Wikibooks

Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 157:
Wyraz w {{LinkWzór|Ld1}} jest równy zero ze względu, że wyraz {{Formuła|<MATH>{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}=0\;</MATH>}} w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równy zero.
*2.A oto przykład funkcji tensorowej słuszne dla układów co najwyżej zakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układzie globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
{{IndexWzór|<MATH>u^i{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}=0\Rightarrow\lim_{V\rightarrow 0}\int u^i{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int\left((u^iu^{\mu})_{,i}-u^{\mu}{u^{i}}_{,i}\right)dV=\lim_{S\rightarrow 0}\int u^iu^{\mu}dS_i-\lim_{V\rightarrow 0}\int u^{\mu}{u^i}_{,i}dV=\;</MATH><BR><MATH>=u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i+\;</MATH><BR><MATH>-u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V {u^i}_{,i}dV=u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i-u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i=0\;</MATH>|Ld2}}
A więc od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości na podstawie {{LinkWzór|W.9da|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} przejście do układów co najwyżej zakrzywionych daje nam zero.
*3. A oto przykład całki słuszne dla układów co najwyżej zakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układzie globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
Linia 180:
====Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości====
Mając wzór na wielkość gęstości tensora siły według punktu {{LinkWzór|2.42}} przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując w nim globalną (lokalną) stałość tensora prędkości {{LinkWzór|W.9da|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} i globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej masy {{LinkWzór|4.44abc|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} oraz [[Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni#Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości|(Twierdzenie-2.1)]], jako:
{{IndexWzór|<MATH>\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{dK^{\mu}}\over{dV}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\rho_0c\gamma{{du^{\mu}}\over{ds}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\rho_0c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial t}}{{dt}\over{ds}}\right)dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\leftBigg(\rho_0c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+\;</MATH><BR><MATH>+\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial t}}{{\gamma}\over{c}}\rightBigg)dV=\;</MATH><BR><MATH>=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\rho_0c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial s}}\right)dV=\rho_0c\gamma \lim_{V\rightarrow 0}\int_Vu^{i}{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}dV+\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial s}}\rho v^{\mu}dV+\;</MATH><BR><MATH>-cu^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}dV=\;</MATH><BR><MATH>=\rho_0c\gamma \lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left[\left(u^iu^{\mu}\right)_{,i}-u^{\mu}{u^{i}}_{,i}\right]dV+\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial s}}\rho v^{\mu}dV-cu^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}dV=\;</MATH><BR><MATH>=\rho_0c\gamma u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\int_Su^idS_i-\rho_0c\gamma u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\int_Su^{i}dS_i+\;</MATH><BR><MATH>+\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial s}}\rho v^{\mu}dV-cu^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial s}}\rho v^{\mu}dV\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>{{dK^{\mu}}\over{dV}}={{\partial}\over{\partial s}}\rho v^{\mu}\;</MATH>|2.38}}
Wzór na gęstość tensora siły {{LinkWzór|2.38}} zapisujemy jako pochodna cząstkowa iloczynu gęstości relatywistycznej masy i wielkości wskaźnikowej prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Napiszmy drugą postać tego wzoru patrząc co jest po czwartej równości w {{LinkWzór|2.38}}, mamy:
{{IndexWzór|<MATH>\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{dK^{\mu}}\over{dV}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\rho_0c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial s}}\right)dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\rho_0c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}dV+\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial s}}dV=\;</MATH><BR><MATH>=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial s}}dV\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow{{dK^{\mu}}\over{dV}}=\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial s}}\;</MATH>|2.38y1}}
Wzór na gęstość tensora siły {{LinkWzór|2.38y1}} jest iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, &gamma; i pochodnej cząstkowej tensora prędkości względem interwału czasoprzestrzennego.
Na podstawie sobie różnych postaci jednego wzoru dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości {{LinkWzór|2.38}} i {{LinkWzór|2.38y1}} piszemy ich odpowiedniki gęstości wielkości wskaźnikowej siły patrząc na równość {{LinkWzór|2.27}}, wtedy
{{IndexWzór|<MATH>{{dK^{\mu}}\over{dV}}={{\partial}\over{\partial s}}\left(\rho v^{\mu}\right)\wedge {{dK^{\mu}}\over{dV}}=\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial s}}\Rightarrow {{dK^{\mu}}\over{dV}}={{\gamma}\over{c}}{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho v^{\mu}\right)\wedge {{dK^{\mu}}\over{dV}}={{\gamma}\over{c}}\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial t}}\Rightarrow{{dF^{\mu}}\over{dV}}={{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho v^{\mu}\right)\wedge\;</MATH><BR><MATH>\wedge{{dF^{\mu}}\over{dV}}=\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial t}}\;</MATH>|2.35}}
Wzory na gęstość tensora siły {{LinkWzór|2.38}} i {{LinkWzór|2.38y1}} są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi {{LinkWzór|2.42}} oraz wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły {{LinkWzór|2.35}} są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi {{LinkWzór|2.42a}} na mocy twierdzenia [[Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni#Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości|(Twierdzenie-2.1)]] w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych.
 
Linia 211:
\rho_0v^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\int_Sv^idS_i-\rho_0v^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\int_Sv^idS_i+\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial t}}\rho v^{\mu}dV-v^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial\rho_0}\over{\partial t}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial t}}\rho v^{\mu}dV\Rightarrow{{dF^{\mu}}\over{dV}}={{\partial}\over{\partial t}}\rho v^{\mu}\;</MATH>|2.38s}}
Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest pochodną iloczynu gęstości masy i wielkości wskaźnikowej prędkości. Dalej patrząc co jest po drugiej równości w {{LinkWzór|2.38s}}, mamy:
{{IndexWzór|<MATH>\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{dF^{\mu}}\over{dV}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\rho_0v^{i}{{\partial v^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+\rho_0{{\partial v^{\mu}}\over{\partial t}}\right)dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\rho_0v^{i}{{\partial v^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}dV+\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\rho_0{{\partial v^{\mu}}\over{\partial t}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\rho_0{{\partial v^{\mu}}\over{\partial t}}dV\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow{{dF^{\mu}}\over{dV}}=\rho_0{{\partial v^{\mu}}\over{\partial t}}\;</MATH>|2.38y}}
Wzór {{LinkWzór|2.38y}} jest iloczynem gęstości masy i pochodnej cząstkowej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu absolutnego.
Wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły {{LinkWzór|2.38s}} i {{LinkWzór|2.38y}} są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi {{LinkWzór|2.42s}} na mocy twierdzenia [[Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni#Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości|(Twierdzenie-2.1)]] w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych.
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Szczególna_teoria_względności/Tensory_w_czasoprzestrzeni”