Mechanika kwantowa/Zasada wariacyjna Schwingera: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017
Nie podano opisu zmian
Linia 2:
Kwantowo mechaniczne równanie Diraca zostało otrzymane z pominięciem zasady konstrukcji równania własnego. Nade wszystko, to równanie otrzymaliśmy konstruując gęstość Lagrangianu, aby otrzymać później równanie Klieina-Gordona lub Diraca.
 
Pierwszym krokiem do mechaniki kwantowej było zastąpienie funkcji pędu i położenia przez ich operatory co to nazywamy '''pierwszą kwantyzacją'''. Metodą podaną przez Schwingera jest zastąpienie funkcji pola &Phi; i ich pochodne czasowe {{Formuła|<math>\dot{\Phi}\;</MATH>}}(w teorii Kliena-Gordona) lub ich sprzężenia (w teorii Diraca) przez ich odpowiednie operatory, tzn. {{Formuła|<MATH>\hat{\Phi}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\hat{\Pi}\;</MAth>}}, których nazwijmy operatorami "położenia" i "pędu" (lub prędkości), tą procedurę nazywamy '''drugą kwantyzacją'''.
==Przejście między klasycznym i kwantowym Hamiltonianem, a zasada wariacyjna Schwingera==
Ideom mechaniki kwantowej jest prowadzenie pewnych operatorów w zamian za wielkości skalarne lub wektorowe w mechanice kwantowej, co wykorzystamy w metodzie kwantyzacji Schwingera.
Linia 8:
{{indexWzór|<MATH>{{dF}\over{dt}}=\{F,\mathcal{H}\}_P+{{\partial F}\over{\partial t}}\;</MATH>|31.1}}
 
W mechanice kwantowej jest podobny wzór {{LinkWzór|12.5|Mechanika_kwantowa/Równanie_Ehrenfesta}}, które jest to równania Ehrenfesta, które dla funkcji operatora {{Formuła|<MATH>\hat{F}\;</MATH>}} piszemy jako pochodna zupełna tejże funkcji względem czasu:
{{IndexWzór|<MATH>{{d\hat{F}}\over{dt}}=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{F},\hat{H}]+{{\partial \hat{F}}\over{\partial t}}\;</MATH>|31.2}}
*gdzie: {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MaTh>}} jest to hamiltonian (operator energii całkowitej układu lub cząstki) według mechaniki kwantowej.
Równania kwantowe propagacji operatora {{Formuła|<MATH>\hat{F}\;</MAth>}} {{LinkWzór|31.2}} można otrzymać z równań klasycznych propagacji funkcji F {{LinkWzór|31.1}} poprzez podstawienie według zasady:
{{IndexWzór|<MAth>\{F,G\}_P\rightarrow-{{i}\over{\hbar}}[\hat{F},\hat{G}]\;</MATH>|31.3}}
Jeśli mamy lagrangian, to utwórzmy o nie oznaczoną całkę działania według schematu:
Linia 19:
Drugi wyraz ostatniej całki znika, bo zakładamy, że prawa fizyki są takie, że jest spełniona zasada najmniejszego działania Eulera-Lagrange'a, ten wyraz przedstawiamy:
{{IndexWzór|<MATH>{{\partial{L}}\over{\partial q_m}}-{{d}\over{dt}}{{\partial{L}}\over{\partial\dot{q}_m}}=0\;</MATH>|31.6}}
We wzorze {{LinkWzór|31.5}} drugi wyraz znika, bo zachodzi {{LinkWzór|31.6}}, a jego pierwszy wyraz nie znika, bo w mechanice kwantowej są to punkty ruchome, ponieważ w punktach końcowych i początkowych wariacja {{Formuła|<MATH>\delta q_m\;</MATH>}} nie zeruje się nigdy, natomiast w mechanice klasycznej (po pominięciu efektów kwantowych) rozważana wariacja znika, tą naszą zasadę wariacji nazywamy '''kwantową zasadą wariacyjną Schwingera''', to wyrażenie na wariację funkcjonału S przyjmuje dla naszego przypadku postać:
{{IndexWzór|<MATH>\delta S=G_{q}(t_2)-G_{q}(t_1)\;</MATH>|31.7}}
 
Ale funkcje {{Formuła|<MATH>G_{q_m}(t)\;</MATH>}} patrząc na równania {{LinkWzór|31.5}}, a także na {{LinkWzór|31.7}}, są w postaci:
{{IndexWzór|<MATH>G_{q_m}(t)=\sum_m{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_m}}\delta q_m=\sum_m p_m\delta q_m\;</MATH>|31.8}}
 
Policzmy dla dowolnej funkcji F(q) nawias Poissona:
{{IndexWzór|<MATH>\{F,G_{q_i}\}_P=\sum^f_{i=1}{{\partial F}\over{\partial q_m}}{{\partial G_{q_i}}\over{\partial p_m}}-{{\partial F}\over{\partial p_m}}{{\partial G_{q_i}}\over{\partial q_m}}=\sum^f_{m=1}\delta_{im}{{\partial F}\over{\partial q_m}}\delta q_i={{\partial F}\over{\partial q_i}}\delta q_i=\delta F(q_i)\;</MATH>|31.9}}
Odpowiednikiem nawiasu Poissona według {{Formuła|<MATH>\{F,G_q\}_P\;</MATH>}} w mechanice kwantowej jest operator napisany jako {{Formuła|<MATh>_{ -{{i}\over{\hbar}}[F,\hat{G}_q]}\;</MATH>}}, bo {{LinkWzór|31.3}}, zatem możemy napisać na postawie {{LinkWzór|31.9}}, ale kwantowo.
