Mechanika kwantowa/Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Tomasz59 (dyskusja | edycje)
Linia 128:
Otrzymaliśmy równanie {{LinkWzór|26.50}}, które jest takie same jak w punkcie {{LinkWzór|26.42}}, które jest równaniem mechaniki kwantowej Diraca.
 
Jeśli będziemy różniczkować po &psi;, a nie po {{Formuła|<MATH>\overline{\psi}\;</MATH>}}, to otrzymamy inne równanie napisanej wedle wzoru:
{{IndexWzór|<MATH>\overline{\psi}\left(\overset{\leftarrow}{\not{\partial}}-i{{m_0c}\over{\hbar}}\right)=0\;</MATH>|26.51}}
SprawdźmyUdowodnimy, czyże równanie {{LinkWzór|26.51}} jest równoważne równaniu {{LinkWzór|26.42}}, w tym celu dokonajmy dowodu przeprowadzonego poniżej.
WykorzystujemyWykorzystując definicję funkcji {{Formuła|<MATH>\overline{\psi}\;</MATH>}} zapisaną w schemacie {{LinkWzór|26.41}} w równaniu {{LinkWzór|26.51}}, dostajemy, że:
{{IndexWzór|<MATH>\psi^{+}\hat{\beta}\left(\overset{\leftarrow}{\not{\partial}}-{{m_0c}\over{\hbar}}\right)=0\;</MATH>|26.52}}
Teraz mnożymyMnożymy prawostronnie równanie {{LinkWzór|26.52}} przez operator {{Formuła|<MATH>\hat{\beta}\;</MATH>}}, to wiemy wtedy na pewno:
{{IndexWzór|<MATH>\psi^{+}\left(\hat{\beta}\gamma^{\mu}\hat{\beta}\overset{\leftarrow}{\partial_{\mu}}-i\hat{\beta}^2{{m_0c}\over{\hbar}}\right)=0\;</MATH>|26.53}}
Wyznaczmy sprzężenie hermitowskie operatora występującego w równaniu {{linkWzór|26.53}}, przekonamy się, że- po tej operacji dostaniemy operator {{LinkWzór|26.36}}.
{{IndexWzór|<MATH>(\hat{\beta}\gamma^{\mu}\hat{\beta})^+=
\hat{\beta}{\left(\gamma^{\mu}\right)}^+\hat{\beta}=\hat{\beta}(\hat{\beta},\hat{\alpha}_k\hat{\beta})\hat{\beta}=(\hat{\beta}\hat{\beta}\hat{\beta},\hat{\beta}\hat{\alpha}_k\hat{\beta}\hat{\beta})=
(\hat{\beta},\hat{\beta}\hat{\alpha}_k)=\gamma^{\mu}\;</MATH>|26.54}}
Jeśli przedtem wykorzystamy wzór operatorowy {{LinkWzór|25.10|Mechanika kwantowa/Relatywistyczna_teoria_kwantów_Diraca}}, a potem będziemy sprzęgać po hermitowsku wyrażenie różniczkowe {{LinkWzór|26.53}}, korzystając przy tym z tożsamości operatorowej {{LinkWzór|26.54}}, otrzymujemyto otrzymamy równanie {{LinkWzór|26.50}}, które jest równoważne z równaniemrównaniu {{LinkWzór|26.37}}.
 
==Równanie Kleina-Gordona, a równania Diraca w teorii kwantów==