Mechanika kwantowa/Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 34:
<MATH>=-{{1}\over{2}}k{{\partial}\over{\partial \phi_i}}(\phi_{i}^2+\phi^2_{i-1}-2\phi_{i-1}\phi_{i}
+\phi_{i+1}^2+\phi_{i}^2-2\phi_{i+1}\phi_{i}]=-{{1}\over{2}}k\left(2\phi_i-2\phi_{i-1}+2\phi_i-2\phi_{i+1}\right)=
k(\phi_{i+1}+\phi_{i-1}-2\phi_i)=\;</MATH><BR><MATH>=ka^2{{{{\phi_{i+1}-\phi_i}\over{a}}-{{\phi_i-\phi_{i-1}}\over{a}}}\over{a}}\;</MATH>|26.11}}
Co kończy powyższy dowód {{LinkWzór|26.10}}.
Łącząc niezrównoważoną siły działającą na daną kulkę według {{LinkWzór|26.11}} z drugą zasadą dynamiki Newtona opisującą ten obiekt, zapisujemy:
Linia 56:
==Sprzężenie hermitowskie pochodnej tensorowej==
Prowadźmy oznaczenia jako konwencja Eulera-Lagrange dla operatorów różniczkowania w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni) kowariantnych i kontrkowariantnych przedstawiając ich pełne znaczenie rozpisując je w sposób pełny, co oznaczając przy czym je literami greckimi numerowanych od zero do trzech, a numerowanie literami łacińskimi jest to numerowanie od jeden do trzech, czyli bez współrzędnej czasowej (zerowej), w postaci:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\partial_{\mu}={{\partial}\over{\partial x^{\mu}}}=\left(\partial_0,\partial_k\right)=\left({{\partial}\over{\partial ct}},{{\partial}\over{\partial x_k}}\right)\;</MATH>|26.19}}|2={{IndexWzór|<MATH>\partial^{\mu}=\eta^{\mu\nu}\partial_{\nu}={{\partial}\over{\partial x_{\mu}}}=\left(\partial_0,-\partial_k\right)=\left({{\partial}\over{\partial ct}},-{{\partial}\over{\partial x_k}}\right)\;</MATH>|26.20}}}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>\partial_{\mu}={{\partial}\over{\partial x^{\mu}}}=\left(\partial_0,\partial_k\right)=\left({{\partial}\over{\partial ct}},{{\partial}\over{\partial x_k}}\right)\;</MATH>|26.19}}
|{{IndexWzór|<MATH>\partial^{\mu}=\eta^{\mu\nu}\partial_{\nu}={{\partial}\over{\partial x_{\mu}}}=\left(\partial_0,-\partial_k\right)=\left({{\partial}\over{\partial ct}},-{{\partial}\over{\partial x_k}}\right)\;</MATH>|26.20}}
|}
Udowodnijmy, że na podstawie definicji operatora sprzężonego po hermitowsku, dla operatorów zdefiniowanych według {{LinkWzór|26.19}} lub {{LinkWzór|26.20}}, tylko że kierunek różniczkowania określa strzałka u góry tychże operatorów, zachodzi tożsamość:
{{IndexWzór|<MATH>\overset{\rightarrow}{{\partial}}^+=-\overset{\leftarrow}{{\partial}}\;</MATH>|26.21}}
Linia 82 ⟶ 79:
 
Można udowodnić na podstawie definicji Lagrangianu {{LinkWzór|26.25}}, że zachodzi dla pierwszego wyrazu we wzorze Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|26.23}}, pisząc pochodną gęstości lagrangianu względem czasu, a później względem współrzędnych przestrzennych:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial(\partial_0\psi)}}={{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial\left({{\partial\psi}\over{\partial ct}}\right)}}={{\hbar^2}\over{m_0}}\partial_0\psi\;</MATH>|26.26}}|2={{IndexWzór|<MATH>{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial(\partial_k\psi)}}={{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial\left({{\partial\psi}\over{\partial x_k}}\right)}}=-{{\hbar^2}\over{m_0}}\partial_k\psi\;</MATH>|26.27}}}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial(\partial_0\psi)}}={{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial\left({{\partial\psi}\over{\partial ct}}\right)}}={{\hbar^2}\over{m_0}}\partial_0\psi\;</MATH>|26.26}}
|{{IndexWzór|<MATH>{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial(\partial_k\psi)}}={{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial\left({{\partial\psi}\over{\partial x_k}}\right)}}=-{{\hbar^2}\over{m_0}}\partial_k\psi\;</MATH>|26.27}}
|}
Obliczamy ostatni wyraz występujący w równaniu Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|26.23}}, który jest pochodną gęstości Lagrangianu względem funkcji falowej.
