Mechanika kwantowa/Postulat pierwszy mechaniki kwantowej: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 82:
{{IndexWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}(m\vec{v})=q\left[-\nabla\varphi-{{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}\right]+q\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})\;</MAtH>|5.18}}
Ponieważ mamy z elektrodynamiki klasycznej definicję natężenia pola elektrycznego (poprzez potencjał skalarny i wektorowy) i indukcji pola magnetycznego (poprzez potencjał wektorowy), zatem przedstawiając wzorami te zależności:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\vec{E}=-\nabla\varphi-{{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.19}}|2={{IndexWzór|<MATH>\vec{B}=\nabla\times\vec{A}\;</MATH>|5.20}}}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>\vec{E}=-\nabla\varphi-{{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.19}}
|{{IndexWzór|<MATH>\vec{B}=\nabla\times\vec{A}\;</MATH>|5.20}}
|}
Wyrażenie {{LinkWzór|5.18}} na podstawie {{LinkWzór|5.19}} (definicji natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} w zależności od sumy gradientu potencjału elektrycznego <MatH>\varphi\;</MATH> i zmiany w czasie w danym punkcie wektorowego potencjału magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MaTH>}} i to wszystko wzięte z minusem) i {{LinkWzór|5.20}} (definicji indukcji pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}} jako rotacji wektorowego potencjału pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}}) przyjmuje postać:
{{IndexWzór|<MaTH>{{d}\over{dt}}(m\vec{v})=q\left[\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right]\Rightarrow
Linia 155 ⟶ 152:
\end{vmatrix}\;</MATH>|5.34}}
Z przestawienia macierzowego ogólnego wzoru macierzowego {{LinkWzór|5.34}} można powiedzieć, że ta macierz z operatorami wyznaczamy tak samo jakby nie było operatorów, tylko liczby. Współrzędne operatora momentu pędu są:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_x=-i\hbar\left(y{{\partial}\over{\partial z}}-z{{\partial}\over{\partial y}}\right)</MATH>|5.35|Obramuj}}|2={{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_y=-i\hbar\left(z{{\partial}\over{\partial x}}-x{{\partial}\over{\partial z}}\right)</MATH>|5.36|Obramuj}}|3={{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_z=-i\hbar\left(x{{\partial}\over{\partial y}}-y{{\partial}\over{\partial x}}\right)</MATH>|5.37|Obramuj}}}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_x=-i\hbar\left(y{{\partial}\over{\partial z}}-z{{\partial}\over{\partial y}}\right)</MATH>|5.35|Obramuj}}
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_y=-i\hbar\left(z{{\partial}\over{\partial x}}-x{{\partial}\over{\partial z}}\right)</MATH>|5.36|Obramuj}}
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_z=-i\hbar\left(x{{\partial}\over{\partial y}}-y{{\partial}\over{\partial x}}\right)</MATH>|5.37|Obramuj}}
|}
Współrzędne operatora momentu pędu są standardowo wyznaczone we współrzędnych kartezjańskich, tzn. w prawoskrętnym prostokątnym układzie współrzędnych.
 
Linia 205 ⟶ 198:
 
Mając operator momentu pędu zetowy przedstawiony we współrzędnych kartezjańskich w postaci operatorowej wedle {{LinkWzór|5.37}}, w nim zamieńmy wszystkie jego współrzędne kartezjańskie i operatory pochodnych cząstkowych zdefiniowanych we współrzędnych karteziańskich na współrzędne kuliste, dalej wyznaczmy ten operator po podzieleniu go przez liczbę urojoną {{Formuła|<MATH>-i\hbar\;</MATH>}}:
{{IndexWzór|<MATH>{{\hat{l}_z}\over{-i\hbar}}=x{{\partial}\over{\partial y}}-y{{\partial}\over{\partial x}}=\;</MATH><BR><MATH>=\underbrace{r\cos\theta\sin\phi}_{x}\underbrace{\left[\sin\theta\sin\phi{{\partial}\over{\partial r}}+
{{\cos\theta}\over{r\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}+{{\sin\theta\cos\phi}\over r}{{\partial}\over{\partial \phi}}\right]}_{{{\partial}\over{\partial y}}}-\underbrace{r\sin\theta\sin\phi}_{y}\underbrace{\left[\cos\theta\sin\phi{{\partial}\over{\partial r}}-{{\sin\theta}\over{r\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}+{{\cos\theta\cos\phi}\over{r}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right]}_{{{\partial}\over{\partial x}}}=</MATH><br><MATH>=r\cos\theta\sin\theta\sin^2\phi{{\partial}\over{\partial r}}+\cos^2\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}+\sin\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}-r\sin\theta\cos\theta\sin\phi^2{{\partial}\over{\partial r}}+\sin\theta^2{{\partial}\over{\partial\theta}}-\sin\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}=</MATH><br> <MATH>=\cos^2\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}+
\sin^2\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}
Linia 215 ⟶ 208:
== Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu ==
Przykładem operatorów niehermitowskich oprócz ostatniego poniżej w linijce, są operatory zdefiniowane poprzez operatory współrzędnych operatora momentu pędu w układzie kartezjańskich z definiowanych jako:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_{+}={{1}\over{\hbar}}\left(\hat{l}_x+i\hat{l}_y\right)\;</MATH>|5.47|Obramuj}}|2={{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_{-}={{1}\over{\hbar}}\left(\hat{l}_x-i\hat{l}_y\right)\;</MATH>|5.48|Obramuj}}|3={{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_0={{1}\over{\hbar}}\hat{l}_z\;</MATH>|5.49|Obramuj}}}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_{+}={{1}\over{\hbar}}\left(\hat{l}_x+i\hat{l}_y\right)\;</MATH>|5.47|Obramuj}}
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_{-}={{1}\over{\hbar}}\left(\hat{l}_x-i\hat{l}_y\right)\;</MATH>|5.48|Obramuj}}
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_0={{1}\over{\hbar}}\hat{l}_z\;</MATH>|5.49|Obramuj}}
|}
Wiedząc, że operatory współrzędnych pędu są to operatory hermitowskie, zatem operatory współrzędnych momentu pędu też są hermitowskie, zatem operatory {{LinkWzór|5.47}} ({{Formuła|<MATH>\hat{l}_+\;</MATH>}}) i {{LinkWzór|5.48}} ({{Formuła|<MATH>\hat{l}_-\;</MaTH>}}) nie są to operatory hermitowskie, ponieważ czynnik urojony nie jest sam ze sobą sprzężony po hermitowsku. Można udowodnić kolejno dla operatora {{LinkWzór|5.47}}, że jest on sprzężony po hermitowsku do operatora {{LinkWzór|5.48}}:
{{IndexWzór|<MATH>(\hat{l}_{+})^{+}={{1}\over{\hbar}}\left(\hat{l}_x+i\hat{l}_y\right)^{+}={{1}\over{\hbar}}\left(\hat{l}_x-i\hat{l}_y\right)=\hat{l}_-\neq \hat{l}_{+}</MATH>|5.50}}