Mechanika kwantowa/Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów: Różnice pomiędzy wersjami

== Zespoły czyste i mieszane ==

Rozważmy dwie szczeliny, przez który mogą przechodzić fotony, to takim stanom, należy przyporządkować funkcje:

Gęstość uderzenia cząstki w detektor jest równa kwadratowi modułu, który w tym obiekcie funkcja podmodułowa jest sumą funkcji {{LinkWzór|22.7}} i {{LinkWzór|22.8}} wyrażona przez:

{{IndexWzór|<MATH>|\psi|^2=\left|\left({{n_1}\over{n_1+n_2}}\right)^{1\over 2}\psi_1+\left({{n_2}\over{n_1+n_2}}\right)^{1\over 2}\psi_2\right|^2</MATH>|22.9}}

{{IndexWzór|<MATH>\hat{a}_l^-\hat{a}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^{p_l}(-1)^{p_k}(1-\nu_k)\nu_l|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k-1...\rangle\;</MATH>|22.38}}

Zatem możemy wyrazić operator, który jest antykomutatorem działający na dany stan fermionowy, których składnikami jest operator kreacji i anihilacji, dowód ten przeprowadzamy dla k>l, ale wynik jest słuszny, że względu na wszystkie k i l różne od siebie, bo możemy w antykomutorze zamienić miejscami oba te opisywane w tym komutatorze operatory, w takim razie otrzymujemy postać:

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń {{LinkWzór|22.36}} (dla k równego od l) i {{LinkWzór|22.39}} (dla k nierównego l) możemy napisać właściwość operatora kreeacji i anihilacji, który określamy wzorem:

{{IndexWzór|<MATH>\left\{\hat{a}_k^+,\hat{a}_l^-\right\}=\delta_{kl}\;</MATH>|22.40}}

{{IndexWzór|<MATH>[\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-,\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-]=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^--\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-=

\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-+\hat{a}_l^{+}\hat{a}_k^{+}\hat{a}_l^-\hat{a}_k^-=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^--\hat{a}_k^{+}\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-\hat{a}_k^-=

Wobec obliczonego związku {{LinkWzór|22.58}} i związku na operatorach liczby cząstek na k-tym i l-tym stanie {{LinkWzór|22.27}}, operator{{Formuła| <MATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH>}} ma wartości własne zero i jeden dla fermionów, zatem możemy tożsamościowo zdefiniować równoważność operatora {{Formuła|<mATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH>}} z operatorem liczby fermionów w danym stanie {{Formuła|<MatH>\nu_k\;</MATH>}}, bo w danym stanie najwyżej może się znajdować 0 albo 1 fermion, czyli powinna na pewno zachodzić tożsamość operatorowa:

{{IndexWzór|<MATH>\hat{n}_k=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH>|22.59}}

{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}_k^+]=1\;</MATH>|22.80}}

Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem {{Formuła|<MATH>\hat{b}_k^-\hat{b}_l^+\;</MATH>}} na pewien stan bozonowy, któremu odpowiada działaniu operatora kreacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na k-ty stan kwantowy, gdy k&ne;l, wtedy:

Na podstawie wniosków końcowych przeprowadzonych w punkcie {{linkWzór|22.80}} i {{LinkWzór|22.81}} dla dowolności "k" i "l" można zapisać właściwość:

{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}_l^+]=\delta_{kl}\;</MATH>|22.82}}

{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^+,\hat{b}_l^+]=0\;</MATH>|22.84a}}

Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem {{Formuła|<MATH>\hat{b}_l^+\hat{b}_k^+\;</MATH>}} na pewien stan bozonowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem anihilacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na l-ty stan kwantowy, gdy l&ne;k, zatem na podstawie tego:

Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem {{Formuła|<MATH>\hat{b}_k^+\hat{b}_k^+\;</MATH>}} na pewien stan bozonowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem anihilacji na k-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na k-ty stan kwantowy, zatem na podstawie tego:

{{IndexWzór|<MATH>\hat{b}^-_k\hat{b}^-_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k}\sqrt{\nu_k}|\nu_1\nu_2...\nu_k-2...\rangle=\hat{b}_k^-\hat{b}_k^-|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\Rightarrow [\hat{b}^-_k, \hat{b}^-_k]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow[\hat{b}^-_k, \hat{b}^-_k] =0</MATH>|22.85a}}

===Wyrażenie operatora hamiltonianu poprzez operatory kreacji i anihilacji===

Często operator energii całkowitej jest wyrażony poprzez operatory kreacji i anihilacji, np. kolejno nieoddziaływających fermionów, czy to bozonów, w takim przypadku możemy powiedzieć, że hamiltonian:

<noinclude>{{kreska nawigacja|Mechanika kwantowa|Symetrie, a prawa zachowania wartości średniej|Kwantowa teoria całkowitego momentu pędu}}

</noinclude><noinclude>{{BottomColumnPage}}</noinclude>