Mechanika kwantowa/Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a: Różnice pomiędzy wersjami

{{IndexWzór|<MATH>F_i=-k{{\Delta_i E_p}\over{\partial \phi}}={{1}\over{2}}{{\Delta_i}\over{\partial \phi}}\sum^{n}_{i=1}k(\phi_{i+1}-\phi_{i})^2=-{{1}\;</MATH><BR>over{2}}k

+\phi_{i+1}^2+\phi_{i}^2-2\phi_{i+1}\phi_{i}]=-{{1}\;</MATH><BR>over{2}}k\left(2\phi_i-2\phi_{i-1}+2\phi_i-2\phi_{i+1}\right)=

k(\phi_{i+1}+\phi_{i-1}-2\phi_i)=\;</MATH><BR><MATH>=-ka^2{{{{\phi_{i+1}-\phi_i}\over{2a}}k\left(2-{{\phi_i-2\phi_{i-1}+2}\phi_i-2over{a}}}\phi_over{i+1a}}\right)=;</MATH>|26.11}}

Obierzmy stałe: {{Formuła|<MATH> \mu={{m}\over{a}}\;</MATH>}} oraz Y=ka, wtedy równanie ruchu {{LinkWzór|26.12}} ma się:

Z definicji sprzężenia hermitowskiego i dowodu {{LinkWzór|26.22}} wynika własność {{LinkWzór|26.21}}, a zwrot strzałki nad {{Formuła|<MATH>\partial\;</MATH>}}, wynika, czy ten operator pochodnej działa na prawą czy lewą stronę względem pozycji jaki on się znajduje, czyli względem której strony różniczkowanie jest napisane.

*gdzie : {{Formuła|<MATH>k=0,1,2\;</MATH>}}.

{{IndexWzór|<MATH>{{\hbar^2}\over{2m_0}}\left({{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}-\nabla^2\psi\right)+{{1}\over{2}}m_0c^2\psi=0\Rightarrow {{\hbar^2}\over{2m_0}}\left[{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}-\nabla^2\psi\right]=-{{1}\over{2}}m_0c^2\psi\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>=

{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}-\nabla^2\psi=-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi\Rightarrow \;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow\left(\nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}\right)\psi={{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi</MATH>|26.30}}

Mnożymy obustronnie równość {{LinkWzór|26.34}} przez operator {{Formuła|<MAth>\hat{\beta}\;</MATH>}}, oraz wykorzystujemy, że zachodzi tożsamość operatorowa {{LinkWzór|25.10|Mechanika kwantowa/Relatywistyczna_teoria_kwantów_Diraca}}, wiemy:

W kwantowej mechanice relatywistycznej Diraca przyjmujemy definicje oparte na tensorach czterowektorów pochodnych kowariantnych {{LinkWzór|26.19}} i kontrkowariantnych {{LinkWzór|26.20}} oraz zdefiniujemy nową funkcję {{Formuła|<MATH>\overline{\psi}\;</math>}}, których definicję poznamy poniżej:

Równanie {{LinkWzór|26.37}} dzielimy obustronnie przez wyrażenie urojone {{Formuła|<maTh>i\hbar\;</MATH>}}, dostajemy tożsamość:

Z skonstruujemy gęstość lagrangianu dla pola opisujących kwantowe cząstki o spinie równym {{Formuła|<MATH>_{s={{1}\over{2}}}\;</MATH>}} w równaniu Diraca , co prowadzi do definicji tejże wielkości:

Równanie {{LinkWzór|26.49}} dzielimy obustronnie przez stałą urojoną {{Formuła|<MATH>-i\hbar c\;</MATH>}}, dochodzimy do wniosku, że:

Jeśli będziemy różniczkować po &psi;, a nie po {{Formuła|<MATH>\overline{\psi}\;</MATH>}}, to otrzymamy inne równanie napisanej wedle wzoru:

Wykorzystujemy definicję funkcji {{Formuła|<MATH>\overline{\psi}\;</MATH>}} zapisaną w schemacie {{LinkWzór|26.41}} w równaniu {{LinkWzór|26.51}}, dostajemy, że:

Teraz mnożymy prawostronnie równanie {{LinkWzór|26.52}} przez operator {{Formuła|<MATH>\hat{\beta}\;</MATH>}}, to wiemy wtedy na pewno:

Podziałajmy prawostronnie na równanie Diraca mechaniki relatywistycznej opisujących cząstki spinie połówkowym {{LinkWzór|26.42}} operatorem: {{Formuła|<MATH>\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}-i{{m_0c}\over{\hbar}}\;</MATH>}}, otrzymujemy:

Ale jeśli na równość różniczkową {{LinkWzór|26.54a}} podziałamy operatorem odwrotnym do {{Formuła|<MATH>\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}-i{{m_0c}\over{\hbar}}\;</MATH>}} to otrzymamy równanie Diraca {{LinkWzór|26.42}}, wtedy równania Diraca zawierają sobie zbiór rozwiązań równania Klieina-Gordona. Zatem na podstawie poprzednich rozważań dostajemy, że rozwiązania w obu teoriach są takie same.

{{IndexWzór|<MATH>\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}^2=\left(\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\right)^2=\left(\hat\beta {{\partial }\over{c\partial t}}+\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k\right)^2=\left(\hat\beta {{\partial }\over{c\partial t}}+\hat\beta\hat\alpha_l\nabla_l\right)\left(\hat\beta {{\partial }\over{c\partial t}}+\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k\right)=\;</MATH><BR><MATH>=\hat \beta^2\left({{\partial}\over{\partial ct}}\right)^2+\hat \beta{{\partial }\over{c\partial t}}\hat \beta\hat\alpha_k\nabla_k+\hat\beta\hat\alpha_l\nabla_l\hat \beta{{\partial }\over{c\partial t}}+\hat\beta\hat\alpha_l\nabla_l\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-{{1}\over{2}}\{\hat\alpha_k,\hat\alpha_l\}\nabla_k\nabla_l={{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-\nabla_l\nabla_l=\;</MATH><BR><MATH>=

{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-\nabla^2=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-\nabla^2=\overset{\rightarrow}{\partial}^2=-\square\;</MAth>|26.55}}