{{IndexWzór|<MATH>\delta \hat{F}(q_i)=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{F},\hat{G}_{q_i}]\;</MATH>|31.10}}
Jeśli {{Formuła|<MATH>F(q_i)=\hat{q}_i\;</MATH>}}, to według {{LinkWzór|31.10}}, korzystając przy okazji jednocześnie z komutacji operatorów współrzędnych położenia i pędu {{LinkWzór|6.6|Mechanika_kwantowa/Komutacja_operatorów_fizycznych}}, możemy przejść do obliczeń na liczbach ogólnych:
{{IndexWzór|<MATH>\delta \hat{q}_i=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{q}_i,\hat{p}_i\delta \hat{q}_i]=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{q}_i,\hat{p}_i]\delta \hat{q}_i=-{{i}\over{\hbar}}i\hbar\delta \hat{q}_i=\delta \hat{q}_i\;</MAth>|31.11}}
A więc otrzymaliśmy tożsamość, tzn. doszliśmy do tego, że skrajnie lewa i skrajnie prawa strona wyprowadzenia {{LinkWzór|31.11}} są sobie równe, a więc zasada {{LinkWzór|31.10}} jest poprawnie skonstruowane.
Linia 35:
Dla układu cząstek zachodzi operator w mechanice kwantowej (operatorowo):
{{IndexWzór|<MATH>\hat{G}_q=\sum^f_{i=1}\hat{p}_{j}\delta \hat{q}_{j}\;</MATH>|31.12}}
A więc, jeśli {{Formuła|<MATH>F(p_iq_i)=\hat{q_i}\;</MATH>}}, to wariacja funkcji F napisaną wzorem {{linkWzór|31.10}} jest napisana według praw mechaniki kwantowej dotyczące komutacji pewnych operatorów według obliczeń:
{{IndexWzór|<MATH>\delta \hat{q}_i=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{q}_i,\sum_j \hat{p}_j\delta \hat{q}_j]=-{{i}\over{\hbar}}\sum_j[\hat{q}_i,\hat{p}_j]\delta \hat{q}_j=-{{i}\over{\hbar}}\sum_j i\hbar\delta_{ij}\delta \hat{q}_j=\delta \hat{q}_i\;</MATH>|31.13}}
Napiszemy sobie funkcję G<sub>p</sub>, która jest zdefiniowana w reprezentacji pędowej w analogii do G<sub>q</sub>, którego to definiujemy w reprezentacji położeniowej podanych w punkcie {{linkWzór|31.12}}:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{G}_p=-\sum_j \hat{q}_j\delta \hat{p}_j\;</MATH>|31.14}}
A także podamy wzór na wariację operatora {{Formuła|<MATH>\hat{F}(p)\;</MATH>}}, którego definicja jest podana przy pomocy komutatora:
{{IndexWzór|<MATH>\delta \hat{F}(p)=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{F}(p),\hat{G}_p]\;</MATH>|31.15}}
Udowodniając wzór {{LinkWzór|31.15}} przy pomocy nawiasów Poissona według mechaniki klasycznej można wykazać:
Linia 45:
Zamienimy nawias Poissona na komutator w {{LinkWzór|31.16}}, według zasady {{LinkWzór|31.3}}.
W ten sposób udowodniliśmy na podstawie {{LinkWzór|31.16}}, że wyrażenie {{LinkWzór|31.15}} jest zupełną prawdą.
A teraz zdefiniujmy nowy operator {{Formuła|<MATH>\hat{G}\;</MATH>}}, który można otrzymać z poprzednich operatorów {{Formuła|<MATH> G_q\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>G_{p}\;</MATH>}} definiując go wedle:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{G}={{1}\over{2}}(\hat{G}_{q}+\hat{G}_{p})={{1}\over{2}}\sum_j(\hat{p}_j\delta q_j-\hat{q}_j\delta p_j)\;</MATH>|31.17}}
 
Linia 54:
\left({{\partial F}\over{\partial q}}\delta q+{{\partial F}\over{\partial p}}\delta p\right)=\delta F(p,q)\;</MATH>|31.19}}
Ze wzoru {{LinkWzór|31.18}} można przejść od wzoru {{linkWzór|31.19}} poprzez zastąpienie wyrażenia, który jest nawiasem Poissona jej odpowiednikiem kwantowym wedle zasady {{linkWzór|31.3}}.
