Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów: Różnice pomiędzy wersjami

Pomnóżmy równanie własne {{LinkWzór|28.1}} przez stałą, będącą kombinacją stałych fizycznych {{Formuła|<MATH>_{-{{2m}\over{\hbar^2}}}\;</MATH>}}, aby stało się ono prostsze w dalszych obliczeniach, można napisać:

Połóżmy występujące w równaniu {{LinkWzór|28.2}} na funkcję {{Formuła|<MATH>V(\vec{r})\;</MATH>}} i wartość własną E definicję pewnych stałych, w taki sposób, by nasze końcowe równanie nie zależało od masy cząstki i od stałych fizycznych, których definicję tych stałych podamy poniżej:

Na podstawie {{LinkWzór|28.3}} (definicja stałej E) i {{LinkWzór|28.4}} (definicja {{Formuła|<MATH>V(\vec{r})\;</MATH>}}), wzór {{LinkWzór|28.2}} przybiera inną równoważną postać:

Wyznaczmy funkcję Greena występującego w równaniu {{LinkWzór|28.11}} według jego definicji {{LinkWzór|20.4|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}} i delty Diraca w przestrzeni jednowymiarowej {{LinkWzór|14.39|Metody_matematyczne_fizyki/Wstęp_do_transformacji_Fouriera|MMF}}, w której będziemy mogli napisać operator {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} {{LinkWzór|28.8}} dla przestrzeni trójwymiarowej, także wymnażać będziemy funkcję Diraca dotyczące każdej współrzędnej względem siebie, by otrzymać:

{{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}{{1}\over{\hat{O}e^{-i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}}}=\;</MATH><BR><MaTH>

={{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}{{1}\over{\left(\nabla^2+k_0^2\right)e^{-i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}}}=\;</MATH><BR><MaTH>={{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}{{1}\over{(-k^2+k_0^2)e^{-i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}}}=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}{{e^{i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}}\over{k_0^2-k^2}}\;</MATH>|28.12}}

Następnym krokiem jest wyznaczenie funkcji Greena {{LinkWzór|28.12}} w postaci zwartej, wpierw wyznaczmy całkę, ale przedtem załóżmy, że różnica wektorów {{Formuła|<MATH>\vec{r}-\vec{r}^'\;</MATH>}} leży na osi rzędnych OY:

{{1}\over{4\pi^2}}\int_0^{\infty}{{k^2dk}\over{k_0^2-k^2}}\left[{{e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|u}}\over{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\right]^1_{-1}=\;</MATH><BR><MATH>=

{{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left[\int_0^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}-\int_0^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{-ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right]=\;</MATH><BR><math>=

Całkowanie po linii prostej na osi rzeczywistej możemy zastąpić całkowaniem po półkręgu o środku w punkcie (0,0) wraz z odcinkiem łączących dwa końcowe punkty tego półokręgu w płaszczyźnie zespolonej, to całka na półokręgu dąży do zera, a całka na odcinku (-R,R) na osi rzeczywistej do linii prostej dla R→&infin; ,a to z kolei dąży do {{LinkWzór|28.13}}, ale najpierw napiszmy zamiast k liczbę zespoloną {{Formuła|<MaTH>R\cos\theta+iR\sin\theta\;</MATH>}}, zatem jeśli {{Formuła|<MATH>k\rightarrow\pm\infty\;</MATH>}}, to R→&infin;, wtedy możemy przecałkować po półokręgu dla &epsilon; skończonego, ale nierównego zero, zobaczymy co nam wyjdzie dalej:

{{IndexWzór|<MATH>\left|\int_{O}{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right|=\left|\int_O{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{iR|\vec{r}-\vec{r}^'|\cos\theta }e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}\right|\leq\;</MATH><BR><math>\leq\int_{O}\left|{{k}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}|dk|\leq\;</MATH><BR><math>\leq\max_{k\in O}\left|{{k}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|R\int_0^{\pi}e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}d\theta\;</MAth>|28.14}}

Aby policzyć powyższą całkę należy skorzystać z symetrii funkcji sinus na przedziale {{Formuła|<MATH>(0,{{\pi}\over{2}})\;</math>}}, gdzie funkcja y=sin x jest zawsze większa niż prosta {{Formuła|<MATH>y={{2}\over{\pi}}x\;</MaTH>}}, zatem zachodzi:{{Formuła|<MATH>\sin x\geq {{2}\over{\pi}}x\Rightarrow -\sin x\leq -{{2}\over{\pi}}x\;</MATH>}}, zatem przedział całkowania w {{LinkWzór|28.14}} należy ograniczyć do omawianego przedziału, a wynik pomnożyć przez dwa, zatem:

{{2}\over{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}}}\left[e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}\theta}\right]_0^{{{\pi}\over{2}}}=\;</MATH><BR><MATH>={{2}\over{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}}}\left(e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|}-1\right)=\;</MATH><BR><MATH>={{\pi}\over{R|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left(1-e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right)\;</MATH>|28.15}}

\max_{k\in O}\left|{{k}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|R{{\pi}\over{R|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left(1-e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right)=\;</MATH><BR><MATH>=

