Wikibooks

Mechanika kwantowa/Kwantowy oscylator harmoniczny: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 12:
Jest to równanie stacjonarne wyprowadzone z niezależnego od czasu równania falowego Schrödingera i idąc dalej
wprowadzimy nowe parametry i zmienne, dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego, w celu uproszczenia obliczeń do wyznaczenia wartości i funkcji własnej naszego przekształconego równania {{LinkWzór|17.3}}, wtedy te oznaczenia:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<math>\alpha^2={{m\omega}\over{\hbar}}\;</MATH>|17.4}}|2={{IndexWzór|<MATH>\xi=\alpha x\;</MAtH>|17.5}}}}▼
{|width=100%|-
▲|{{IndexWzór|<math>\alpha^2={{m\omega}\over{\hbar}}\;</MATH>|17.4}}
|{{IndexWzór|<MATH>\xi=\alpha x\;</MAtH>|17.5}}
|}
Przy powyższym oznaczeniu nowej zmiennej {{LinkWzór|17.5}} równanie {{LinkWzór|17.3}} w tychże zmiennych jest:
{{IndexWzór|<MATH>\alpha^2{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\alpha^4x^2\psi+{{2mE}\over{\hbar^2}}\psi=0\Rightarrow
Linia 31 ⟶ 28:
{{IndexWzór|<MATH>\psi=e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.10}}
który udowodnimy poniżej rozpisując pierwszą i drugą pochodną, które podstawimy później do równania różniczkowego asymptotytycznego {{LinkWzór|17.9}}:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>{{d^2\nu}\over{d\xi^2}}\psi=\pm\xi e^{-\pm{{\xi^2}\over{2}}}-\;</MATH>|17.11}}|2={{IndexWzór|<math>{{d^2}\nuover{d\xi^2}}\psi={{d}\over{d\xi}}\left(\pm\xi e^{-\pm{{\xi^2}\over{2}}}-\nuright)=\pm \xi e^{-\pm{{\xi^2}\over{2}}}+\nu\xi^2e^{-\pm {{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.12}}}}▼
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>{{d}\over{d\xi}}\psi=\pm\xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.11}}▼
|{{IndexWzór|<math>{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi={{d}\over{d\xi}}\left(\pm\xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}\right)=
\pm \xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}+\xi^2e^{\pm {{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.12}}
|}
Drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|17.10}} zależnego tylko od zmiennej rzeczywistej {{Formuła|<MaTh>\xi\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|17.12}} i {{LinkWzór|17.10}}, podstawiamy do równania różniczkowego asymptotycznego {{LinkWzór|17.9}}, dostajemy niezerowe tożsamościowo wyrażenie, pamiętając o wyborze znaku minus, która dla &xi; nieskończonego, dąży do zera, co opiszemy z komentarzami poniżej, nasze wyrażenie możemy napisać:
{{IndexWzór|<MAtH>{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\xi^2\psi=\pm \xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}+\xi^2e^{\pm {{\xi^2}\over{2}}}-\xi^2e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}=\pm \xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.13}}
Linia 53 ⟶ 46:
{{IndexWzór|<MATH>{{d}\over{d\xi}}={{d\nu}\over{d\xi}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.18}}
*druga pochodna funkcji {{LinkWzór|17.17}}, a więc pierwsza pochodna pierwszej pochodnej {{LinkWzór|17.18}}.
