Wstęp do fizyki jądra atomowego/Najważniejsze parametry jądra atomowego: Różnice pomiędzy wersjami

*'''wewnętrzne''' {{Formuła|<MATH>Q_{\lambda}\;</MATH>}} określonych w układzie współrzędnych związanych z jądrem atomowym.

*'''spektroskopowe''' {{Formuła|<MATH>Q^s_{\lambda}\;</MATH>}} określone w układzie laboratoryjnym, których wartości mogą być wyznaczone bezpośrednio w pomiarach dla każdego stanu dyskretnego jądra.

Dla układów o symetrii osiowej (sferycznej) mamy {{Formuła|<MATH>|\vec{Q}_1|=Q_z\;</MATH>}}, gdyż Q_x=Q_y=0. Upraszcza sie również moment elektryczny kwadrupolowy, bo {{Formuła|<MATH>Q_2\rightarrow Q_{20}\;</MATH>}}, gdyż jego elementy Q<sub>xy</SUB>=Q_yz=Q_zx=0, a także zachodzi Q_xx=Q_yy. Policzmy moment elektryczny Q₂₀:

{{IndexWzór|<MATH>Q_{20}=\int_V\rho_e(\vec{r})(3z^2-r^2)dV=\int_V\rho_e(r) r^2(3\cos^2\phi-1)dV=\;</MATH><BR><MATH>=\sqrt{{16\pi}\over{5}}\int_V\rho_e(r)r^2\sqrt{{{5}\over{16\pi}}}(3\cos^2\phi-1)dV=\sqrt{{16\pi}\over{2\cdot 2+1}}\int_V\rho(r)r^2Y_{20}dV\;</MATH>|2.6}}

{{IndexWzór|<MATH>Q_{20}={{3}\over{\sqrt{5\pi}}}R_0^2Ze\beta_2\left(1+{{1}\over{8}}\sqrt{{{5}\over{\pi}}}\beta_2\right)=\;</MATH><BR><MATH>=

{{4R_0Ze(a-b)}\over{5}}{{6R_0+a-b}\over{6R_0}}=\;</MATH><BR><MATH>={{4R_0Ze(a-b)}\over{5}}{{2a+4b+a-b}\over{6R_0}}={{4R_0Ze(a-b)}\over{5}}{{3(a+b)}\over{6R_0}}={{2}\over{5}}Ze(a^2-b^2)\;</MATH>|2.15}}

Elektryczne momenty spektroskopowe są określane w doświadczeniu, więc są określone w laboratoryjnym układzie współrzędnych. Transformacje operatorów {{Formuła|<MATH>\hat{Q}_{\lambda\mu}\;</MATH>}} zdefiniowanego w układzie związanym z jądrem do układu laboratoryjnego o dowolnej orientacji można rozłożyć na trzy kąty dookoła odpowiednich osi współrzędnych, któremu odpowiadają trzy kąty Eulera. Elementy macierzowe obrotu z układu związanego z jądrem do układu laboratoryjnego możemy napisać, jeśli zdefiniujemy uogólnione funkcje kuliste {{Formuła|<MATH>D^I_{nn^'}(\omega)\;</MATH>}}. Jeśli układ laboratoryjny i wewnętrzny mają ten sam początek, to transformacja momentu elektrycznego wewnętrznego {{Formuła|<MATH>\hat{Q}^0_{\lambda\mu}\;</math>}} z układu związanego z jądrem na układ laboratoryjny jest:

{{IndexWzór|<MATH>Q_2^s(I=k)={{3I^2-I^2-I}\over{(I+1)(3+2I)}}Q_{20}={{2I^2-I}\over{(I+1)(3+2I)}}Q_{20}=\;</MATH><BR><MATH>={{I(2I-1)}\over{(I+1)(3+2I)}}Q_{20}\;</MATH>|2.20}}

Widzimy, że moment elektryczny spektroskopowy {{Formuła|<MATH>Q_2^s\;</MATH>}} {{linkWzór|2.20}} jest równy zero, gdy I=0, lub I=1/2, który zachodzi nawet, gdy Q<sub>20</SUB> jest nie równe zero.

