Mechanika kwantowa/Proste przykłady zagadnień kwantowomechanicznych: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Linia 22:
Z równości, które otrzymaliśmy dostajemy alternatywę równań:
{{IndexWzór|<MATH> \sin k{{a}\over{2}}=0\;\vee\;\cos k{{a}\over{2}}=0\Rightarrow
k{{a}\over{2}}=n\pi\;\vee\; k{{a}\over{2}}=n\pi -{{\pi}\over{2}}\Rightarrow k={{2n\pi}\over{a}}\;\vee\; k={{(2n-1)\pi}\over{a}}\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow k={{n\pi}\over{a}}\;</math>|11.7}}
Powyżej dowiedzieliśmy się, że stała n jest zależna od liczby nieparzystej {{Formuła|<MATH>2n-1</MATH>}} lub liczby parzystej {{Formuła|<MATH>2n</MATH>}}, które można połączyć w jedno rozwiązanie, gdzie {{Formuła|<MATH>n</MATH>}} zależy od liczby naturalnej większej od zera.
Ze wzoru {{LinkWzór|11.2}} wyznaczmy energię cząstki:
Linia 37:
\end{cases}\;</MATH>|11.11}}
Funkcjami równania własnego równania niezależnego od czasu są zatem dwa rozwiązania dla {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} parzystego (pierwsze rozwiązanie w {{LinkWzór|11.11}}) i nieparzystego (drugie rozwiązanie w {{LinkWzór|11.11}}), które można je połączyć w jedno rozwiązanie dla n naturalnego (bez zera) do {{LinkWzór|11.12}}, które rozkładamy z definicji funkcji trygometrycznych do {{LinkWzór|11.13}}, które jak widzimy dla odpowiednich {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} przechodzi w {{LinkWzór|11.11}}. Przykładowe wykresy dla n=1, n=2 i n=3 są wykreślone na rysunkach w {{LinkGrafika|wk11}}, {{LinkGrafika|wk2}} i {{LinkGrafika|wk3}}.
{{FlexRow|1={{IndexGrafika|Nieskończona studnia kwantowa dla rozwiązania nieparzystego (n&#61;31) dla a&#61;1 (wykres funkcji falowej).png|wk3wk11|Nieskończona studnia kwantowa dla rrozwiązaniarozwiązania nieparzystego (n&#61;31) dla a&#61;1 (wykres funkcji falowej)|Pozycja=center}}
{|width=100%|-
|2={{IndexGrafika|Nieskończona studnia kwantowastudnia_kwantowa dla rozwiązania nieparzystegoparzystego (n&#61;12) dla a&#61;1 (wykres funkcji falowej).png|wk11wk2|Nieskończona studnia kwantowa dla rozwiązania nieparzystegoparzystego (n&#61;12) dla a&#61;1 (wykres funkcji falowej)|Pozycja=center}}
|3={{IndexGrafika|Nieskończona studnia_kwantowastudnia kwantowa dla rozwiązania parzystegonieparzystego (n&#61;23) dla a&#61;1 (wykres funkcji falowej).png|wk2wk3|Nieskończona studnia kwantowa dla rozwiązaniarrozwiązania parzystegonieparzystego (n&#61;23) dla a&#61;1 (wykres funkcji falowej)|Pozycja=center}}
|}}
|{{IndexGrafika|Nieskończona studnia kwantowa dla rozwiązania nieparzystego (n&#61;3) dla a&#61;1 (wykres funkcji falowej).png|wk3|Nieskończona studnia kwantowa dla rrozwiązania nieparzystego (n&#61;3) dla a&#61;1 (wykres funkcji falowej)|Pozycja=center}}
|}
''Rysunki przedstawiają prawdopodobieństwo znalezienia cząstki (oś igrekowa) w zależności od położenia cząstki (oś iksowa). według {{LinkWzór|11.11}} kolejno dla n=1,2,3 oraz dla a=1.''
