Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 44:
{{IndexWzór|<maTh>\int_0^{\pi}e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}d\theta\leq
2\int_0^{{{\pi}\over{2}}}e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}\theta}d\theta=
{{2}\over{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}}}\left[e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}\theta}\right]_0^{{{\pi}\over{2}}}={{2}\over{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}}}\left(e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|}-1\right)=\;</MATH><BR><MATH>={{\pi}\over{R|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left(1-e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right)\;</MATH>|28.15}}
Całka {{LinkWzór|28.14}}, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|28.15}}, jest równa:
{{IndexWzór|<MATH>\left|\int_{O}{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right|\leq
Linia 83:
Aby policzyć bezpośrednio funkcję Greena należy wykorzystać równanie {{LinkWzór|20.4|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}} oraz całkę na funkcję Diraca dla przestrzeni czerowymiarowej:
{{IndexWzór|<MATh>G(\underline{x},\underline{x}^')={{1}\over{(2\pi)^4}}\int \hat{O}^{-1}e^{ik(\underline{x}-\underline{x}^')}=
{{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{1}\over{\hat{O}e^{-i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}}={{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{1}\over{\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)e^{-i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}}=\;</MATH><BR><MATH>=
{{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{e^{i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}\over{-(k_ik_i-k_0^2)-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}}}=\;</MATH><BR><MATH>=
{{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{e^{i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}\over{k^2-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}}}\;</MATH>|28.27}}
W powyższym oznaczeniu funkcji Greena przyjęto:{{Formuła|<MATH>\underline{k}\underline{x}=k_{\mu}x^{\mu}\;</MATH>}}.