Jeśli w mechanice kwantowej zachodzi relacja {{Formuła|<MATH>\hat{F}(p_iq_i)=\hat{q}_i\;</MATH>}}, to możemy napisać:
{{IndexWzór|<MATH>\delta \hat{q}_i=-2{{i}\over{\hbar}}[\hat{q}_i,{{1}\over{2}}\sum_j\left(\hat{p}_j\delta \hat{q}_j-\hat{q}_j\delta \hat{p}_j\right)]=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{q}_i,\sum_j \hat{p}_jdq_j]+{{i}\over{\hbar}}[\hat{q}_i,\sum_j\hat{q}_j\delta \hat{p}_j]=\;</MATH><BR><MATH>=-{{i}\over{\hbar}}\sum_j[\hat{q}_i,\hat{p_j}]\delta \hat{q}_j+{{i}\over{\hbar}}\sum_j[\hat{q}_i,\hat{q}_j]\delta \hat{p}_j=\;</MATH><BR><MATH>=
-{{i}\over{\hbar}}\sum_j i\hbar\delta_{ij}\delta \hat{q}_j=\delta \hat{q}_i\;</MATH>|31.20}}
Na podstawie dowodu {{linkWzór|31.20}} udowodniliśmy, że zachodzi tożsamość, według zasady {{linkWzór|31.18}} otrzymaliśmy czego się spodziewaliśmy.
Linia 61:
==Zasada wariacyjna, a pole Kleina-Gordona==
Znając gęstość Lagrangianu policzymy czemu jest równy operator Schwingera w "pędowej" i "położeniowej" reprezentacji i policzymy komutatory będących kombinacją tychże wielkości według naszej zasady wariacyjnej.
Gęstość Lagrangianu {{Formuła|<MATH>\mathfrak{L}\;</MATH>}} z definicji gęstości lagrangianu dla teorii Kleina-Gordona, która jest napisana w punkcie {{LinkWzór|26.24|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, co jego definicję tutaj przepiszemy:
{{IndexWzór|<MATH>\mathfrak{L}={{1}\over{2}}{{\hbar^2}\over{m_0}}\left[{{1}\over{c^2}}\left({{\partial\Phi}\over{\partial t}}\right)^2-\left(\nabla\Phi\right)^2\right]-{{1}\over{2}}m_0c^2\Phi^2\;</MATH>|31.21}}
Napiszmy funkcjonał S, który jest całką z gęstości Lagrangianu {{LinkWzór|31.21}} względem współrzędnych czasoprzestrzennych:
Linia 80:
W reprezentacji pędowej, podobnie jak w {{LinkWzór|31.25}}, definiujemy jako całkę z iloczynu funkcji położenia i wariacji funkcji "pędu" z dokładnością do stałej, którą jest odwrotność prędkości światła:
{{IndexWzór|<MATH>G_{\Pi}=-{{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3x\Phi\delta\Pi\;</MATH>|31.27}}
Zastępując funkcję &Phi; przez operator położenia {{Formuła|<MATH>\hat{\Phi}\;</MATH>}}, a &Pi; przez operator pędu {{Formuła|<MATH>\hat{\Pi}\;</MATH>}}, otrzymujemy wzory na operatory {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\Phi}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\Pi}\;</MATH>}}, których definicja jest przestawiona w postaci całkowania względem współrzędnych przestrzennych:
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{G}_{\Phi}={{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3 x\hat{\Pi}\delta\hat{\Phi}\;</MATH>|31.28}}
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{G}_{\Pi}=-{{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3 x\hat{\Phi}\delta\hat{\Pi}\;</MATH>|31.29}}
|}
Mając operator Schwingera {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\Phi}\;</MATH>}} możemy napisać, że wariacja operatora {{Formuła|<MATH>\hat{F}\;</MATH>}} jest równa wyrażeniu zbudowanej przy pomocy komutatora w sposób:
{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{F}=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{F},\hat{G}_{\Phi}]\;</MATH>|31.30}}
Policzmy wariancję {{Formuła|<MATH>\delta\hat{\Phi}\;</MATH>}} kładąc <{{Formuła|MATH>\hat{F}(\hat{\Phi})=\hat{\Phi}\;</MATH>}}, wiedząc że rolę współrzędnych spełnia operator {{Formuła|<MATH>\hat{\Phi}\;</MATH>}}, a pędu operator "pędu" {{Formuła|<MATH>\hat{\Pi}\;</MATH>}}, korzystając z faktu {{LinkWzór|31.28}}, a także {{linkWzór|31.30}}, jeszcze będziemy wykorzystywać fakt, że operatory {{Formuła|<MATH>\hat{\Phi}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\delta\hat{\Phi}\;</MATH>}} są nawzajem przemienne.