 
Linia 64 ⟶ 63:
{{IndexWzór|<MATH>\psi(x)=Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x}\;</matH>|11.16}}
Równanie własne {{LinkWzór|11.15}} powinno być słuszne dla obszaru 1 i 3, czyli była całkowalna z kwadratem, to musi zachodzić warunek:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<math>\psi_1(x)=A_1e^{\kappa x}\;</MATH>|11.17}}|2={{IndexWzór|<MATH>\psi_3(x)=B_3e^{-\kappa x}\;</MATH>|11.18}}}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<math>\psi_1(x)=A_1e^{\kappa x}\;</MATH>|11.17}}
|{{IndexWzór|<MATH>\psi_3(x)=B_3e^{-\kappa x}\;</MATH>|11.18}}
|}
Widzimy, że dla zakresu obowiązywania tych funkcji, tzn. {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}} powyższe funkcje nie mają wartości nieskończonej.
 
Linia 80 ⟶ 76:
{{IndexWzór|<MATH>\psi_2=A_2\cos kx+B_2\sin kx\;</MATH>|11.22}}
Na granicy obszarów 1 i 2 oraz 2 i 3 funkcje oraz jego pochodne muszą być ciągłe, tzn. muszą zachodzić związki:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MaTH>\psi_1(-a)=\psi_2(-a)\;</MATH>|11.23}}|2={{IndexWzór|<math>\psi_2(a)=\psi_3(a)\;</MATH>|11.24}}}}
{|width=100%|-
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MaTH>\psi_1^'(-a)=\psi_2^'(-a)\;</MATH>|11.2325}}|2={{IndexWzór|<math>\psi_2^'(a)=\psi_3^'(a)\;</MATH>|11.26}}}}
|{{IndexWzór|<math>\psi_2(a)=\psi_3(a)\;</MATH>|11.24}}
|-
|{{IndexWzór|<MaTH>\psi_1^'(-a)=\psi_2^'(-a)\;</MATH>|11.25}}
|{{IndexWzór|<math>\psi_2^'(a)=\psi_3^'(a)\;</MATH>|11.26}}
|}
Na podstawie powyższych warunków otrzymujemy układ równań:
{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}
Linia 121 ⟶ 112:
{{IndexWzór|<MATH>\left(-k\sin ka+\kappa\cos ka\right)\left(k\cos ka+\kappa\sin ka\right)=0\;</MATH>|11.29}}
Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|11.29}} jest takie, że po skorzystaniu przy tym z twierdzenia o alternatywie równań, to rozwiązaniem powyższego równania są dwa równania łączące parametry k z parametrem &kappa;, których te parametry zależą od energii cząstki kwantowej, więc dojdziemy do wniosku później, że energia cząstki jest skwantowana (dyskretna) w stanach związanych.
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\kappa=k\operatorname{tg} ka\;</MATH>|11.30|Obramuj}}|2={{IndexWzór|<MATH>\kappa=-k\operatorname{ctg} ka\;</MATH>|11.31|Obramuj}}}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>\kappa=k\operatorname{tg} ka\;</MATH>|11.30|Obramuj}}
|{{IndexWzór|<MATH>\kappa=-k\operatorname{ctg} ka\;</MATH>|11.31|Obramuj}}
|}
====Współczynniki rozwiązań parzystych====
Aby układ równań {{LinkWzór|11.27}} dla rozwiązań parzystych miał rozwiązania w postaci niezerowych stałych, to musi być spełniona zależność {{LinkWzór|11.30}}.
