Wstęp do fizyki jądra atomowego/Najważniejsze parametry jądra atomowego: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
|||
Linia 24:
{{IndexWzór|<MATH>Q_{20}=2(Q_{zz}-Q_{xx})=\sum_{i=1}^Ze_i(2z_i^2-2x_i^2)=\sum_{i=1}^Ze_i(3z_i^2-(x_i^2+y_i^2+z_i^2))=\sum_{i=1}^Ze_i(3z_i^2-r_i^2)\;</MATH>|2.4}}
Dla ciągłych rozkładów ładunków dla przypadków osiowosymetrycznych człon monopolowy i dipolowy (który jest zawsze równy zero dla naszego przypadku) przestawiamy:
{{FlexRow|1=|1={{IndexWzór|<MATH>Q_0=\int_V\rho_e(\vec{r})dV=Ze\;</MATH>|2.4a}}|2={{IndexWzór|<MATH>Q_{10}=\int_Vx\rho_e(\vec{r})dV=0\;</MATH>|2.5}}}}▼
▲|{{IndexWzór|<MATH>Q_{10}=\int_Vx\rho_e(\vec{r})dV=0\;</MATH>|2.5}}
Człon kwadrupolowy przestawiamy jako odpowiednik dla przypadku dyskretnego {{LinkWzór|2.4}}, czyli jej postać ciągła powstaje po zastąpieniu ładunku e<Sub>i</SUB> przez iloczyn gęstości ładunku w danym punkcie i nieskończenie małej objętości, a sumowanie całką po całej objętości jądra, w której zawarty jest ten ładunek, przedstawiamy:
{{IndexWzór|<MATH>Q_{20}=\int_V\rho_e(\vec{r})(3z^2-r^2)dV=\int_V\rho_e(r) r^2(3\cos^2\phi-1)dV=\sqrt{{16\pi}\over{5}}\int_V\rho_e(r)r^2\sqrt{{{5}\over{16\pi}}}(3\cos^2\phi-1)dV=\sqrt{{16\pi}\over{2\cdot 2+1}}\int_V\rho(r)r^2Y_{20}dV\;</MATH>|2.6}}
Linia 47 ⟶ 44:
{{IndexGrafika|Elipsoida obrotowa.png|eo|Elipsoida obrotowa}}
Mając parametr deformacji β<sub>2</sub> oraz R<sub>0</sub> obliczmy moment kwadrupolowy Q<sub>20</sub> jądra o kształcie elipsoidy obrotowej o ładunku Ze, mając na uwadze jądro o jednorodnym rozkładzie ładunku elektrycznego ρ(r)=ρ<sub>0</sub>:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\beta_2=4\sqrt{{{\pi}\over{5}}}{{a-b}\over{a+2b}}={{4}\over{3}}\sqrt{{{\pi}\over{5}}}{{a-b}\over{R_0}}\;</MATH>|2.13}}|2={{IndexWzór|<MATH>R_0={{a+2b}\over{3}}\;</MATH>|2.14}}}}▼
▲|{{IndexWzór|<MATH>\beta_2=4\sqrt{{{\pi}\over{5}}}{{a-b}\over{a+2b}}={{4}\over{3}}\sqrt{{{\pi}\over{5}}}{{a-b}\over{R_0}}\;</MATH>|2.13}}
Moment elektryczny kwadrupolowy przedstawiamy w zależności od β<SUB>2</sub>, a na samym końcu od półosi "a" i "b" elipsoidy obrotowej:
{{IndexWzór|<MATH>Q_{20}={{3}\over{\sqrt{5\pi}}}R_0^2Ze\beta_2\left(1+{{1}\over{8}}\sqrt{{{5}\over{\pi}}}\beta_2\right)=
Linia 109 ⟶ 103:
:{{Formuła|<MATH>\vec \mu_l\;</MATH>}} to moment magnetyczny orbitalny.
:{{formuła|<MATH>\vec\mu_s\;</MATH>}} jest momentem magnetycznym spinowym.