{{IndexWzór|<MATH>{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial\psi}}=-m_0c^2\psi\;</MATH>|26.28}}
Linia 93 ⟶ 87:
W sposób ostateczny podstawiając {{LinkWzór|26.28}} (pochodna względem funkcji falowej gęstości Lagrangianu) i {{LinkWzór|26.29}} (drugich pochodnych względem współrzędnej czasowej i współrzędnych przestrzennych) do wzoru wariacyjnego {{LinkWzór|26.21}}, otrzymujemy:
{{IndexWzór|<MATH>{{\hbar^2}\over{2m_0}}\left({{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}-\nabla^2\psi\right)+{{1}\over{2}}m_0c^2\psi=0\Rightarrow {{\hbar^2}\over{2m_0}}\left[{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}-\nabla^2\psi\right]=-{{1}\over{2}}m_0c^2\psi\Rightarrow
{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}-\nabla^2\psi=-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi\Rightarrow \;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow\left(\nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}\right)\psi={{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi</MATH>|26.30}}
lub łatwiej korzystając z definicji operatora d'Alemberta {{LinkWzór|24.7|Mechanika kwantowa/Relatywistyczna_teoria_kwantów_Kleina-Gordona}}:
{{IndexWzór|<MATH>\square\psi={{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi\;</MATH>|26.31|Obramuj}}
Linia 114 ⟶ 108:
{{IndexWzór|<Math>\left(i\hbar c\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m_0c^2\right)\psi=0\;</MATH>|26.37}}
W kwantowej mechanice relatywistycznej Diraca przyjmujemy definicje oparte na tensorach czterowektorów pochodnych kowariantnych {{LinkWzór|26.19}} i kontrkowariantnych {{LinkWzór|26.20}} oraz zdefiniujemy nową funkcję {{Formuła|<MATH>\overline{\psi}\;</math>}}, których definicję poznamy poniżej:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>{\overset{\rightarrow}{{\not{\partial}}}}=\gamma^{\mu}\overset{\rightarrow}{\partial}_{\mu}\;</MATH>|26.38}}|2={{IndexWzór|<MATH>{\overset{\leftarrow}{{\not{\partial}}}}=\gamma^{\mu}\overset{\leftarrow}{\partial}_{\mu}\;</MATH>|26.39}}|3={{IndexWzór|<MATH>\overset{\leftrightarrow}{\not{\partial}}=\gamma^{\mu}\overset{\leftrightarrow}{\partial}_{\mu}\;</MATH>|26.40}}|4={{IndexWzór|<MATH>\overline{\psi}=\psi^{+}\gamma^0=\psi^{+}\hat{\beta}\;</MATH>|26.41}}}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>{\overset{\rightarrow}{{\not{\partial}}}}=\gamma^{\mu}\overset{\rightarrow}{\partial}_{\mu}\;</MATH>|26.38}}
|{{IndexWzór|<MATH>{\overset{\leftarrow}{{\not{\partial}}}}=\gamma^{\mu}\overset{\leftarrow}{\partial}_{\mu}\;</MATH>|26.39}}
|{{IndexWzór|<MATH>\overset{\leftrightarrow}{\not{\partial}}=\gamma^{\mu}\overset{\leftrightarrow}{\partial}_{\mu}\;</MATH>|26.40}}
|{{IndexWzór|<MATH>\overline{\psi}=\psi^{+}\gamma^0=\psi^{+}\hat{\beta}\;</MATH>|26.41}}
|}
Równanie {{LinkWzór|26.37}} dzielimy obustronnie przez wyrażenie urojone {{Formuła|<maTh>i\hbar\;</MATH>}}, dostajemy tożsamość:
{{IndexWzór|<MATH>\left(\gamma^{\mu}\partial_{\mu}+i{{m_0c}\over{\hbar}}\right)\psi=0\Rightarrow\left(\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}+i{{m_0c}\over{\hbar}}\right)\psi=0\;</MATH>|26.42|Obramuj}}
Linia 130 ⟶ 119:
{{IndexWzór|<MATH>\mathfrak{L}={{i\hbar c}\over{2}}\overline{\psi}\gamma^{\mu}(\overset{\rightarrow}{\partial_{\mu}}\psi)-{{i\hbar c}\over{2}}(\overline{\psi}\overset{\leftarrow}{\partial_{\mu}})\gamma^{\mu}\psi-m_0c^2\overline{\psi}\psi\;</MATH>|26.45}}