Rozpatrzmy teraz jądro o wielu nukleonach, które posiadają moment magnetyczny, które sprzęgają się ze sobą w całkowity moment magnetyczny jądra {{Formuła|<MATH>\vec{I}\;</MATH>}}:

Dla pojedynczego nukleonu jego całkowity moment pędu jest określany przez {{Formuła|<MATH>\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}\;</MATH>}}, wykorzystując przy tym wzór {{linkWzór|2.22}}, wtedy całkowity moment magnetyczny nukleonu określamy przez:

Wartość momentu magnetycznego, wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\langle j,j|\mu_x|j,j\rangle=\langle j,j|\mu_y|j,j\rangle=0\;</MATH>}}, określamy przez:

Stan nieparzystego jądra w tym modelu określa stan nukleonu walencyjnego, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{I}_{sp}=\vec{j}\;</MATH>}}, co i także zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{\mu}_{sp}=\vec{\mu}_j\;</MATH>}}. Wyliczmy teraz moment magnetyczny dla całego jądra nieparzystego, który jest momentem magnetyczny tylko jednego nukleonu walencyjnego. Patrząc na wzór {{linkWzór|2.33}} można powiedzieć, że kierunki {{Formuła|<MATH>\vec{j}\;</MATH> i <MATH>\vec{\mu}_j\;</MATH> nie pokrywają się ze sobą. Wartość średnią operatora <MATH>\hat{\vec{A}}\;</MATH> w układzie zamkniętym, w którym obowiązuje funkcja falowa {{Formuła|<MATH>|j,m\rangle\;</MATH>}}, którego rzut wektora momentu pędu na oś zetową, czyli jest {{Formuła|<MATH>\hat{j}_z\;</MATH>}} określana przez {{Formuła|<MATH>j_z=m\hbar\;</MATH>}}, określamy przez:

Wyznaczmy moment dipolowy dla m=j dla jednego nukleonu walencyjnego wykorzystując przy tym {{linkWzór|2.36}} na średnią wartość operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\vec{A}}\;</MATH>}}, a także z udowodnionych tożsamości {{linkWzór|2.37}} i {{LinkWzór|2.38}}:

{{IndexWzór|<MATH>\mu_{sp}=\langle jj|\hat{j}_z|jj\rangle{{\langle jj|\hat{\vec{\mu}}_j\hat{\vec{j}}|jj\rangle}\over{\langle jj|\hat{j}^2|jj\rangle}}=j\hbar{{\langle jj|\hat{\vec{\mu}}_j\hat{\vec{j}}|jj\rangle}\over{j(j+1)\hbar}}={{1}\over{(j+1)\hbar}}\langle jj|\hat{\vec{\mu}}_j\hat{\vec{j}}|jj\rangle=\;</MATH><BR><MATH>

=\;</MATH><BR><MATH>={{\mu_N}\over{2(j+1)\hbar^2}}\langle jj|g_l(\hat{j}^2+\hat{l}^2-\hat{s}^2)+g_s(\hat{j}^2+\hat{s}^2-\hat{l}^2)|jj\rangle=\;</MATH><BR><MATH>=

{{IndexWzór|<MATH>\mu_{sp}={{\mu_N}\over{2(j+1)}}\Bigg\{g_l\left[j(j+1)+\left(j-{{1}\over{2}}\right)\left(j-{{1}\over{2}}\right)-{{3}\over{4}}\right]+</MATH><BR><MATH>+g_s\left[j(j+1)-\left(j-{{1}\over{2}}\right)\left(j+{{1}\over{2}}\right)+{{1}\over{4}}\right]\Bigg\}=\;</MATH><BR><MATH>={{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left[g_l\left(j^2+j+j^2-{{1}\over{4}}-{{3}\over{4}}\right)+g_s\left(j^2+j-j^2+{{1}\over{4}}+{{3}\over{4}}\right)\right]=\;</MATH><BR><MATH>=

