Wikibooks

Metody matematyczne fizyki/Równania różnicowe liniowe: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017
Nie podano opisu zmian
Linia 11:
 
Wzór na zmienną y<sub>m</sub> wyznaczoną ze wzoru {{linkWzór|19.2}} podstawiamy do równania różnicowego {{linkWzór|19.1}} i, dzieląc obustronnie tak otrzymane równanie przez a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub>, dostajemy schemat:
{{IndexWzór|<MATH>z_{n+1}a_1a_2..a_{n}-z_na_na_1a_2...a_{n-1}=b_n \quad \Rightarrow \quad z_{n+1}-z_n={{b_n}\over{a_1}a_2...a_n}\Rightarrow \;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow z_{n+1}-z_n=c_n\mbox{,}\quad c_n={{b_n}\over{a_1a_2...a_n}}\;</MATH>|19.3}}
 
Ogólnym rozwiązaniem z<sub>n</sub> równania różnicowego wynikającym z końcowego związku {{LinkWzór|19.3}} jest równanie:
Linia 40:
 
Aby sprawdzić, czy rzeczywiście {{LinkWzór|19.10}} jest rozwiązaniem równania {{LinkWzór|19.5}}, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego {{linkWzór|19.7}} jest równy zero, podstawiamy nasze rozwiązanie do równania różnicowego i po podzieleniu przez &lambda;<sup>n</sup> otrzymujemy:
{{IndexWzór|<MATH>(C_1+(n+2)C_2)\lambda^2-a(C_1+(n+1) C_2)\lambda+b(C_1+n C_2)=0\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow C_1(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2[(n+2)\lambda^2-a(n+1)\lambda+bn]=0\Rightarrow\;</MATH><BR>
<MATH>\Rightarrow C_1(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2n(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2\lambda(2\lambda-a)=0\;</MATH>|19.11}}
 
Równanie {{LinkWzór|19.11}} jest rozwiązaniem prawdziwym na mocy równania kwadratowego {{LinkWzór|19.7}} i wartości parametru {{Formuła|<MATH>_{\lambda={{1}\over{2}}a}\;</MATH>}}, gdy rozwiązaniem tego równania {{LinkWzór|19.7}} są dwa jednakowe pierwiastki.
 
<noinclude>{{kreska nawigacja|Metody matematyczne fizyki|Funkcje Greena|Transformacja Laplace'a}}</noinclude>
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Równania_różnicowe_liniowe”