Wikibooks

Mechanika kwantowa/Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 29:
W macierzy transformacji operatora całkowitego momentu pędu kwantu promieniowania napisaną według {{LinkWzór|30.7}}, jeśli w nim dokonamy operacji {{Formuła|<math>\theta\rightarrow \delta\theta</MATH>}}, i rozpatrując przy stałym polu wektorowym {{Formuła|<MATH>\psi(\vec{r})=\operatorname{const}\;</MATH>}}, wtedy wynik działania operatora momentu pędu na tą funkcję jest równa zero (ten operator jest w coś rodzaju liczenia pochodnej względem pewnych zmiennych przestrzennych według definicji operatora momentu pędu) i pozostaje nam tylko operator zależny od operatora spinu {{linkWzór|30.5}}, a więc funkcję &psi; możemy rozłożyć w szereg Taylora jednej zmiennej pomijając wyższe wyrazy inne niż liniowe:
{{IndexWzór|<MATH>\psi^{'}_{k^'}(\vec{r})=\psi_{k^'}(\vec{r})-\sum_k i\delta\theta{{\vec{n}(\hat{l}+\hat{S})_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})\Rightarrow
\psi^{'}_{k^'}(\vec{r})=\psi_{k^'}(\vec{r})-\sum_k i\delta\theta{{1}\over{\hbar}}\underbrace{\vec n\hat{l}\psi_k(\vec{r})}_{0}+\;</MATH><BR><MATH>-\sum_k i\delta\theta{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})
</MATH>|30.11}}
Przy zastosowania operatora {{LinkWzór|30.5}} dla infitezymalnego kąta obrotu przy transformacji wektorowej funkcji własnej jakiegoś równania własnego otrzymujemy to samo równanie, co {{LinkWzór|30.11}} przy stałej tej funkcji:
Linia 41:
{{IndexWzór|<MATH>i\sum_k{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_{k}=\left(\psi\times\vec{n}\right)_{k^'}\Rightarrow i\sum_k(\vec{n}\hat{S}_{k^'k})\psi_{k}=\hbar\left(\psi\times\vec{n}\right)_{k^'}</MATH>|30.15}}
Rozpatrujemy równanie {{LinkWzór|30.15}} dla parametru k' równej jeden k'=1:
{{IndexWzór|<MATH>i\left[n_x(S_x)_{11}+n_y(S_y)_{11}+n_z(S_z)_{11}\right]\psi_1+i\left[n_x(S_x)_{12}+n_y(S_y)_{12}+n_z(S_z)_{12}\right]\psi_2+i\left[n_x(S_x)_{13}+n_y(S_y)_{13}+n_z(S_z)_{13}\right]\psi_3=\;</MATH><BR><MATH>=\hbar(\psi_2 n_z-\psi_3 n_y)\;</MATH>|30.16}}
Porównując obie strony tożsamości {{LinkWzór|30.16}} dochodzimy do wniosku, że odpowiednie współrzędne operatora spinu kwantu promieniowania, a właściwie jej niektóre elementy można policzyć z pierwszego z trzech równań, które będziemy rozważać:
{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}(S_x)_{11}=(S_y)_{11}=(S_z)_{11}=0\\
Linia 51:
(S_y)_{13}=i\hbar\end{cases}\;</MATH>|30.17}}
Gdy rozpatrzymy równanie {{LinkWzór|30.15}} dla parametru k'=2, wtedy niektóre elementy macierzy współrzędnych operatora spinu można policzyć z drugiego z trzech równań, wtedy:
{{IndexWzór|<MATH>i\left[n_x (S_x)_{21}+n_y(S_y)_{21}+n_z(S_z)_{21}\right]\psi_1+i\left[n_x(S_x)_{22}+n_y(S_y)_{22}+n_z(S_z)_{22}\right]\psi_2+i\left[n_x(S_x)_{23}+n_y(S_y)_{23}+n_z(S_z)_{23}\right]\psi_3=\;</MATH><BR><MATH>=\hbar[\psi_3 n_x-\psi_1 n_z]\;</MATH>|30.18}}
Porównując obie strony tożsamości {{LinkWzór|30.18}}, to dochodzimy do wniosku:
{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}i\left[n_x (S_x)_{21}+n_y(S_y)_{21}+n_z(S_z)_{21}\right]=-n_z\\
Linia 62:
 
Gdy rozpatrzymy równanie {{LinkWzór|30.15}} dla parametru k'=3, wtedy niektóre elementy macierzy współrzędnych operatora spinu można policzyć z trzeciego z trzech równań, które będziemy rozważać:
{{IndexWzór|<MATH>i\left[n_x (S_x)_{31}+n_y(S_y)_{31}+n_z(S_z)_{31}\right]\psi_1+i\left[n_x(S_x)_{32}+n_y(S_y)_{32}+n_z(S_z)_{32}\right]\psi_2+i\left[n_x(S_x)_{33}+n_y(S_y)_{33}+n_z(S_z)_{33}\right]\psi_3=\;</MATH><BR><MATH>=\hbar[\psi_1 n_y-\psi_2 n_x]</MATH>|30.20}}
Porównując obie strony tożsamości {{LinkWzór|30.20}}, dochodzimy więc do wniosku:
{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}i\left[n_x (S_x)_{31}+n_y(S_y)_{31}+n_z(S_z)_{31}\right]=\hbar n_y\\
Linia 108:
0&0&-i\\
0&i&0
\end{pmatrix}=\;</MATH><BR><MATH>=\hbar^2\begin{pmatrix}
0&0&0&\\
-1&0&0\\
Linia 116:
0&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix}=</MATH><BR>\hbar^2\begin{pmatrix}
<MATH>=\hbar^2\begin{pmatrix}
0&1&0\\
-1&0&0\\
Linia 145 ⟶ 144:
0&0&0\\
-i&0&0
\end{pmatrix}=\;</MATH><BR><MATH>=\hbar^2\begin{pmatrix}
0&0&0\\
0&0&0\\
Linia 153 ⟶ 152:
0&0&-1\\
0&0&0
\end{pmatrix}=</MATH><BR>\hbar^2\begin{pmatrix}
<MATH>=\hbar^2\begin{pmatrix}
0&0&0\\
0&0&1\\
Linia 182 ⟶ 180:
i&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix}=\;</MATH><BR><MATH>=\hbar^2\begin{pmatrix}
0&0&-1\\
0&0&0\\
Linia 190 ⟶ 188:
0&0&0\\
0&-1&0
\end{pmatrix}=</MATH><BR>\hbar^2\begin{pmatrix}
<MATH>=\hbar^2\begin{pmatrix}
0&0&-1\\
0&0&0\\
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/Wstęp_do_teorii_promieniowania_kwantów_pola_elektromagnetycznego”