Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 34:
Następnym krokiem jest wyznaczenie funkcji Greena {{LinkWzór|28.12}} w postaci zwartej, wpierw wyznaczmy całkę, ale przedtem załóżmy, że różnica wektorów {{Formuła|<MATH>\vec{r}-\vec{r}^'\;</MATH>}} leży na osi rzędnych OY:
{{IndexWzór|<MATH>{{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}{{e^{i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}}\over{k_0^2-k^2}}={{1}\over{(2\pi)^3}}\int_0^{\infty}{{k^2}\over{k_0^2-k^2}}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi}d\psi\sin\psi e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|\cos\psi}=\;</Math><BR><MATH>={{1}\over{4\pi^2}}\int_0^{\infty}{{k^2}\over{k_0^2-k^2}}\int^{-1}_{1}-du e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|u}=
{{1}\over{4\pi^2}}\int_0^{\infty}{{k^2dk}\over{k_0^2-k^2}}\left[{{e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|u}}\over{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\right]^1_{-1}=\;</MATH><BR><MATH>=
{{1}\over{4\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\int_0^{\infty}{{k^2dk}\over{(k_0^2-k^2)k}}{{e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}-e^{-ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\over{2i}}=\;</MaTH><BR><math>=
{{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left[\int_0^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}-\int_0^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{-ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right]=\;</MATH><BR><MATH>=
{{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left[\int_0^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}-\int_0^{-\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right]=\;</MATH><BR><MATH>=
{{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\int_{-\infty}^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}={{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\int_{-\infty}^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}=\;</MATH><BR><math>={{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\;</MATH>|28.13}}
Całkowanie po linii prostej na osi rzeczywistej możemy zastąpić całkowaniem po półkręgu o środku w punkcie (0,0) wraz z odcinkiem łączących dwa końcowe punkty tego półokręgu w płaszczyźnie zespolonej, to całka na półokręgu dąży do zera, a całka na odcinku (-R,R) na osi rzeczywistej do linii prostej dla R→&infin; ,a to z kolei dąży do {{LinkWzór|28.13}}, ale najpierw napiszmy zamiast k liczbę zespoloną {{Formuła|<MaTH>R\cos\theta+iR\sin\theta\;</MATH>}}, zatem jeśli {{Formuła|<MATH>k\rightarrow\pm\infty\;</MATH>}}, to R→&infin;, wtedy możemy przecałkować po półokręgu dla &epsilon; skończonego, ale nierównego zero, zobaczymy co nam wyjdzie dalej:
{{IndexWzór|<MATH>\left|\int_{O}{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right|=\left|\int_O{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{iR|\vec{r}-\vec{r}^'|\cos\theta }e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}\right|\leq\int_{O}\left|{{k}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}|dk|\leq\;</MATH><BR><math>\leq\max_{k\in O}\left|{{k}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|R\int_0^{\pi}e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}d\theta\;</MAth>|28.14}}
Linia 44:
{{IndexWzór|<maTh>\int_0^{\pi}e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}d\theta\leq
2\int_0^{{{\pi}\over{2}}}e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}\theta}d\theta=
{{2}\over{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}}}\left[e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}\theta}\right]_0^{{{\pi}\over{2}}}={{2}\over{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}}}\left(e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|}-1\right)=\;</MATH><BR><MATH>={{\pi}\over{R|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left(1-e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right)\;</MATH>|28.15}}
Całka {{LinkWzór|28.14}}, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|28.15}}, jest równa:
{{IndexWzór|<MATH>\left|\int_{O}{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right|\leq
\max_{k\in O}\left|{{k}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|R{{\pi}\over{R|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left(1-e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right)=\;</MATH><BR><MATH>=
\max_{k\in O}\left|{{k}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|{{\pi}\over{|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left(1-e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right)\;</MATh>|28.16}}
Punkty na półkregu leżą nieskończenie daleko od jej środka, zatem {{Formuła|<MATH>|k|\rightarrow\infty\;</MATH>}}, bo {{Formuła|<MATH>R\rightarrow\infty\;</MATH>}}, zatem wyznaczmy granice i zobaczymy co wyjdzie:
Linia 83:
Aby policzyć bezpośrednio funkcję Greena należy wykorzystać równanie {{LinkWzór|20.4|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}} oraz całkę na funkcję Diraca dla przestrzeni czerowymiarowej:
{{IndexWzór|<MATh>G(\underline{x},\underline{x}^')={{1}\over{(2\pi)^4}}\int \hat{O}^{-1}e^{ik(\underline{x}-\underline{x}^')}=
{{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{1}\over{\hat{O}e^{-i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}}={{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{1}\over{\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)e^{-i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}}=\;</MATH><BR><MATH>=
{{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{e^{i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}\over{-(k_ik_i-k_0^2)-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}}}=\;</MATH><BR><MATH>=
{{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{e^{i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}\over{k^2-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}}}\;</MATH>|28.27}}
W powyższym oznaczeniu funkcji Greena przyjęto:{{Formuła|<MATH>\underline{k}\underline{x}=k_{\mu}x^{\mu}\;</MATH>}}.