{{IndexWzór|<MATH>{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi={{d}\over{d\xi}}\left({{d\nu}\over{d\xi}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\right)={{d^2\nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\nu\xi^2e^{-{{\xi^2}\over{2}}}={{d^2\;</MATH><BR><MATH>nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-2{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\nu\xi^2e^{-{{\xi^2}\over{2}}}
▲={{d^2\nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-2{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\nu\xi^2e^{-{{\xi^2}\over{2}}}
\;</MATH>|17.19}}
Drugą pochodną {{LinkWzór|17.19}} wyrażenia {{LinkWzór|17.17}} i tą właśnie funkcję podstawiamy do równania różniczkowego {{LinkWzór|17.8}}, dostajemy wyrażenie:
Linia 67 ⟶ 59:
{{IndexWzór|<MATH>\nu=\sum^{\infty}_{k=0}a_k\xi^k\;</math>|17.22}}
A jego dwie kolejne pochodne licząc je po kolei, tzn. pierwszą i drugą pochodną funkcji {{LinkWzór|17.22}}, co tą ostatnia jest pochodną pierwszej pochodnej, piszemy w postaci:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>{{d\nu}\over{d\xi}}=\sum^{\infty}_{k=1}a_k k\xi^{k-1}\;</MATh>|17.23}}|2={{IndexWzór|<MATH>{{d^2\nu}\over{d\xi^2}}=\sum^{\infty}_{k=2}a_k k(k-1)\xi^{k-2}\;</MATH>|17.24}}}}▼
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>{{d\nu}\over{d\xi}}=\sum^{\infty}_{k=1}a_k k\xi^{k-1}\;</MATh>|17.23}}
▲|{{IndexWzór|<MATH>{{d^2\nu}\over{d\xi^2}}=\sum^{\infty}_{k=2}a_k k(k-1)\xi^{k-2}\;</MATH>|17.24}}
|}
Pochodne zmiennej aplitudowej pierwsze i drugie i samą funkcję podstawiamy do wzoru różniczkowego {{LinkWzór|17.21}} dostając następne wyrażenie:
{{IndexWzór|<MATH>\sum^{\infty}_{k=2}a_k k(k-1)\xi^{k-2}-2\xi\sum^{\infty}_{k=1}a_k k\xi^{k-1}+(\lambda-1)\sum^{\infty}_{k=0}a_k\xi^k=0\;</MATH>|17.25}}
Linia 122 ⟶ 111:
Widzimy, że powyższe równanie jest równaniem różniczkowym radialnym, który pozwala wyznaczyć R(r) względem zmiennej radialnej r, który z kolei zależy od liczby kwantowej momentu pędu l.
Wprowadźmy do równania {{LinkWzór|17.44}} nowe oznaczenia zastępujące pewne stałe w omawianym równaniu wiążące pewne stałe i parametry:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\lambda={{2ME}\over{\hbar^2}}\geq 0\;</MATH>|17.45}} |2={{IndexWzór|<MATH>\nu={{M\omega}\over{\hbar}}\;</MATH>|17.46}}}}▼
{|width=100%|-
▲|{{IndexWzór|<MATH>\lambda={{2ME}\over{\hbar^2}}\geq 0\;</MATH>|17.45}}
|{{IndexWzór|<MATH>\nu={{M\omega}\over{\hbar}}\;</MATH>|17.46}}
|}
Równanie {{LinkWzór|17.44}} na podstawie nowych parametrów {{LinkWzór|17.45}} i {{LinkWzór|17.46}} przyjmuje bardziej prostą postać:
{{IndexWzór|<MATH>{{d^2R}\over{dr^2}}+\left\{\lambda-\nu^2r^2-{{l(l+1)}\over{r^2}}\right\}R=0\;</MATH>|17.47}}
Linia 136 ⟶ 122:
<MATH>=(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL}\over{dr}}\;</MATH>|17.49}}
Jeśli już mamy pierwszą pochodną {{LinkWzór|17.49}} funkcji radialnej {{LinkWzór|17.48}}, możemy zabrać się z kolei do obliczenia drugiej pochodnej naszej funkcji mając już pierwszą pochodną.