Zauważmy, że
Podamy w tabelce wartości współczynników giromagnetycznych dla ruchu orbitalnego i spinowego:
Linia 143 ⟶ 137:
===Model jednocząstkowy sferyczny===
{{IndexGrafika|The total angular momentum and magnetic moment as the sum of the moment the spin and orbital.png|cmpimm|Całkowity moment pędu i moment magnetyczny}}
Stan nieparzystego jądra w tym modelu określa stan nukleonu walencyjnego, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{I}_{sp}=\vec{j}\;</MATH>}}, co i także zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{\mu}_{sp}=\vec{\mu}_j\;</MATH>}}. Wyliczmy teraz moment magnetyczny dla całego jądra nieparzystego, który jest momentem magnetyczny tylko jednego nukleonu walencyjnego. Patrząc na wzór {{linkWzór|2.33}} można powiedzieć, że kierunki {{Formuła|<MATH>\vec{j}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{\mu}_j\;</MATH>}} nie pokrywają się ze sobą. Wartość średnią operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\vec{A}}\;</MATH>}} w układzie zamkniętym, w którym obowiązuje funkcja falowa {{Formuła|<MATH>|j,m\rangle\;</MATH>}}, którego rzut wektora momentu pędu na oś zetową, czyli jest {{Formuła|<MATH>\hat{j}_z\;</MATH>}} określana przez {{Formuła|<MATH>j_z=m\hbar\;</MATH>}}, określamy przez:
{{IndexWzór|<MATH>\langle j,m|\hat{\vec{A}}|j,m\rangle=\langle j,m|\hat{j}_z|j,m\rangle{{\langle j,m|\hat{\vec{A}}\hat{\vec{j}}|j,m\rangle }\over{\langle j,m|\hat{j}^2|j,m\rangle}}\;</MATH>|2.36}}
Będziemy korzystać ze wzorów określonych na operatorach momentu spinowego, orbitalnego i całkowitego momentu pędu:
Linia 163 ⟶ 157:
{{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left[g_l\left(2j^2+3j\right)-jg_s\right]={{j}\over{j+1}}\mu_N\left[\left(j+{{3}\over{2}}\right)g_l-{{1}\over{2}}g_s\right]</MATH>|2.41}}
Biorąc kolejno współczynniki współczynniki giromagnetyczne podane powyżej w tabelce, to momenty magnetyczne możemy je policzyć dla protonu kolejno dla {{Formuła|<MATH>I=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>I=l-{{1}\over{2}}\;</MATH>}}, ale w jednostkach μ<sub>N</sub>:
{{FlexRow{1={IndexWzór|<MATH>\mu_{sp}=I+2,293\;</MATH>{{Tekst| dla }}<MATH>I=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>|2.42}}|2={{IndexWzór|<MATH>\mu_{sp}=I-1,293{{I}\over{I+1}}\;,</MATH>{{Tekst| dla }}<MATH>I=l-{{1}\over{2}}\;</MATH>|2.43}}}}▼
▲|{{IndexWzór|<MATH>\mu_{sp}=I-1,293{{I}\over{I+1}}\;,</MATH>{{Tekst| dla }}<MATH>I=l-{{1}\over{2}}\;</MATH>|2.43}}
A także policzmy momenty magnetyczne dla neutronów dla przypadków I=l+1/2 i I=l-/12 kolejno, ale w tych samych jednostkach co poprzednio:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<math>\mu_{sp}=-1,913\;</MATH>{{Tekst| dla }}<MATH>I=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>|2.44}}|2={{IndexWzór|<math>\mu_{sp}={{I}\over{I+1}}1,913\;</MATH>{{Tekst| dla }}<MATH>I=l-{{1}\over{2}}\;</MATH>|2.45}}}}▼
▲|{{IndexWzór|<math>\mu_{sp}={{I}\over{I+1}}1,913\;</MATH>{{Tekst| dla }}<MATH>I=l-{{1}\over{2}}\;</MATH>|2.45}}
==Funkcja gęstości materii jądrowej==
{{IndexGrafika|Gęstość jąder w zależności od promienia.png|gjwzop|Gęstość jąder w zależności od promienia}}
Linia 186 ⟶ 173:
W niektórych jądrach silnie neutrononadmiarowych występuje tzw. aureola (hallo), którą jest grupą słabo związanych neutronów oddalonych od innych.