Można policzyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem współrzędnych czasoprzestrzeni czterowymiarowej dla gęstości Lagrangianu napisanego wedle {{LinkWzór|26.45}}, zatem mamy:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial(\partial_kpartial_{\mu}\overline{\psi})}}=-{{i\partialhbar c}\mathfrakover{L2}}\overgamma^{\partialmu}\left(psi\;</MATH>|26.46}}|2={{IndexWzór|<MATH>{{\partial\psimathfrak{L}}\over{\partial x_k\overline{\psi}}\right)}}=-{{i\hbar^2 c}\over{m_02}}\partial_kgamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi-m_0c^2\psi\;</MATH>|26.2747}}}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial(\partial_{\mu}\overline{\psi})}}=-{{i\hbar c}\over{2}}\gamma^{\mu}\psi\;</MATH>|26.46}}
|{{IndexWzór|<MATH>{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial\overline{\psi}}}={{i\hbar c}\over{2}}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi-m_0c^2\psi\;</MATH>|26.47}}
|}
Co ostatecznie z równania {{LinkWzór|26.21}} (równanie Eulera-Lagrange) przy pomocy obliczonych już wyrażeń {{LinkWzór|26.46}} i {{LinkWzór|26.47}}, oraz łącząc te dwie pochodne w wspomniane powyżej równania wariacyjnego, dostajemy:
{{IndexWzór|<MATH>\partial_{\mu}\left(-{{i\hbar c}\over{2}}\gamma^{\mu}\psi\right)-{{i\hbar c}\over{2}}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi+m_0c^2\psi=0\;</MATH>|26.48}}
Linia 164 ⟶ 150:
Ale jeśli na równość różniczkową {{LinkWzór|26.54a}} podziałamy operatorem odwrotnym do {{Formuła|<MATH>\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}-i{{m_0c}\over{\hbar}}\;</MATH>}} to otrzymamy równanie Diraca {{LinkWzór|26.42}}, wtedy równania Diraca zawierają sobie zbiór rozwiązań równania Klieina-Gordona. Zatem na podstawie poprzednich rozważań dostajemy, że rozwiązania w obu teoriach są takie same.
Wyznaczmy kwadrat operatora {{LinkWzór|26.38}} występujących w równaniu {{LinkWzór|26.54}}, korzystając przy tym z definicji operatora {{LinkWzór|26.38}} poprzez {{LinkWzór|26.19}}, zatem:
{{IndexWzór|<MATH>\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}^2=\left(\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\right)^2=\left(\hat\beta {{\partial }\over{c\partial t}}+\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k\right)^2=\left(\hat\beta {{\partial }\over{c\partial t}}+\hat\beta\hat\alpha_l\nabla_l\right)\left(\hat\beta {{\partial }\over{c\partial t}}+\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k\right)=\;</MATH><BR><MATH>=\hat \beta^2\left({{\partial}\over{\partial ct}}\right)^2+\hat \beta{{\partial }\over{c\partial t}}\hat \beta\hat\alpha_k\nabla_k+\hat\beta\hat\alpha_l\nabla_l\hat \beta{{\partial }\over{c\partial t}}+\hat\beta\hat\alpha_l\nabla_l\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-{{1}\over{2}}\{\hat\alpha_k,\hat\alpha_l\}\nabla_k\nabla_l={{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-\nabla_l\nabla_l=
{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-\nabla^2=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-\nabla^2=\overset{\rightarrow}{\partial}^2=-\square\;</MAth>|26.55}}
Równanie {{LinkWzór|26.54}}, na podstawie {{LinkWzór|26.55}} otrzymanej tożsamości na operatorach różniczkowania według konwencji Eulera-Lagrange, przyjmuje postać:
{{IndexWzór|<MATH>\left(\overset{\rightarrow}{\partial}^2+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)\psi=0\Rightarrow \square\psi={{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi\;</MATH>}}