{{IndexWzór|<MATH>\mu_{sp}={{\mu_N}\over{2(j+1)}}\Bigg\{g_l\left[j(j+1)+\left(j+{{1}\over{2}}\right)\left(j+{{3}\over{2}}\right)-{{3}\over{4}}\right]+\;</MATH><BR><MATH>+g_s\left[j(j+1)-\left(j+{{1}\over{2}}\right)\left(j+{{3}\over{2}}\right)+{{3}\over{4}}\right]\Bigg\}\;</MATH><BR><MATH>=

{{IndexWzór|<MATH>1+e^{{{r-R_{1/2}}\over{a}}}={{\rho(0)}\over{\rho(r)}}\Rightarrow e^{{{r-R_{1/2}}\over{a}}}={{\rho(0)}\over{\rho(r)}}-1\Rightarrow r-R_{1/2}=a\ln\left({{\rho(0)}\over{\rho(r)}}-1\right)\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>

\Rightarrow t=a\ln{{{{\rho(0)}\over{0,1\rho(0)}}-1}\over{{{\rho(0)}\over{0,9\rho(0)}}-1}}=a\ln{{0,9}\over{0,1}}{{0,9}\over{0,1}}=\;</MATH><BR><MATH>=

*Rozpatrzmy jądro litu {{Formuła|<MATH>{}^{11}_3Li_8\;</MATH>}}, który ma promień {{Formuła|<MATH>R({}^{11}Li)=5fm\;</MATH>}}, a sam jego rdzeń bez neutronów aureoli ma promień <MATH>R({}^9Li)=3fm</MATH>, czyli na aureole składają się na dwa neutrony. To jądro wraz neutronami aureoli rozpada się samorzutnie na jądro Be w czasie połowicznego rozpadu 9 ms. {{Formuła|<math>{}^{11}_{3}Li_8\xrightarrow{9ms}{}^{11}_4 Be_7\;</MATH>}}. Energia wiązania dwóch neutronów jest S_2n=250 keV.

*Samo jądro{{Formuła|<MATH>{}^{11}Be\;</MATH>}} z jednym neutronem aureoli ma promień {{Formuła|<MATH>R({}^{11}Be)=7fm\;</MATH>}}, energia wiązania tego neutronu jest S_n=500 keV.

Stany jądra atomowego odzwierciadlająca własności jąder obserwowanego w doświadczeniu mówimy, że określa strukturę jądra atomowego. Stany wzbudzone, a także jądra niestabilne, które nie spełniają warunków stacjonarności ulegają spontanicznym przemianom z emisją kwantu &gamma; lub też innych cząstek, przy czym zmienia się stan ruchu poszczególnych nukleonów znajdujących się w jądrze atomowym. Tym stanom formalnie nie można przyporządkować ścisłe określonej energii E_n, lecz średnią energię {{Formuła|<MATH>_{\langle E\rangle=E_0}\;</MATH>}}, której odpowiada funkcja falowa {{Formuła|<MATH>_{\psi_{E_{0}}(q,t)=\int_E\psi_EdE}\;</MATH>}}.

Z doświadczenia wiadomo, że stany wzbudzone o energiach E_wzb<S nukleonu (nukleonów) charakteryzują się czasem życia {{Formuła|<MATH>\tau>>\hbar/E_0</MATH>}}, czyli dla czasu życia &tau;&ge; 10^-14 wynika, że &Gamma;&le;0,1eV. Stany o wyjątkowo dużym czasie życia maja małą szerokość połówkową &Gamma;&le;10^-15eV, te stany nazywamy stanami meta-stałymi. W praktyce stany o bardzo małej szerokości połówkowej traktuje się je jak stany dyskretne. Układ stanów dyskretnych jądra liczone względem stanu podstawowego E'_s=E_s-E_qs nazywamy schematem stanów wzbudzonych jądra atomowego.

