Mechanika kwantowa/Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego: Różnice pomiędzy wersjami

[[Grafika:Zmiana pola wektorowego w zależności od infitezymalnego kąta.JPG|thumb|170px|Zmiana δ stałego pola pola przy obrocie układu o kąt δθ]]

W macierzy transformacji operatora całkowitego momentu pędu kwantu promieniowania napisaną według {{LinkWzór|30.7}}, jeśli w nim dokonamy operacji {{Formuła|<math>\theta\rightarrow \delta\theta</MATH>}}, i rozpatrując przy stałym polu wektorowym {{Formuła|<MATH>\psi(\vec{r})=\operatorname{const}\;</MATH>}}, wtedy wynik działania operatora momentu pędu na tą funkcję jest równa zero (ten operator jest w coś rodzaju liczenia pochodnej względem pewnych zmiennych przestrzennych według definicji operatora momentu pędu) i pozostaje nam tylko operator zależny od operatora spinu {{linkWzór|30.5}}, a więc funkcję &psi; możemy rozłożyć w szereg Taylora jednej zmiennej pomijając wyższe wyrazy inne niż liniowe:

\psi^{'}_{k^'}(\vec{r})=\psi_{k^'}(\vec{r})-\sum_k i\delta\theta{{1}\over{\hbar}}\underbrace{\vec n\hat{l}\psi_k(\vec{r})}_{0}-\sum_k i\delta\theta{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})

</MATH>|30.11}}

{{IndexWzór|<MATH>i\sum_k{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_{k}=\left(\psi\times\vec{n}\right)_{k^'}\Rightarrow i\sum_k(\vec{n}\hat{S}_{k^'k})\psi_{k}=\hbar\left(\psi\times\vec{n}\right)_{k^'}</MATH>|30.15}}

Rozpatrujemy równanie {{LinkWzór|30.15}} dla parametru k' równej jeden k'=1:

Porównując obie strony tożsamości {{LinkWzór|30.16}} dochodzimy do wniosku, że odpowiednie współrzędne operatora spinu kwantu promieniowania, a właściwie jej niektóre elementy można policzyć z pierwszego z trzech równań, które będziemy rozważać:

{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}(S_x)_{11}=(S_y)_{11}=(S_z)_{11}=0\\

(S_y)_{13}=i\hbar\end{cases}\;</MATH>|30.17}}

Gdy rozpatrzymy równanie {{LinkWzór|30.15}} dla parametru k'=2, wtedy niektóre elementy macierzy współrzędnych operatora spinu można policzyć z drugiego z trzech równań, wtedy:

Porównując obie strony tożsamości {{LinkWzór|30.18}}, to dochodzimy do wniosku:

{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}i\left[n_x (S_x)_{21}+n_y(S_y)_{21}+n_z(S_z)_{21}\right]=-n_z\\

 

Gdy rozpatrzymy równanie {{LinkWzór|30.15}} dla parametru k'=3, wtedy niektóre elementy macierzy współrzędnych operatora spinu można policzyć z trzeciego z trzech równań, które będziemy rozważać:

Porównując obie strony tożsamości {{LinkWzór|30.20}}, dochodzimy więc do wniosku:

{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}i\left[n_x (S_x)_{31}+n_y(S_y)_{31}+n_z(S_z)_{31}\right]=\hbar n_y\\

(S_x)_{32}=i\hbar\end{cases}\;</Math>|30.21}}

Następnie wyznaczmy współrzędne operatora spinowe {{Formuła|<MATH>\hat{S}</MATH>}} na podstawie obliczeń dokonanych w punktach {{LinkWzór|30.17}}, {{LinkWzór|30.19}} i {{LinkWzór|30.21}}:

\begin{pmatrix}

0&0&0\\

0&0&-i\\

0&i&0

0&0&i\\

0&0&0\\

-i&0&0

\end{pmatrix}\;</MATH>|30.23}}

0&-i&0\\

i&0&0\\

0&0&0

Związki między współrzędnymi macierzy spinowych, które później udowodnimy, przedstawiamy podobnie jak dla zwykłych orbitalnych operatorów momentu pędu:

Udowodnijmy komutator {{LinkWzór|30.25}} na współrzędnych operatora momentu pędu spinowego:

{{IndexWzór|<MATH>[\hat{S}_x,\hat{S}_y]=\hat{S}_x\hat{S}_y-\hat{S}_y\hat{S}_x=

0&0&-i\\

0&i&0

0&0&0&\\

-1&0&0\\

0&0&0\\

0&0&0

0&1&0\\

-1&0&0\\

0&0&0\\

-i&0&0

0&0&0\\

0&0&0\\

0&0&-1\\

0&0&0

0&0&0\\

0&0&1\\

i&0&0\\

0&0&0

0&0&-1\\

0&0&0\\

0&0&0\\

0&-1&0

0&0&-1\\

0&0&0\\

==Wektory spinowe, równania własne dla całkowitego momentu pędu kwantu==

Prowadźmy trójwymiarową przestrzeń spinową, którymi wektorami bazy w układzie kartezjańskim będą formalnie zapisane wektory spinowe &chi;, które jak można udowodnić są do siebie ortonormalne i są to kanoniczne wersory w rozważanej bazie:

Wprowadźmy nowe wektory spinowe tensora rangi drugiej zdefiniowane przy pomocy {{LinkWzór|30.35}}, {{LinkWzór|30.36}}, a ich definicje są takie by ich norma była równa jeden, należy przy tym pamiętać, że te wektory spinowe rangi drugiej nie muszą być wcale do siebie prostopadłe, w przypadku pierwszym spinor o numerze jeden:

{{IndexWzór|<MATH>\vec{\chi}_1=-\sqrt{{{1}\over{2}}}\left(\vec{\chi}_x+i\vec{\chi}_y\right)=

\end{pmatrix}</MATH>|30.43}}

Również można udowodnić, że zachodzą związki na wektorach spinowych drugiego rzędu na macierzach spinowych {{LinkWzór|30.41}}, {{LinkWzór|30.42}} i {{LinkWzór|30.43}}

*gdzie {{Formuła|<MATH>S=1\;</MATH>}}, zaś {{Formuła|<MATH>k=+1,0,-1\;</MATH>}}

Udowodnijmy zależności {{LinkWzór|30.44}}, {{LinkWzór|30.45}} i {{LinkWzór|30.46}} dla trzech możliwych k i jednego S:

i\hat{l}_y\\

i\hat{l}_z

Teraz powróćmy do dowodu {{LinkWzór|30.50}} na wartość własną całkowitego momentu pędu promieniowania elektromagnetycznego, korzystając przy tym z obliczeń pomocniczych {{LinkWzór|30.51}}:

{{IndexWzór|<MATH>\hat{j}^2(\hat{l}Y_{lm})=(l(l+1)+S(S+1)-2)\hbar^2(\hat{l}Y_{lm})=

(l(l+1)+2-2)\hbar^2(\hat{l}Y_{lm})=l(l+1)\hbar^2(\hat{l}Y_{lm})</MATH>|30.52}}

Z definicji wartość własna kwadratu momentu pędu całkowitego przyjmuje się jako {{Formuła|<MATH>j(j+1)\hbar^2\;</mATH>}}, a momentu pędu orbitalnego {{Formuła|<MaTH>l(l+1)\hbar^2\;</MATH>}}. Dochodzimy do wniosku, że w obliczeniach {{LinkWzór|30.52}} musimy przyjąć j=l, ponieważ przy składaniu orbitalnego momentu pędu ze spinem, którego liczba kwantowa jest w trzech postaciach, że j=l-1,l,l+1, ale pole elektromagnetyczne wybiera jedną z nich, tzn. j=l i dlatego musimy napisać dla {{LinkWzór|30.47}} i {{LinkWzór|30.52}} w postaci równań własnych:

<noinclude>{{kreska nawigacja|Mechanika kwantowa|Zasada wariacyjna Schwingera|Asymptotyczne właściwości wektora własnego Hamiltonianu, a jego przekroje}}</noinclude><noinclude>{{BottomColumnPage}}</noinclude>