{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{\Phi}(x,t)=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{\Phi}(x,t),{{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3x_1\hat{\Pi}(x_1,t)]\delta\hat{\Phi}(x_1,t)=-{{i\hbar^2}\over{2m_0\hbar c^2}}\int d^3x_1[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Pi}(x_1,t)]\delta\hat{\Phi}(x_1,t)=\;</MATH><BR><MATH>=-{{i\hbar}\over{2m_0c^2}}\int d^3x_1[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Pi}(x_1,t)]\delta\hat{\Phi}(x_1,t)</MATH>|31.31}}
Równość {{LinkWzór|31.31}} jest spełniona gdy nasza funkcja podcałkowa jest wprost proporcjonalna do delty Diraca pomnożonej przez iloczyn prędkości światła, stałej Plancka i jednostki urojonej.
Linia 93:
Możemy wykorzystać {{LinkWzór|31.32}} i udowodnić stwierdzenie {{LinkWzór|31.31}}, który jest pewnym komutatorem, by dojść potem do tożsamości:
{{IndexWzór|<MATH>-i{{\hbar}\over{2m_0 c^2}}\int d^3x_1[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Pi}(x_1,t)]\delta\hat{\Phi}(x_1,t)=\int d^3x\delta^3(x-x_1)\delta\hat{\Phi}(x_1,t)=\delta\hat{\Phi}(x_1,t)\;</MATH>|31.33}}
Zdefiniujemy nowy operator {{Formuła|<MATH>\hat{G}\;</MATH>}}, który możemy przestawić jako sumę operatorów w reprezentacji położeniowej {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\Phi}\;</MATH>}} {{LinkWzór|31.28}} i pędowej {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\Pi}\;</MATH>}} {{LinkWzór|31.29}}, jako:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{G}(x,t)={{1}\over{2}}\left(\hat{G}_{\hat{\Phi}}+\hat{G}_{\hat{\Pi}}\right)\;</MATH>|31.34}}
Ogólnie mamy według zasady {{LinkWzór|31.18}} możemy napisać wariację operatora {{Formuła|<MATH>\hat{F}\;</MATH>}}, którego definicja jest:
{{IndexWzór|<MATH>\delta \hat{F}(\hat{\Phi},\hat{\Pi})=-2{{i}\over{\hbar}}[\hat{\hat{F}},\hat{G}]\;</MATH>|31.35}}
Podstawiając za {{Formuła|<MATH> \hat{G}_{\hat{\Phi}}\;</MATH>}} {{LinkWzór|31.28}} i za {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\hat{\Pi}}\;</MATH>}} {{linkWzór|31.29}} we {{linkWzór|31.34}}, a także przyporządkujemy za funkcję {{Formuła|<MATH>\hat{F}(\hat{\Phi},\hat{\Pi})\;</MATH>}} operator położenia, czyli napiszemy jego definicję {{Formuła|<MATH>\hat{F}(\hat{\Phi},\hat{\Pi})=\hat{\Phi}\;</MATH>}}, na podstawie {{linkWzór|31.35}} możemy dojść do wniosku:
{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{\Phi}=-{{i\hbar}\over{2m_0 c^2}}\int d^3x[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Phi}(x_1,t)]\delta\hat{\Pi}(x_1,t)-{{i\hbar}\over{2m_0c^2}}\int d^3x[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Pi}(x_1,t)]\delta\hat{\Phi}(x_1,t)\;</MATH>|31.36}}
By tożsamość {{LinkWzór|31.36}} była spełniona, to powinny być spełnione tożsamości na operatorach "położenia", a podobnie zachodzi na operatorach "pędu":
Linia 107:
==Zasada wariacyjna, a pole Diraca==
Całkę działania w teorii wariacyjnej możemy zapisać dla mechaniki kwantowej Diraca, jeśli skorzystamy przy tym z definicji gęstości Lagrangianu, którego definicji jest podana w punkcie {{LinkWzór|26.43|Mechanika kwantowa/Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a}} dla mechaniki kwantowej Diraca, naszą wspomnianą całkę działania przy pomocy tej ostatniej wielkości możemy przepisać w postaci:
{{IndexWzór|<MATH>S={{1}\over{c}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\mathfrak{L}={{1}\over{c}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\overline{\psi}\left(i\hbar c\overset{\leftrightarrow}{\not{\partial}}-m_0c^2\right)\psi=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{c}}\left[{{i\hbar c}\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi -{{i\hbar c}\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\psi\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\overline{\psi}-{{1}\over{c}}\int^{\tau_2}_{\tau_1} d^4x_1m_0c^2\psi\overline{\psi}\right]\;</MATH>|31.39}}
Następnie policzmy wariację działania S względem funkcji własnej równania własnego Diraca zależnego od czasu, czyli funkcji &psi;, korzystając z definicji funkcjonału {{LinkWzór|31.39}}:
{{IndexWzór|<MATH>\delta S_{\psi}={{i\hbar}\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}(\delta\psi)-{{1}\over{c}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4 x_1\left({{i\hbar c}\over{2}}\psi\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\overline{\psi}+m_0c^2\overline{\psi}\right)\delta\psi\;</MATH>|31.40}}
Pierwszy składnik w {{LinkWzór|31.40}} możemy rozpisać przy wykorzystaniu definicji operatora {{Formuła|<MATH>\gamma^{\mu}\;</MATH>}} {{linkWzór|26.37|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}.