W mechanice kwantowej operator momentu pędu: {{Formuła|<MATH>\hat{\vec{I}}=(\hat{I}_x,\hat{I}_y,\hat{I}_z)\;</MATH>}} definiujemy przy pomocy współrzędnych kartezjańskiego układu współrzędnych:

Funkcje {{Formuła|<MATH>\hat{I}^2\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\hat{I}_z\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} mają takie same funkcje własne. Wartościami własnymi kwadratu operatora momentu pędu, operatora zetowego momentu pędu są funkcje własne:

Operatory hamiltonianu {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{I}_z\;</MATH>}} zawsze spełniają warunki komutacji, tzn. jest możliwy jednoczesny pomiar energii układu i wartości własnej całkowitego momentu pędu.

Z definicji spinu jądra mamy maksymalny rzut całkowitego momentu pędu na oś zetową i ją określamy przez {{Formuła|<MATH>I_z^{max}=M^{max}\hbar=I\hbar\;</MATH>}}. W mechanice kwantowej często {{Formuła|<MATH>I\hbar\;</MATH>}} nazywamy spinem o długości wektora {{Formuła|<MATH>\vec{I}</MATH>}} dla maksymalnego rzutu wektora momentu pędu na oś zetową określamy przez:

Dla jąder parzysto-parzystych całkowity moment pędu i o parzystości (definicja w {{LinkWzór|2.67}}) określamy przez {{Formuła|<MATH>I^{\pi}_{gs}=0^+\;</MATH>}}, co oznacza, że całkowity momentu pędu układów nukleonów sparowanych jest{{Formuła|<MATH>|\vec{I}_{pary}|=0\;</MATH>}}. W stanie kolektywnym najczęściej występuje pierwszy poziom wzbudzony o wartości całkowitego momentu pędu i parzystości jądra I^&pi;=2⁺.

Można powiedzieć, że dla jądra nieparzystego jądro składa się z sferycznego rdzenia i jednego elektronu walencyjnego, według teorii modelu jednocząstkowego, którego moment pędu jest {{Formuła|<MATH>\hat{I}_{rdzenia}\;</math>}}, a moment nukleonu walencyjnego jest {{Formuła|<math>\vec{j}_{wal}\;</MATH>}}, zatem całkowity moment jądra atomowego:

W '''modelu jednocząstkowym''' będziemy rozpatrywać jądro jako układ złożony z sferycznego rdzenia p-p i jednego nukleonu walencyjnego, to w stanie podstawowym moment pędu rdzenia {{Formuła|<MATH>\vec{I}_{rdzenia}\;</MATH>}} jest równy zero, wtedy całkowity moment pędu {{LinkWzór|2.64}} określamy przez:

Obserwowany w doświadczeniu całkowity moment pędu stanu podstawowego dla jądra atomowego z nukleonami walencyjnymi jak wykazano w doświadczeniu, że jest on równy w zakresie {{Formuła|<MATH>I_{gs}^{\pi}=1/2\mbox{ do }11/2\;</MATH>}}. Zdefiniujmy teraz parzystość, którą określamy poprzez orbitalną liczbę kwantową:

Z ruchem nukleonów w jądrze należy powiązać pewne prądy elektryczne, które wytwarzają odpowiednio pole elektryczne i magnetyczne. Oddziaływaniem tychże pól z innymi polami np. ładunkami i prądami, np. z elektronami w atomach prowadzi do tzn. struktury nadsubtelnej w widmie optycznym, gdzie tam postępuje się z zasadami elektrodynamiki klasycznej rozkładając te pola w szeregi multipolowe mając kolejno wyrazy {{Formuła|<MATH>\sim 1/R^n\;</MATH>}}, gdzie n = 1, 2, 3,..., które są określone przez momenty elektryczne lub magnetyczne. W praktyce uwzględnia się momenty najniższych rzędów, tzn. dla momentów elektrycznych rzędu &lambda; = 0, 2, 4, (6), a w przypadku oddziaływania magnetycznego momenty rzędu &lambda;=1. Pozostałe momenty magnetyczne szybko maleją ze wzrostem &lambda;, więc ich się nie uwzględnia. Należy pamiętać, że te momenty multipolowe piszemy przy rozkładzie przestrzennym ładunku &rho;(r,&theta;,&phi;) {{linkWzór|2.46}}.