*Rozpatrzmy jądro litu {{Formuła|<MATH>{}^{11}_3Li_8\;</MATH>}}, który ma promień {{Formuła|<MATH>R({}^{11}Li)=5fm\;</MATH>}}, a sam jego rdzeń bez neutronów aureoli ma promień {{Formuła|<MATH>R({}^9Li)=3fm</MATH>}}, czyli na aureole składają się na dwa neutrony. To jądro wraz neutronami aureoli rozpada się samorzutnie na jądro Be w czasie połowicznego rozpadu 9 ms. {{Formuła|<math>{}^{11}_{3}Li_8\xrightarrow{9ms}{}^{11}_4 Be_7\;</MATH>}}. Energia wiązania dwóch neutronów jest S<sub>2n</sub>=250 keV.
*Samo jądro {{Formuła|<MATH>{}^{11}Be\;</MATH>}} z jednym neutronem aureoli ma promień {{Formuła|<MATH>R({}^{11}Be)=7fm\;</MATH>}}, energia wiązania tego neutronu jest S<sub>n</sub>=500 keV.
==Poziomy energetyczne jąder atomowych==
Linia 218 ⟶ 205:
{{IndexWzór|<MATH>\vec{I}=\sum_{i=1}^A\vec{j}_i\;</MATH>|2.56}}
W mechanice kwantowej operator momentu pędu: {{Formuła|<MATH>\hat{\vec{I}}=(\hat{I}_x,\hat{I}_y,\hat{I}_z)\;</MATH>}} definiujemy przy pomocy współrzędnych kartezjańskiego układu współrzędnych:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\hat{I}_x=-i\hbar\left(y{{\partial }\over{\partial z}}-z{{\partial }\over{\partial y}}\right)\;</MATH>|2.57}}|2={{IndexWzór|<MATH>\hat{I}_y=-i\hbar\left(z{{\partial }\over{\partial x}}-x{{\partial }\over{\partial z}}\right)\;</MATH>|2.58}}|3={{IndexWzór|<MATH>\hat{I}_x=-i\hbar\left(x{{\partial }\over{\partial y}}-y{{\partial }\over{\partial z}}\right)\;</MATH>|2.59}}}}
Funkcje {{Formuła|<MATH>\hat{I}^2\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\hat{I}_z\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} mają takie same funkcje własne. Wartościami własnymi kwadratu operatora momentu pędu, operatora zetowego momentu pędu są funkcje własne:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>|\hat{\vec{I}}|^2=I(I+1)\hbar^2\;</MATH>|2.60}}|2={{IndexWzór|<MATH>I_z=M\hbar;\;</MATH>|2.61}}}}▼
▲|{{IndexWzór|<MATH>|\hat{\vec{I}}|^2=I(I+1)\hbar^2\;</MATH>|2.60}}
*Dla jądra atomowego liczbę kwantową I=M<sup>max</sup> nazywamy spinem jądra.
Operatory hamiltonianu {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{I}_z\;</MATH>}} zawsze spełniają warunki komutacji, tzn. jest możliwy jednoczesny pomiar energii układu i wartości własnej całkowitego momentu pędu.
Linia 235 ⟶ 215:
==Określenie spinów stanów podstawowych jąder atomowych==
===Jądra parzyste===
Dla jąder parzysto-parzystych całkowity moment pędu i o parzystości (definicja w {{LinkWzór|2.67}}) określamy przez {{Formuła|<MATH>I^{\pi}_{gs}=0^+\;</MATH>}}, co oznacza, że całkowity momentu pędu układów nukleonów sparowanych jest {{Formuła|<MATH>|\vec{I}_{pary}|=0\;</MATH>}}. W stanie kolektywnym najczęściej występuje pierwszy poziom wzbudzony o wartości całkowitego momentu pędu i parzystości jądra I<sup>π</sup>=2<sup>+</sup>.
===Jądra nieparzyste===
Dla jąder nieparzystych całkowity moment pędu jądra jest sumą całkowitego momentu pędu dla ściśle określonego nukleonu, która z kolei jest sumą orbitalnego i spinowego momentu pędu:
| |||