{{IndexWzór|<MATH>{{i\hbar}\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}(\delta\psi)=
{{i\hbar}\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\overline{\psi}\beta{{\partial}\over{\partial t}}(\delta\psi)+{{i\hbar}\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\overline{\psi}\beta\alpha\nabla(\delta\psi)\;</MATH>|31.41}}
Linia 118:
Dokonajmy całkowania drugiej całki występujące w obliczeniach {{LinkWzór|31.41}} przez części, zatem:
{{IndexWzór|<MATH>{{i\hbar}\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x\overline{\psi}\hat{\beta}\hat{\alpha}\nabla(\delta\psi)={{i\hbar}\over{2}}\left[\int d^4x_1\overline{\psi}\hat{\beta}\hat{\alpha}\psi\right]^{x_2}_{x_1}-{{i\hbar}\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x\nabla\overline{\psi}\hat{\beta}\hat{\alpha}\delta\psi=-{{i\hbar }\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x\nabla\overline{\psi}\hat{\beta}\hat{\alpha}\delta\psi</MATH>|31.43}}
W obliczeniach na liczbach ogólnych wykorzystano, że {{Formuła|<MATH>\delta\Phi\;</MATH>}} znika w punkcie początkowym i końcowym dla krzywych mającej punkty końcowe stałe w przestrzeni, tylko krzywa pomiędzy tymi punktami może inaczej przebiegać.
Wyrażenie {{LinkWzór|31.41}}, przy pomocy obliczeń {{LinkWzór|31.42}} i {{LinkWzór|31.43}}, piszemy:
{{IndexWzór|<MATH>{{i\hbar}\over{2}}\int_{\tau_1}^{\tau_2}d^4x_1\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}(\delta\psi)={{i\hbar }\over{2}}\left[\int d^3x_1\overline{\psi}\hat{\beta}\delta\psi\right]^{\tau_2}_{\tau_1}-{{i\hbar }\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1{{\partial\overline{\psi}}\over{\partial t}}\hat{\beta}(\delta\psi)-{{i\hbar }\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x\nabla\overline{\psi}\hat{\beta}\hat{\alpha}\delta\psi=\;</MATH><BR><MATH>={{i\hbar }\over{2}}\left[\int d^3x_1\overline{\psi}\hat{\beta}\delta\psi\right]^{\tau_2}_{\tau_1}
Linia 131:
|{{IndexWzór|<math>G_{\psi^{+}}(\tau)=-{{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1(\delta\psi^{+})\psi\;</MATH>|31.47}}
|}
Operatorowo zastępując wielkości klasyczne jej wielkościami operatorowymi, tzn. zastępujemy &psi; operatorem "pędu" {{Formuła|<MATH>\hat{\psi}\;</MATH>}} a &psi;<sup>+</sup> operatorem "pędu" {{Formuła|<MATH>\hat{\psi}^+\;</MATH>}}, wtedy możemy napisać operatory Schwingera, tzn. {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\psi}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\psi^+}\;</MATH>}}, które są całkami zbudowanej na operatorach "pedu" i "położenia" względem współrzędnych położenia w czteroprzestrzeni:
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{G}_{\psi}(\tau)={{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1\hat{\psi}^{+}\delta\hat{\psi}\;</MATH>|31.48}}
Linia 138:
Napiszmy operator Schwingera w następującej postaci przy definicjach odpowiedników operatorowych do {{LinkWzór|31.48}} i {{LinkWzór|31.49}}, zatem:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{G}=\hat{G}_{\psi}+\hat{G}_{\psi^+}\;</MATH>|31.50}}
Napiszmy zasadę wariacyjną w mechanice kwantowej Diraca przy pomocy operatora {{Formuła|<MATH>\hat{F}\;</MATH>}} i definicji operatora {{Formuła|<MATH>\hat{G}\;</MATH>}} podaną w punkcie {{LinkWzór|31.50}}:
{{IndexWzór|<MATH>\delta \hat{F}(\hat{\psi})=-2{{i}\over{\hbar}}[\hat{F},\hat{G}]\;</MATH>|31.51}}
 
Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|31.18}}, który jest słuszny również tutaj przy definicji {{linkWzór|31.50}}, i biorąc funkcje {{Formuła|<MATH>\hat{F}=\hat{\psi}_{\alpha}(x,t)\;</MATH>}} korzystając z założenia, że operatory {{Formuła|<MATH>\hat{\psi}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\delta \hat{\psi}\;</MATH>}} antykomutują ze sobą, wtedy można napisać z definicji funkcji operatorowej {{Formuła|<MATH>\hat{G}\;</MATH>}} {{LinkWzór|31.50}} wniosek:
{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{\psi}_{\alpha}(x,t)=-2{{i}\over{\hbar}}[\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{G}]=-2{{i}\over{\hbar}}[\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),{{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)\delta\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)-{{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)]=\;</MATH><BR><MATH>=\int[\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\delta\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)]d^3x_1-\int[\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)]d^3x_1=\;</MATH><BR><MATH>=\int\left\{\hat{\psi}_{\alpha}(x,t)\hat{\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\right\}\delta\hat{\psi}_{\beta}d^2x_1+
:<MATH>=\int[\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\delta\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)]d^3x_1-\int[\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)]d^3x_1=\;</MATH><BR><MATH>=\int\left\{\hat{\psi}_{\alpha}(x,t)\hat{\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\right\}\delta\hat{\psi}_{\beta}d^2x_1+