{{IndexWzór|<MATH>{{d^2R}\over{dr^2}}={{d}\over{dr}}{{dR}\over{dr}}={{d}\over{dr}}\left\{(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL}\over{dr}}\right\}=l(l+1)r^{l-1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+\;</MATH><BR><MATH>-(l+1)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL(r)}\over{dr}}-(l+2)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+r^{l+3}\nu^2e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL}\over{dr}}+(l+1)r^{l}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL(r)}\over{dr}}+\;</MATH><br><MATH>-\nu r^{l+2}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL(r)}\over{dr}}+r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}=
:<MATH>=l(l+1)r^{l-+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L{{d^2L(r)-(l}\over{dr^2}}+1){{dL}\over{dr}}\left\{-\nu r^{l+12}vee^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+(l+1)r^le{l}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-r^{l+2}\nu e^{dL(-{{\nu r^2}\over{2}}}+(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{dr2}}} \right\}+\;</MATH><br>
<MATH>-(l+2)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+r^{l+3}\nu^2e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL}\over{dr}}+\;</MATH><br><MATH>+(l+1)r^{l}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL(r)}\over{dr}}-\nu r^{l+2}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL(r)}\over{dr}}+r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}=
r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+\;</MATH><br><MATH>+{{dL}\over{dr}}\left\{-\nu r^{l+2}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}+(l+1)r^{l}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}+(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}} \right\}+\;</MATH><br>
<MATH>+L(r)\left\{l(l+1)r^{l-1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-(l+1)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-(l+2)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}+r^{l+3}\nu^2e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\right\}=\;</MATH><br>
<MATH>=e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\Bigg\{r^{l+1}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{-2\nu r^{l+ 2}+(2l+2)r^l \right\}+L(r)\left\{-(2l+3)r^{l+1}\nu+l(l+1)r^{l-1}+r^{l+3}\nu^2\right\}\Bigg\}\;</MATH>|17.50}}
Obliczoną drugą pochodną {{LinkWzór|17.50}} i wyrażenie {{LinkWzór|17.48}} wstawiamy do równania różniczkowego {{LinkWzór|17.47}}, dostajemy:
{{IndexWzór|<MATH>e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\Bigg\{r^{l+1}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{-2\nu r^{l+ 2}+(2l+2)r^l \right\}+L(r)\left\{-(2l+3)r^{l+1}\nu+l(l+1)r^{l-1}+r^{l+3}\nu^2\right\}+\;</MATH><BR><MATH>=\left\{\lambda-\nu^2r^2-{{l(l+1)}\over{r^2}}\right\}r^{l+1}L(r)\Bigg\}=0\;</MATH>|17.51}}
Równanie {{LinkWzór|17.51}} dzielimy obustronnie przez {{Formuła|<MATH>e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\;</MATH>}}, która jak wiadomo z analizy matematycznej jest wyrażeniem zawsze niezerowym, a następnie dokonujmy odpowiednich przekształceń w równości {{LinkWzór|17.51}}:
{{IndexWzór|<MATH>r^{l+1}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{-2\nu r^{l+2}+(2l+2)r^l \right\}+L(r)\left\{\lambda r^{l+1}-(2l+3)r^{l+1}\nu \right\}=0\;</MATH>|17.52}}
Linia 167 ⟶ 151:
{{IndexWzór|<MATH>x{{d^2L}\over{dx^2}}+{{dL}\over{dx}}(l+{{1}\over{2}}+1-x)+L(r)\left\{{{\lambda}\over{4\nu}}-{{2l+3}\over{4\nu}}\right\}=0\;</MATH>|17.62}}
