Wstęp do fizyki jądra atomowego/Rozpraszanie cząstek na jądrze atomowym: Różnice pomiędzy wersjami

==Nierelatywistyczne rozpraszanie elastyczne==

{{IndexGrafika|Rozproszenie_cząstki_dodatniej_na_jądrze_atomu.svg|5.4|Rozproszenie cząstki dodatniej na jądrze|Rozmiar=450px}}

Rozpraszaniem Rutheforda nazywamy rozpraszanie elastyczne cząstki "a" w polu kulomboskim jądra atomowego X(a,a)X na potencjale elektrycznym (dla κ>0), wtedy potencjał odpychający wyrażamy:

{{IndexWzór|<MATH>V(r)={{Z_aZ_Xe^2}\over{r^2}}={{\kappa}\over{r}}\;</MATH>|5.19}}

Wzór na kwadrat wielkości mimośrodu elipsy {{linkWzór|5.22}} możemy przyrównać z kwadratem wielkości {{linkWzór|5.23}}, z tak otrzymanej równości możemy wyznaczyć parametr "b" jako funkcję kąta rozproszenia &phi;, energii cząstki E_a, otrzymujemy:

{{IndexWzór|<MATH>\epsilon^2=1+{{4E_a^2b^2}\over{\kappa^2}}={{1}\over{\sin^2{{\varphi}\over{2}} }}={{\sin^2{{\varphi}\over{2}} +\cos^2{{\varphi}\over{2}} }\over{\sin^2{{\varphi}\over{2}} }}=1+\operatorname{ctg}^2{{\varphi}\over{2}}\Rightarrow b={{\kappa}\over{2E_a}}\operatorname{ctg}{{\varphi}\over{2}} \;</MATH>|5.24}}

Widzimy, że według {{linkWzór|5.24}}, że &phi; jest funkcją b i E_a, ale nie jest funkcją kąta azymutalnego &theta;. Opiszmy teraz przekrój czynny dla katów (&phi;,&phi;+d&phi;), wtedy mamy:

{{IndexWzór|<MATH>\left({{d\sigma(\varphi)}\over{d\varphi}}\right)d\varphi=\int_0^{2\pi}{{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}d\Omega={{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}\int_0^{2\pi}\sin\varphi d\varphi d\theta={{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}2\pi\sin\varphi d\varphi\Rightarrow \;</math><br><math>\Rightarrow{{d\sigma(\varphi)}\over{d\varphi}}={{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}2\pi\sin\varphi</MATH>|5.25}}

Liczba cząstek w pierścieniu (b,b+db), które dochodzą z nieskończoności do układu z jądrem jest taka sama jak liczba cząstek po rozproszeniu na jądrze w pierścieniu (&phi;,&phi;+d&phi;), zatem możemy przyrównać te dwie ilości cząstek, otrzymujemy:

{{IndexWzór|<MATH>j2\pi b db=j{{d\sigma(\varphi)}\over{d\varphi}}d\varphi\Rightarrow j2\pi b db=j{{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}2\pi\sin\varphi d\varphi\Rightarrow {{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}={{b}\over{\sin\varphi}}\left|{{db}\over{d\varphi}}\right|\;</MATH>|5.26}}

Mając wzór {{LinkWzór|5.24}}, który możemy podstawić do wzoru {{linkWzór|5.26}} za b, w ten sposób można otrzymać wzór:

{{IndexWzór|<MATH>{{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}={{\kappa\operatorname{ctg}{{\varphi}\over{2}} }\over{2E_a2\sin{{\varphi}\over{2}}\cos{{\varphi}\over{2}} }}{{\kappa}\over{4E_a\sin^2{{\varphi}\over{2}}}}=\left({{\kappa}\over{4E_a}}\right)^2{{1}\over{\sin^4{{\varphi}\over{2}}}}=\left({{Z_aZ_xe^2}\over{4E_a}}\right)^2{{1}\over{\sin^4{{\varphi}\over{2}}}}\;</MATH>|5.27}}