\int\{\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)\}d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)
\;</MATH>|31.52}}
Linia 153 ⟶ 152:
Wtedy wyrażenie {{LinkWzór|31.52}} przy pomocy {{LinkWzór|31.53}} możemy napisać w celu dowodu tego ostatniego, że tak jest:
{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{\psi}_{\alpha}(x,t)=\int\left\{\hat{\psi}_{\alpha},\hat{\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\right\}\delta\hat{\psi}_{\beta}+\int\{\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)\}d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)=\delta_{\alpha\beta}\delta\hat{\psi}_{\beta}+\int 0d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)=\delta\hat{\psi}(x,t)\;</MATH>|31.55}}
Dalej, gdy obierzemy inny operator {{Formuła|<MATH>\hat{F}_{\alpha}=\hat{\psi}^+\;</MATH>}}, możemy dojść do następnych równań przy założeniu, że poniższe wyrażenie jest tożsamością:
{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{\psi}^+_{\alpha}(x,t)=-2{{i}\over{\hbar}}[\hat{\psi}^+_{\alpha}(x,t),\hat{G}]=-2{{i}\over{\hbar}}[\hat{\psi}^+_{\alpha}(x,t),{{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)\delta\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)-{{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)\delta\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)]=\;</MATH><BR><MATH>=\int[\hat{\psi}^+_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\delta\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)]d^3x_1-\int[\hat{\psi}^+_{\alpha}(x,t),\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)]d^3x_1=\;</MATH><BR><MATH>=\int\left\{\hat{\psi}^+_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\right\}\delta\hat{\psi}_{\beta}d^2x_1+\int\{\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)\}d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)
\;</MATH>|31.56}}
Linia 182 ⟶ 181:
|{{IndexWzór|<MATH>n_j=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,...\;</MATH>|31.66}}
|}
Rozwiązaniem równania Kleina-Gordona {{LinkWzór|26.30|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, możemy napisać w bazie na funkcjach {{Formuła|<MATH>\Phi(\vec r,t)\;</MATH>}} {{LinkWzór|31.71}}, {{Formuła|<MATH>\Phi^{*}(\vec r,t)\;</MATH>}} {{LinkWzór|31.72}}, przyjmuje postać:
{{IndexWzór|<MATH>\Phi(\vec{r},t)=\sum_k\left({{\hbar\omega_k L^3}\over{m_0c^2}}\right)^{-{{1}\over{2}}}\left(b_k^-\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)+b_k^+\exp(-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k t)\right)\;</MATH>|31.67}}
Korzystając ze wzoru na "kwantowy pęd" {{LinkWzór|31.26}}, co możemy napisać wzór na "pęd" w zależności od położenia przestrzennego i czasu różniczkując {{LinkWzór|31.67}} względem czasu, stąd:
{{IndexWzór|<MATH>\Pi(\vec{r},t)=\dot{\Phi}(\vec{r},t)=-i\sum_k\left({{m_0c^2\omega_k}\over{\hbar L^3}}\right)^{{{1}\over{2}}}\left(b_k^-\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)-b_k^+\exp(-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k t)\right)\;</MATH>|31.68}}
W {{LinkWzór|31.67}} i {{LinkWzór|31.68}} uważaliśmy za pewne funkcje {{Formuła|<MATH>\Phi(\vec{r},t)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}(\vec{r},t)\;</MATH>}} jako pewne funkcje skalarne zależne od współrzędnych w czteroprzestrzeni, a teraz niech te funkcje uważajmy jako operatory, tzn.: jako {{Formuła|<MATH>\hat{\Phi}(\vec{r},t)\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\hat{\Pi}(\vec{r},t)\;</MATH>}}, którego definicję podamy najpierw dla operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\Phi}(\vec{r},t)\;</math>}} zapisanej według tożsamości {{LinkWzór|31.67}} zastępując przy okazji b<sup>+</sup> i b<sup>-</sup> przez operatory kreacji i anihilacji, i w ten sposób dostajemy wniosek:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{\Phi}(\vec{r},t)=\sum_k\left({{\hbar\omega_k L^3}\over{m_0c^2}}\right)^{-{{1}\over{2}}}\left(\hat{b}_k^-\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)+\hat{b}_k^+\exp(-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k t)\right)\;</MATH>|31.69}}
A później dla operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\Pi}(\vec{r},t)\;</MATH>}} zapisanej według tożsamości {{LinkWzór|31.68}} zastępując w nim przy okazji b<sup>+</sup> i b<sup>-</sup> przez operatory kreacji i anihilacji by otrzymać:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{\Pi}(\vec{r},t)=-i\sum_k\left({{m_0c^2\omega_k}\over{\hbar L^3}}\right)^{{{1}\over{2}}}\left(\hat{b}_k^-\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)-\hat{b}_k^+\exp(-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k t)\right)\;</MATH>|31.70}}
Operator {{LinkWzór|31.69}} mnożymy przez {{Formuła|<MATH>\omega_k\;</MATH>}}, a {{LinkWzór|31.70}} przez jednostkę urojoną {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}}, następnie dodajemy i odejmujemy je od siebie, w ten sposób otrzymujemy następujący układ równań:
{{IndexWzór|<math>\begin{cases}\omega_t\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi}(\vec{r},t)=\left({{4m_0c^2\omega_k}\over{L^3\hbar}}\right)^{{{1}\over{2}}}\sum_k\hat{b}_k^-\exp(ikx-i\omega_k t)\\
\omega_t\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t)=\left({{4m_0c^2\omega_k}\over{\hbar L^3}}\right)^{{{1}\over{2}}}\sum_k\hat{b}^{+}_k\exp(-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k)
\end{cases}\;</MATH>|31.71}}
Pomnóżmy pierwszą równość układu równań {{LinkWzór|31.71}} przez: {{Formuła|<MATH>\exp(-i\vec{k}^'\vec{r}+i\omega_t)\;</MATH>}}, a drugą przez: {{Formuła|<MATH>\exp(-i\vec{k}^'\vec{r}+i\omega_t)\;</MATH>}}, dalej scałkujemy te dwa równania otrzymując:
{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}\int_{\vec r\in L^3}d^3\vec r\exp(-i\vec{k}^'\vec{r}+i\omega_{k^'} t)\left(\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi}(\vec{r},t)\right)=\left({{4m_0c^2L^3\omega_k}\over{\hbar}}\right)^{{{1}\over{2}}}\hat{b}_k^-\\
\int_{\vec r\in L^3}d^3\vec r\exp(i\vec{k}^'\vec{r}-i\omega_{k^'} t)\left(\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t)\right)=\left({{4L^3 m_0c^2\omega_k}\over{\hbar}}\right)^{{{1}\over{2}}}\hat{b}^{+}_k
Linia 200 ⟶ 199:
Przy obliczeniach {{LinkWzór|31.72}} w celu wyprowadzenie wyrażeń na operatory kreacji i anihilacji skorzystaliśmy z własności:
{{IndexWzór|<MATH>\int_{\vec r\in L^3}d^3\vec r \exp(i(k^'_j-k_j)x_j)dx=L^3\delta_{k^'k}\;</MATH>}}
Z układu równań {{LinkWzór|31.72}} można otrzymać układ równań na operatory kreacji {{Formuła|<MATH>\hat{b}^+\;</MATH>}} i anihilacji {{Formuła|<MATH>\hat{b}^-\;</MATH>}} w zależności od operatorów "położenia" {{Formuła|<MATH>\hat{\Phi}\;,</MATH>}} i "pędu" {{Formuła|<MATH>\hat{\Pi}\;</MATH>}} w postaci układu dwóch równań:
{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}\hat{b}_k^-=({{4m_0c^2L^3\omega_k}\over{\hbar}})^{-{{1}\over{2}}}\int_{\vec r\in L^3}d^3\vec r\exp(-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k t)\left(\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi}(\vec{r},t)\right)\\
\hat{b}^{+}_{k}=({{4m_0c^2L^3\omega_k}\over{\hbar}})^{-{{1}\over{2}}}\int_{\vec r\in L^3}d^3\vec r\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)\left(\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t)\right)\end{cases}\;</MATH>|31.73}}
Policzmy teraz komutator {{Formuła|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^+_{k'}]\;</MATH>}} korzystając z układu równań {{LinkWzór|31.73}}:
{{IndexWzór|<Math>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^{+}_{k'}]={{\hbar}\over{4m_0c^2 L^3}}\left(\omega_k\omega_{k'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int_{\vec r\in L^3}\int_{\vec r^'\in L^3} d^2\vec{r} d^2\vec{r}^' \exp(i(\vec{k}^'-\vec{k})\vec{r})\exp(i(\omega_k-\omega_{k'})t)\cdot\;</MATH><BR><MATH>\cdot[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi}(\vec{r},t),\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)-i\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]\;</MATH>|31.74}}
Wyznaczmy czemu jest równy komutator występujących we wyrażeniu {{LinkWzór|31.74}}, który przepiszemy i rozwiniemy poniżej:
Linia 210 ⟶ 209:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^{+}_{k^'}]=-i{{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)\cdot\int\int d^3\vec{r}d^3\vec{r}^'\exp(i(\vec{k}'-\vec{k})\vec{r})[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]=\;</MATH><BR><MATH>=-i{{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)\cdot\int \int d^3\vec{r}d^3\vec r^'\exp(i(\vec{k}'-\vec{k})\vec{r})i{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}^')=\;</MATH><BR>
<MATH>={{1}\over{2L^3}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)\int d^3\vec{r}\exp (i(\vec{k}^'-\vec{k})\vec{r})=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{2L^3}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)L^3\delta_{k^{'}k}\;</MATH>|31.76}}
Gdy założymy w obliczeniach {{LinkWzór|31.76}}, że mamy {{Formuła|<MATH>k\neq k^'\;</MATH>}}, to otrzymujemy tożsamość:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^+_{k^'}]=0\;</MATH>|31.77}}
Ale gdy założymy w obliczeniach {{LinkWzór|31.76}}, że zachodzi: {{Formuła|<MATH>k=k^{'}\;</MATH>}}, to na pewno otrzymujemy:
{{IndexWzór|<math>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^{+}_k]={{1}\over{2L^3}}\omega_k^{-1} 2\omega_k L^3=1\;</MATH>|31.78}}
Udowodniliśmy na podstawie dwóch otrzymanych równań, że ogólnie równanie łączące dwie tożsamości zapisanej powyżej, tzn. {{linkWzór|31.77}} i {{LinkWzór|31.78}} dla dowolnego k i k', można zapisać według ogólnej zasady:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^{+}_{k^{'}}]=\delta_{kk^'}\;</MATH>|31.79}}
