}\over{4}}\right)\;</MATH>|17.86}}
Ponieważ całkowita liczba kwantowa "j" jest kwantową połówkową liczbą kwantową, która może się mieścić się pomiędzy liczbami połówkowymi, określonych przez orbitalne liczby kwantowe "l" przyjmujących wartości całkowite nieujemne, co wynika z dodawania orbitalnego momentu pędu i liczby kwantowej połówkowej spinowej liczby kwantowej równej {{Formuła|<Math>
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|
Linia 244 ⟶ 238:
|}
Znajdziemy poprawkę do energii {{LinkWzór|17.86}} uwzględniając istnienie spinu cząstki przy całkowitym momencie pędu "j" sformułowanego według wyrażenia {{LinkWzór|17.87}}:
{{IndexWzór|<MATH>(\Delta E)_{l+{{1}\over{2}}}={{D}\over{2}}\left[\left(l+{{1}\over{2}}\right)\left(l+{{3}\over{2}}\right)-l(l+1)-{{3}\over{4}}\right]
{{D}\over{2}}\left(l^2+{{3}\over{2}}l+{{1}\over{2}}l+{{3}\over{4}}-l^2-l-{{3}\over{4}}\right)=
{{D}\over{2}}l\;</MATH>|17.89}}
Znajdziemy poprawkę do energii {{LinkWzór|17.86}} uwzględniając istnienie spinu cząstki przy całkowitym momencie pędu "j" sformułowanego według wyrażenia {{LinkWzór|17.88}}:
{{IndexWzór|<MATH>(\Delta E)_{l-{{1}\over{2}}}={{D}\over{2}}\left[\left(l-{{1}\over{2}}\right)\left(l+{{1}\over{2}}\right)-l(l+1)-{{3}\over{4}}\right]
{{D}\over{2}}\left(l^2+{{1}\over{2}}l-{{1}\over{2}}l-{{1}\over{4}}-l^2-l-{{3}\over{4}}\right)={{D}\over {2}}\left(-l-1\right)=-{{D}\over{2}}(l+1)\;</MATH>|17.90}}
Więc rozszczepienie przyjmuje wartość dla różnicy energii między dwoma skrajnymi poziomami dla tej samej orbitalnej liczby kwantowej, czyli dla najbliższych sąsiadów całkowita poprawka do energii, przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|17.89}} i {{LinkWzór|17.90}}, piszemy jako poprawkę do energii elektronu:
|