Linia 179 ⟶ 167:
Aby unormować rozwiązania parzyste {{LinkWzór|11.36}} lub rozwiązania nieparzyste {{LinkWzór|11.37}} należy dokonać całkowania z kwadratem:
{{IndexWzór|<MATH>1=\int^{\infty}_{\infty}|\psi|^2dx=\left(\int_{-\infty}^{-a}+\int_{-a}^{a}+\int_{a}^{\infty}\right)|\psi|^2dx=
\int_{-\infty}^{-a}|\psi|^2dx+\int_{-a}^{a}|\psi|^2dx+\int_{a}^{\infty}|\psi|^2dx=\int_{-\infty}^{-a}|\psi_1|^2dx+\int_{-a}^{a}|\psi_2|^2dx+\int_{a}^{\infty}|\psi_3|^2dx\;</MATH><BR><MATH>=|11.38}}
\int_{-\infty}^{-a}|\psi_1|^2dx+\int_{-a}^{a}|\psi_2|^2dx+\int_{a}^{\infty}|\psi_3|^2dx\;</MATH>|11.38}}
 
====Normowanie funkcji parzystych====
Linia 279 ⟶ 266:
{{IndexWzór|<MATH>-{{\hbar^2}\over{2m}}{{d^2}\over{dx^2}}\psi-U\psi=E\psi\Rightarrow {{d^2}\over{dx^2}}\psi=-{{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}\psi\;</MATH>|11.54}}
W ostanich dwóch równaniach wprowadźmy dwie stałe, które są zależne od dodatniej energii układu stanu rozproszeniowego i ta druga stała jest zależna od głębokości studni potencjału U, są one napisane wedle:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MatH>k^2={{2mE}\over{\hbar^2}}\;</MATh>|11.55}}|2={{IndexWzór|<matH>\kappa^2={{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}\;</MATH>|11.56}}}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MatH>k^2={{2mE}\over{\hbar^2}}\;</MATh>|11.55}}
|{{IndexWzór|<matH>\kappa^2={{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}\;</MATH>|11.56}}
|}
Prz definicjach stałych {{LinkWzór|11.55}}({{Formuła|<MATH>k^2\;</MATH>}}) i {{LinkWzór|11.56}}({{Formuła|<Math>\kappa^2\;</MATH>}}) równania różniczkowe {{LinkWzór|11.53}} (stan 1 i 3) i {{LinkWzór|11.54}} (stan 2) przyjmują wygląd:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<math>{{d^2}\over{dx^2}}\psi=-k^2\psi\;</Math>&nbsp;''':obszar 1 i 3'''|11.57}}|2={{IndexWzór|<MATH>{{d^2}\over{dx^2}}\psi=-\kappa^2\psi\;</Math>&nbsp;''':obszar 2'''|11.58}}}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<math>{{d^2}\over{dx^2}}\psi=-k^2\psi\;</Math>&nbsp;''':obszar 1 i 3'''|11.57}}
|{{IndexWzór|<MATH>{{d^2}\over{dx^2}}\psi=-\kappa^2\psi\;</Math>&nbsp;''':obszar 2'''|11.58}}
|}
Rozwiązania dla wszystkich obszarów wedle dwóch ostatnich rozwiązań są przedstawiane:
{{IndexWzór|<MATH>\psi(x)=\begin{cases}
Linia 297 ⟶ 278:
====Współczynnik odbicia i transmisji====
Współczynniki odbicia R i transmisji T definiujemy za pomocą kwadratów modułów odpowiednich stałych występujące w rozwiązaniu falowym równania niezależnego od czasu dla stanów rozproszeniowych, zatem współczynnik odbicia jest to stosunek kwadratu modułu stałej B przez kwadrat modułu stałej A, a współczynnik transmisji jest to stosunek kwadratu modułu stałej F przez kwadrat modułu stałej A. Należy zauważyć, że stałe B i F trzeba wyrazić przez stałą A, co o tym będziemy pamiętać i tak będziemy robić.
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<Math>R={{|B|^2}\over{|A|^2}}\;</math>|11.60}}|2={{IndexWzór|<MATH>T={{|F|^2}\over{|A|^2}}\;</Math>|11.61}}}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<Math>R={{|B|^2}\over{|A|^2}}\;</math>|11.60}}
|{{IndexWzór|<MATH>T={{|F|^2}\over{|A|^2}}\;</Math>|11.61}}
|}
Widzimy, że przy wybranej metodzie dla funkcji falowych tracimy jego metodę probabilistyczną, tzn. nie możemy liczyć prawdopodobieństwa znalezienia pewnej cząstki w specjalnie obranym obszarze.
Ciągłość funkcji i jej pochodnych będziemy badać dla punktu x=-a i x=a. Zatem ciągłość funkcji falowych dla x=-a prowadzi do warunku:
Linia 344 ⟶ 322:
Wyznaczmy kwadrat modułu wyrażenia występującej w miianowniku {{LinkWzór|11.74}}:
{{IndexWzór|<math>\left|\cos 2\kappa a-{{i}\over{2}}\left({{k}\over{\kappa}}+{{\kappa}\over{k}}\right)\sin 2\kappa a\right|^2=
\cos^22ka+{{1}\over{4}}\left({{k^2+\kappa^2}\over{\kappa k}}\right)^2\sin^22\kappa a=\;</MATH><BR><MaTH>=
\cos^22\kappa a+{{1}\over{4}}{{k^4+\kappa^4+2k^2\kappa^2}\over{\kappa^2k^2}}\sin^22\kappa a=\;</Math><BR><math>=
1+\sin^2(2\kappa a)\cdot{{k^4+\kappa^4+2k^2\kappa^2-4\kappa^2k^2}\over{4\kappa^2k^2}}=\;</Math><BR><math>=
1+\sin^2(2\kappa a){{k^4+\kappa^4-2k^2\kappa^2}\over{4\kappa^2k^2}}=
1+\sin^2(2\kappa a){{1}\over{4}}\left({{k^2-\kappa^2}\over{\kappa k}}\right)^2=
1+\sin^2(2\kappa a){{1}\over{4}}\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)^2\;</math>|11.75}}
Współczynniki odbicia {{LinkWzór|11.60}} (R) zdefiniowanej przy pomocy {{LinkWzór|11.74}} i transmisji {{LinkWzór|11.61}} (T) przy pomocy {{LinkWzór|11.72}} przedstawiają się:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>R={{
{|width=100%|-
{{1}\over{4}}\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)^2\sin^2 2\kappa a}\over{1+\sin^2(2\kappa a){{1}\over{4}}\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)^2}}\;</MaTH>|11.76}}|2={{IndexWzór|<MATH>T={{1}\over{1+\sin^2(2\kappa a){{1}\over{4}}\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)^2}}\;</MATH>|11.77}}}}
|{{IndexWzór|<MATH>R={{
{{1}\over{4}}\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)^2\sin^2 2\kappa a}\over{1+\sin^2(2\kappa a){{1}\over{4}}\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)^2}}\;</MaTH>|11.76}}
|{{IndexWzór|<MATH>T={{1}\over{1+\sin^2(2\kappa a){{1}\over{4}}\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)^2}}\;</MATH>|11.77}}
|}
Od razu widać, że współczynniki odbicia {{LinkWzór|11.76}} i transmisji {{LinkWzór|11.77}}, co jest trywialne, spełniają na pewno nastepującą zależność:
{{IndexWzór|<MaTH>1=R+T\;</MATH>|11.78}}
Linia 395 ⟶ 370:
\sqrt{1+{{U}\over{E}}}>>1\Rightarrow {{k}\over{\kappa}}<<1\;</MaTH>|11.89}}
Przy warunku {{LinkWzór|11.89}} współczynnik odbicia R {{LinkWzór|11.76}} i transmisji T {{LinkWzór|11.77}} dla rozpraszania niskoenergetycznego możemy zapisać wedle sposobu:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>TR={{1{{\kappa^2}\over{1+4k^2}}\sin^2(222\kappa a){}\over{1+{{\kappa^2}\over{44k^2}}\left(sin^22\kappa a}}\;</MATH>|11.91}}|2={{kIndexWzór|<MaTH>T={{1}\over{\kappa}}-1+{{\kappa^2}\over{k4k^2}}\right)sin^222\kappa a}}\;</MATH>|11.7790}}}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>R={{{{\kappa^2}\over{4k^2}}\sin^22\kappa a}\over{1+{{\kappa^2}\over{4k^2}}\sin^22\kappa a}}\;</MATH>|11.91}}
|{{IndexWzór|<MaTH>T={{1}\over{1+{{\kappa^2}\over{4k^2}}\sin^22\kappa a}}\;</MATH>|11.90}}
|}
Gdy zachodzi {{Formuła|<MATH>E\rightarrow 0\;</MATH>}}, dochodzimy do wniosku, że {{Formuła|<MaTH>{{k}\over{\kappa}}\rightarrow 0\;</MATH>}}, co wynika ze wzoru {{LinkWzór|11.55}}, to przy tym założeniu współczynniki transmisji i odbicia spełniają warunki:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>R\xrightarrow[E\rightarrow 0]{}1\;</MATH>|11.93}}|2={{IndexWzór|<MaTH>T\xrightarrow[E\rightarrow 0]{}0\;</MATH>|11.92}}}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>R\xrightarrow[E\rightarrow 0]{}1\;</MATH>|11.93}}
|{{IndexWzór|<MaTH>T\xrightarrow[E\rightarrow 0]{}0\;</MATH>|11.92}}
|}
Dla rozpraszania niskoenergetycznego liczba cząstek odbitych od studni potencjału jest ich w istocie sto procent, a liczba cząstek przechodzących jest ich zero.