Obierzmy w równaniu {{LinkWzór|17.62}} definicję nowych pomocnych parametrów, które jak się przekonamy będą dla nas bardzo potrzebne:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>a=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>|17.63}}|2={{IndexWzór|<MATH>b={{\lambda}\over{4\nu}}+{{l}\over{2}}-{{1}\over{4}}\;</MATH>|17.64}}}}▼
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>a=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>|17.63}}
▲|{{IndexWzór|<MATH>b={{\lambda}\over{4\nu}}+{{l}\over{2}}-{{1}\over{4}}\;</MATH>|17.64}}
|}
Oraz policzmy na podstawie {{LinkWzór|17.63}} i {{LinkWzór|17.64}} podane wyrażenie, które jak się przekonamy występuje w {{LinkWzór|17.62}} jako różnica zmiennych b {{LinkWzór|17.64}} i a {{LinkWzór|17.63}}:
Linia 193 ⟶ 175:
{{IndexWzór|<MATH>E=\left(2n+l-{{1}\over{2}}\right)\hbar\omega\;</MATH>|17.71}}
Ponieważ, nic nie zakładaliśmy co do wartości n i l w rozwiązaniach równania radialnego kwantowego oscylatora harmonicznego w {{LinkWzór|17.47}} i tożsamości początkowej {{LinkWzór|17.67}}, to one mogą przebiegać niezależnie, według schematu:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>n=1,2,3,4,5\;</MATH>|17.72}}|2={{IndexWzór|<MATH>l=0,1,2,3,...\;</MATH>|17.73}}}}▼
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>n=1,2,3,4,5\;</MATH>|17.72}}
▲|{{IndexWzór|<MATH>l=0,1,2,3,...\;</MATH>|17.73}}
|}
Policzmy więc stopień degeneracji poziomu energii własnych oscylatora harmonicznego, w tym celu przedstawmy {{LinkWzór|17.71}} troszeczkę w innej postaci wprowadzając całkowitą liczbę kwantową N:
{{IndexWzór|<MATH>E_N=\hbar\omega\left\{N+{{3}\over {2}}\right\}\;</MATH>|17.74}}
Linia 203 ⟶ 182:
aby równanie {{LinkWzór|17.74}} było zgodne z {{LinkWzór|17.71}}.
Z {{LinkWzór|17.75}} wyznaczamy {{Formuła|<MATH>l\;</MATH>}}, aby później wyznaczyć stopień generacji dla kwantowego oscylatora harmonicznego.
{|width=100%|-
{{IndexWzór|<MATH>l=N+2-2n\;</MATH>{{Tekst|, &nbsp;wtedy mamy: }}<MATH>l=N,N-2,N-4,...,1\mbox{ lub } 0\;</MATH>|17.76}}
Ilość degeneracji, również z namiastką spinu, który ma dwa rzuty na oś zetową, przyjmuje postać dla N parzystego:
Linia 232 ⟶ 210:
{{IndexWzór|<MATH>\Delta E={{D}\over{2}}\left(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right)={{D}\over{2}}\left(j(j+1)-l(l+1)-{{3}\over{4}}\right)\;</MATH>|17.86}}
Ponieważ całkowita liczba kwantowa "j" jest kwantową połówkową liczbą kwantową, która może się mieścić się pomiędzy liczbami połówkowymi, określonych przez orbitalne liczby kwantowe "l" przyjmujących wartości całkowite nieujemne, co wynika z dodawania orbitalnego momentu pędu i liczby kwantowej połówkowej spinowej liczby kwantowej równej {{Formuła|<Math>{{1}\over{2}}\;</MATH>}}, jeśli cząstka posiada spin własny.
▲{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>j=l+{{d1}\over{d\xi2}}\psi;</MATH>|17.87}}|2=\pm\xi e^{\pm{IndexWzór|<MATH>j=l-{\xi^2{1}\over{2}}}\;</MATH>|17.1188}}}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|
<MATH>j=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>|17.87}}
|{{IndexWzór|<MATH>j=l-{{1}\over{2}}\;</MATH>|17.88}}
|}
Znajdziemy poprawkę do energii {{LinkWzór|17.86}} uwzględniając istnienie spinu cząstki przy całkowitym momencie pędu "j" sformułowanego według wyrażenia {{LinkWzór|17.87}}:
{{IndexWzór|<MATH>(\Delta E)_{l+{{1}\over{2}}}={{D}\over{2}}\left[\left(l+{{1}\over{2}}\right)\left(l+{{3}\over{2}}\right)-l(l+1)-{{3}\over{4}}\right]=
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/Kwantowy_oscylator_harmoniczny”