Punkty na półkregu leżą nieskończenie daleko od jej środka, zatem {{Formuła|<MATH>|k|\rightarrow\infty\;</MATH>}}, bo {{Formuła|<MATH>R\rightarrow\infty\;</MATH>}}, zatem wyznaczmy granice i zobaczymy co wyjdzie:

Całka na półokręgu {{LinkWzór|28.16}} dąży do zera na podstawie {{LinkWzór|28.17}}, bo jak powiedzeliśmy wcześniej dla omawianego półokręgu {{Formuła|<MATH>|k|\rightarrow\infty\;</MATH>}}, wtedy całkowanie po półokręgu dąży do zera, zatem nasz wynik dla R nieskończonego leży na odcinku {{Formuła|<MaTH>(-R,R)\;</MATH>}}, dochodzimy więc do wniosku, że całkowanie dokonujemy po pewnym konturze, tzn. po półokręgu dla {{Formuła|<MATH>R\rightarrow\infty\;</MATH>}} wraz z odcinkiem łączący oba punkty naszego półokręgu, ale z twierdzenia z analizy matematycznej, całkowanie nie zależy od konturu wokół pewnego punktu osobliwości po jakim całkujemy, zatem całkowanie możemy ograniczyć po okręgu o promieniu &rho; dążących do zera wokół omawianego punktu osobliwowego.

W całce {{LinkWzór|28.13}} dokonajmy podstawienia {{Formuła|<MATH>k_0^2-k^2+i\epsilon=\rho e^{i\theta}\;</MAtH>}}, co stąd po zróżniczkowaniu tego wyrażenia otrzymujemy {{Formuła|<MATH>-2kdk=\rho e^{i\theta}i d\theta\Rightarrow kdk=-{{1}\over{2}}\rho e^{i\theta}id\theta\;</MATH>}}, wykorzystując te podstawienia do całki {{LinkWzór|28.13}} oraz wykorzystując, że funkcja podcałkowa w omawianej całce ma osobliwości w punktach {{Formuła|<Math>k=\pm \sqrt{k_0^2+i\epsilon}=\pm\sqrt{k_0^2\left(1+{{i\epsilon}\over{k_0^2}}\right)}\simeq \pm k_0\pm{{i\epsilon}\over{2k_0^2}}\;</MATH>}}.

Gdy &epsilon;>0, to do wewnątrz półokręgu należy oczywiście punkt {{Formuła|<MATH>k=k_0+{{i\epsilon}\over{2k_0^2}}\rightarrow k_0\;</Math>}}, a drugi nie należy, ale gdy natomiast &epsilon;<0, to do wewnątrz półokręgu należy drugi punkt {{Formuła|<MATH>k=-k_0-{{i\epsilon}\over{2k_0^2}}\rightarrow -k_0\;</MATH>}}, a pierwszy nie należy.

Wykorzystując, że całka nie zależy od konturu po jakim jest całkowanie zawierający jakiś punkt osobliwy, co udowodniliśmy, że zawiera dokładnie jeden punkt w zależności od znaku {{Formuła|<MATH>\epsilon\rightarrow 0\;</MATH>}}, więc możemy przyjąć, że ten promień okręgu, po którym całkować będziemy, dąży do zera, wokół określonego punktu osobliwego, wtedy zmienna k dąży do jednego z nich.

{{IndexWzór|<MATH>G(\vec{r},\vec{r}^')={{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{\rho\rightarrow 0}\int_0^{2\pi}(-1){{{{1}\over{2}}\rho e^{i\theta}id\theta}\over{\rho e^{i\theta}}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}=\;</MATH><BR><MaTH>=

-{{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}i{{1}\over{2}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{\rho\rightarrow 0}\int_0^{2\pi}d\theta e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}=\;</MATH><BR><MaTH>=-{{1}\over{8\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}e^{\pm i(k_0+{{i\epsilon}\over{2k_0^2}})|\vec{r}-\vec{r}^'|}\int_0^{2\pi}d\theta=\;</MATH><BR><MATH>=-{{1}\over{8\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}e^{\pm ik_0|\vec{r}-\vec{r}^'|}2\pi=-{{1}\over{4\pi}}{{e^{\pm ik_0|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\over{|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\;</MATH>|28.18}}

Możemy wykorzystać definicję delambercjanu w {{LinkWzór|28.22}}, wtedy rozważane równanie różniczkowe jest bardzo podobne do równania Kleina-Gordona {{LinkWzór|26.31|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, bo w tym równaniu zachodzi {{Formuła|<MaTH>J(\underline{x})\equiv 0\;</MATH>}}, a w naszym przypadku ten wyraz jest różny od zera, zapisujemy w formie:

Równanie {{LinkWzór|28.23}} jest bardzo podobne do równania operatorowego {{LinkWzór|28.1}}, gdzie definicja operatora {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} i funkcji {{Formuła|<MATH>K(\underline{x})\;</MATH>}} jest zarysowana:

{{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{1}\over{\hat{O}e^{-i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}}=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{1}\over{\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)e^{-i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}}=\;</MATH><BR><MATH>=

{{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{e^{i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}\over{-(k_ik_i-k_0^2)-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}}}=\;</MATH><BR><MATH>=

W powyższym oznaczeniu funkcji Greena przyjęto:{{Formuła|<MATH>\underline{k}\underline{x}=k_{\mu}x^{\mu}\;</MATH>}}.