Mechanika kwantowa/Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego: Różnice pomiędzy wersjami

Wiemy, że obroty są odpowiedzialne za zasadę zachowania momentu pędu. Jeśli znamy oś obrotu i jej kierunek, czyli znamy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{n}\;</MATH>}}, który właśnie za nie jest odpowiedzialny, przy czym zakładamy, że zwrot tego wektora jest do góry względem pewnej płaszczyzny i prostopadły do niego, w której następuje obrót, jeśli obrót jest przeciwny z kierunkiem ruchu zegara, zatem macierz obrotu przedstawia się:

Można też napisać transformację odwrotną do {{LinkWzór|30.2}} transformująca nowy wektor tuż po obrocie na stary wektor wodzący przed obrotem względem wektora {{Formuła|<MATH>\vec{n}\;</MATH>;}}:

*gdzie {{Formuła|<MATH>\hat{S}</MATH>}} - jest to macierz spinowa:

W macierzy transformacji operatora całkowitego momentu pędu kwantu promieniowania napisaną według {{LinkWzór|30.7}}, jeśli w nim dokonamy operacji {{Formuła|<math>\theta\rightarrow \delta\theta</MATH>}}, i rozpatrując przy stałym polu wektorowym {{Formuła|<MATH>\psi(\vec{r})=\operatorname{const}\;</MATH>}}, wtedy wynik działania operatora momentu pędu na tą funkcję jest równa zero (ten operator jest w coś rodzaju liczenia pochodnej względem pewnych zmiennych przestrzennych według definicji operatora momentu pędu) i pozostaje nam tylko operator zależny od operatora spinu {{linkWzór|30.5}}, a więc funkcję &psi; możemy rozłożyć w szereg Taylora jednej zmiennej pomijając wyższe wyrazy inne niż liniowe:

Z drugiej jednak strony z rysunku obok możemy jednak zapisać przy pomocy wektora {{Formuła|<MATH>\vec{n}\;</MATH>}}, wzdłuż której następuje obrót o kierunku odwrotnym względem wskazówek zegara, jeśli zwrot tego wektora jest nad zegarem:

I ostatecznie w ostatnim równaniu {{LinkWzór|30.14}} dokonajmy operacji wymnożenia obustronnego przez stałą kreśloną Plancka, wtedy otrzymamy tożsamość, którą później wykorzystamy dla ściśle określonych {{Formuła|<MATH>k^'\;</MATH>}}:

:<MATH>+i\left[n_x(S_x)_{13}+n_y(S_y)_{13}+n_z(S_z)_{13}\right]\psi_3=\hbar(\psi_2 n_z-\psi_3 n_y)\;</MATH>|30.16}}

{{IndexWzór|<MATH>i\left[n_x (S_x)_{31}+n_y(S_y)_{31}+n_z(S_z)_{31}\right]\psi_1+i\left[n_x(S_x)_{32}+n_y(S_y)_{32}+n_z(S_z)_{32}\right]\psi_2+</MATH><BR><MATH>+i\left[n_x(S_x)_{33}+n_y(S_y)_{33}+n_z(S_z)_{33}\right]\psi_3=\hbar[\psi_1 n_y-\psi_2 n_x]</MATH>|30.20}}

Następnie wyznaczmy współrzędne operatora spinowe {{Formuła|<MATH>\hat{S}</MATH>}} na podstawie obliczeń dokonanych w punktach {{LinkWzór|30.17}}, {{LinkWzór|30.19}} i {{LinkWzór|30.21}}:

Teraz policzmy kwadrat macierzy operatora spinowego, który jak wiadomo jest sumą kwadratów współrzędnych operatora momentu pędu spinowego zdefiniowanych wedle {{LinkWzór|30.22}}({{Formuła|<MATH>\hat{S}_x\;</MATH>}}), {{LinkWzór|30.23}}({{Formuła|<MATH>\hat{S}_y\;</MATH>}}) i {{LinkWzór|30.24}}({{Formuła|<MATH>\hat{S}_z\;</MATH>}}):

\end{pmatrix}}^2=</MATH><BR><math>=\hbar^2\left[\begin{pmatrix}

\end{pmatrix}+\;</MATH><BR><MATH>+\begin{pmatrix}

*gdzie {{Formuła|<MATH>S=1\;</MATH>}}, która jest liczbą kwantową spinowego operatora momentu pędu.

*gdzie {{IndexWzórFormuła|<MATH>\hat{S}_0=1\vec{\chi;</MATH>}_k=}, zaś {{Formuła|<MATH>k=+1,0,-1\vec{\chi}_k;</MATH>|30.46}}

:<BR><MATH>\hat{S}_{-}\vec{\chi}_{0}=\begin{pmatrix}

:<BR><MATH>\hat{S}_{0}\vec{\chi}_{0}=\begin{pmatrix}

:<BR><MATH>\hat{S}_{0}\vec{\chi}_{1}=\begin{pmatrix}

Wiadomo, że jeśli zachodzi:{{Formuła|<MATH>\hat{l}_zY_{lm}=m\hbar Y_{lm}</MATH>}}, to powinno również zachodzić inne równanie własne, ale wynikającego ze wspomnianego równania:

:<BR><MATH>=

*gdzie {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} jest to wartość własna operatora {{Formuła|<MATH>\hat{l}_z</MATH>}}, a zarazem operatora {{Formuła|<MATH>\hat{j}_z\;</Math>}}

Jeśli zachodzi warunek {{Formuła|<MATH>\hat{l}^2Y_{lm}=l(l+1)Y_{lm}</MATH>}}, to można udowodnić:

Aby udowodnić równanie własne {{LinkWzór|30.49}}, musimy wiedzieć, że : {{Formuła|<MATH>[\hat{l},\hat{S}]=0</MATH>}}, co jest trywialnym dowodem, ze względu, że współrzędne operatora momentu pędu spinowego są macierzami, współrzędne operatora momentu pędu orbitalnego są operatorami, coś w rodzaju różniczkowania, dlatego te operatory są przemienne, zatem przejdźmy do głównego nurtu dowodu wykorzystując przy tym, że operator całkowitego momentu pędu promieniowania elektromagnetycznego jest wyrażony wzorem {{LinkWzór|30.10}}:

Obliczmy wyrażenie pomocnicze: {{Formuła|<MATH>=(l(l+1)\hbar^2+S(S+1)\hbar^2)(\hat{l}Y_{lm})+2\hat{l}\hat{S}(\hat{l}Y_{lmjm})</MATH>}}, występujące w dowodzie {{LinkWzór|30.50}}, by dalej przeprowadzić ten nas powyższy dowód:

:<BR><MATH>=\hbar\left[\hat{l}_x\begin{pmatrix}

Z definicji wartość własna kwadratu momentu pędu całkowitego przyjmuje się jako {{Formuła|<MATH>j(j+1)\hbar^2\;</mATH>}}, a momentu pędu orbitalnego {{Formuła|<MaTH>l(l+1)\hbar^2\;</MATH>}}. Dochodzimy do wniosku, że w obliczeniach {{LinkWzór|30.52}} musimy przyjąć j=l, ponieważ przy składaniu orbitalnego momentu pędu ze spinem, którego liczba kwantowa jest w trzech postaciach, że j=l-1,l,l+1, ale pole elektromagnetyczne wybiera jedną z nich, tzn. j=l i dlatego musimy napisać dla {{LinkWzór|30.47}} i {{LinkWzór|30.52}} w postaci równań własnych: