Wikibooks

Mechanika kwantowa/Kwantowy oscylator harmoniczny: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 46:
{{IndexWzór|<MATH>{{d}\over{d\xi}}={{d\nu}\over{d\xi}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.18}}
*druga pochodna funkcji {{LinkWzór|17.17}}, a więc pierwsza pochodna pierwszej pochodnej {{LinkWzór|17.18}}.
{{IndexWzór|<MATH>{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi={{d}\over{d\xi}}\left({{d\nu}\over{d\xi}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\right)={{d^2\nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\nu\xi^2e^{-{{\xi^2}\over{2}}}=\;</MATH><BR><MATH>={{d^2\nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-2{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\nu\xi^2e^{-{{\xi^2}\over{2}}}
\;</MATH>|17.19}}
Drugą pochodną {{LinkWzór|17.19}} wyrażenia {{LinkWzór|17.17}} i tą właśnie funkcję podstawiamy do równania różniczkowego {{LinkWzór|17.8}}, dostajemy wyrażenie:
Linia 122:
<MATH>=(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL}\over{dr}}\;</MATH>|17.49}}
Jeśli już mamy pierwszą pochodną {{LinkWzór|17.49}} funkcji radialnej {{LinkWzór|17.48}}, możemy zabrać się z kolei do obliczenia drugiej pochodnej naszej funkcji mając już pierwszą pochodną.
{{IndexWzór|<MATH>{{d^2R}\over{dr^2}}={{d}\over{dr}}{{dR}\over{dr}}={{d}\over{dr}}\left\{(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL}\over{dr}}\right\}=l(l+1)r^{l-1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+\;</MATH><BR><MATH>-(l+1)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL(r)}\over{dr}}-(l+2)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+r^{l+3}\nu^2e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL}\over{dr}}+\;</MATH><BR><MATH>+(l+1)r^{l}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL(r)}\over{dr}}+\;</MATH><br><MATH>-\nu r^{l+2}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL(r)}\over{dr}}+r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}=
r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\leftBigg\{-\nu r^{l+2}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}+\;</MATH><BR><MATH>+(l+1)r^{l}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}+(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}} \rightBigg\}+L(r)\Bigg\{l(l+1)r^{l-1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-(l+1)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-(l+2)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}+\;</MATH><brBR><MATH>+r^{l+3}\nu^2e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\Bigg\}=e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\Bigg\{r^{l+1}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{-2\nu r^{l+ 2}+(2l+2)r^l \right\}+L(r)\left\{-(2l+3)r^{l+1}\nu+l(l+1)r^{l-1}+r^{l+3}\nu^2\right\}\Bigg\}\;</MATH>|17.50}}
<MATH>+L(r)\left\{l(l+1)r^{l-1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-(l+1)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-(l+2)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}+r^{l+3}\nu^2e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\right\}=\;</MATH><br>
<MATH>=e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\Bigg\{r^{l+1}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{-2\nu r^{l+ 2}+(2l+2)r^l \right\}+L(r)\left\{-(2l+3)r^{l+1}\nu+l(l+1)r^{l-1}+r^{l+3}\nu^2\right\}\Bigg\}\;</MATH>|17.50}}
Obliczoną drugą pochodną {{LinkWzór|17.50}} i wyrażenie {{LinkWzór|17.48}} wstawiamy do równania różniczkowego {{LinkWzór|17.47}}, dostajemy:
{{IndexWzór|<MATH>e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\Bigg\{r^{l+1}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{-2\nu r^{l+ 2}+(2l+2)r^l \right\}+L(r)\left\{-(2l+3)r^{l+1}\nu+l(l+1)r^{l-1}+r^{l+3}\nu^2\right\}=\;</MATH><BR><MATH>=\left\{\lambda-\nu^2r^2-{{l(l+1)}\over{r^2}}\right\}r^{l+1}L(r)\Bigg\}=0\;</MATH>|17.51}}
Równanie {{LinkWzór|17.51}} dzielimy obustronnie przez {{Formuła|<MATH>e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\;</MATH>}}, która jak wiadomo z analizy matematycznej jest wyrażeniem zawsze niezerowym, a następnie dokonujmy odpowiednich przekształceń w równości {{LinkWzór|17.51}}:
{{IndexWzór|<MATH>r^{l+1}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{-2\nu r^{l+2}+(2l+2)r^l \right\}+L(r)\left\{\lambda r^{l+1}-(2l+3)r^{l+1}\nu \right\}=0\;</MATH>|17.52}}
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/Kwantowy_oscylator_harmoniczny”