Następnie wyznaczmy komutator oparty tylko na operatorach anihilacji przy wykorzystaniu wzorów {{linkWzór|31.73}}:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^-_{k^{'}}]={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}^'\exp(-i(\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(i(\omega_k+\omega_{k^'})t)\cdot\;</MATH><BR><MATH>\cdot[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi},\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)+i\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]=\;</MATH><BR><MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}^'\exp(-i\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(i\omega_kt+i\omega_{k^'}t)\cdot\;</MATH><BR>
<MATH>\cdot\Bigg\{\omega_k\omega_{k^'}[\hat{\Phi}(\vec r,t),\hat{\Phi}(\vec r^',t)]+\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]+i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)]-[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]\Bigg\}=\;</MATH><BR>
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}^'\exp(-i\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(i\omega_kt+i\omega_{k^'}t)\cdot\;</MATH><BR><MATH>\cdot\left\{\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]+i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)]\right\}=\;</MATH><BR>
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}^'\exp(-i\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(i\omega_kt+i\omega_{k^'}t)\cdot\;</MATH><BR><MATH>\cdot\left\{\omega_k ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}^')-ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\omega_{k^'}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}^') \right\}=\;</MATH><BR>
<MATH>={{1}\over{2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int d^3\vec{r}\exp(-i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec{r})\exp(i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_{k^'}-\omega_k)=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\exp(i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_{k^'}-\omega_k)\int\exp(-i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec{r})d^3\vec r=0\;</MATH>|31.80}}
W obliczeniach w {{LinkWzór|31.80}} wyznaczyliśmy komutator, którego definicja jest zapisana przy pomocy operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów:
Linia 226 ⟶ 225:
Następnie krokiem jest wyznaczenie wyrażenia oparte tylko na operatorach kreacji:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}^+_k,\hat{b}^+_{k^{'}}]={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}^'\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(-i(\omega_k+\omega_{k^'})t)\cdot\;</MATH><BR><MATH>\cdot[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t),\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)-i\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]=\;</MATH><BR>
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r}d^3\vec{r}^'\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(-i\omega_kt-i\omega_{k^'}t)\cdot\;</MATH><BR><MATH>\cdot\Bigg\{\omega_k\omega_{k^'}[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)]-\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]-i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)]+i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)]\Bigg\}=\;</MATH><BR><MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}^'\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(-i\omega_kt-i\omega_{k^'}t)\cdot\left\{-\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]-i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)]\right\}=\;</MATH><BR><MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r}d^3\vec{r}^'\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(-i\omega_kt-i\omega_{k^'}t)\left\{-\omega_k ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta(\vec{r}-\vec{r}^')+ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\omega_{k^'}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}^') \right\}=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int d^3\vec{r}\exp(i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec r)\exp(-i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_k-\omega_{k^'})=\;</MATH><BR>
<MATH>\cdot\left\{-\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]-i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)]\right\}=\;</MATH><BR><MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r}d^3\vec{r}^'\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(-i\omega_kt-i\omega_{k^'}t)\cdot</MATH><BR><MATH>\cdot\left\{-\omega_k ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta(\vec{r}-\vec{r}^')+ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\omega_{k^'}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}^') \right\}=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int d^3\vec{r}\exp(i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec r)\exp(-i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_k-\omega_{k^'})=\;</MATH><BR>
<MATH>={{1}\over{2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\exp(-i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_k-\omega_{k^'})\int\exp(i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec{r})d^3\vec r=0\;</MATH>|31.82}}
W obliczeniach w {{LinkWzór|31.82}} wyznaczyliśmy komutator operatorów kreacji według przepisu: