Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Suma częściowa ciągu: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
|||
Linia 40:
: <math> S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n </math>
}}
Znając to twierdzenie możemy policzyć sumę <math> S_{10} = 1 + 2 + 3 + \dots + 10 </math>. Widzimy, że <math>n = 10 </math> i ponadto <math> a_1 = 1 </math> i <math> a_{10} = 10 </math>. Zatem <math>S_{10} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1+10}{2} \cdot 10 = 55 </math>.
Korzystając z tego wzoru możemy w bardzo prosty sposób znaleść wzór na sumę ''n'' kolejnych liczb naturalnych. Zero możemy pominąć, ponieważ nic nie wnosi do naszej sumy. Zobaczmy -- pierwszą liczbą będzie ''1'', czyli <math> a_1 = 1 </math>, a n-tą liczbą jest <math> a_n = n </math>. Ponadto od 1 do n jest dokładnie n liczb. Czyli mamy wzór:
: <math> S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n(n+1)}{2} </math>,
być może już przez niektórych znany.
Policzmy teraz sumę trzydziestu jeden kolejnych wyrazów ciągu <math> (t_n) </math>, gdzie <math>t_1 = 10</math> i <math> r = 4 </math>. Wiemy, że <math> n = 31 </math>, ale nie znamy wartości <math> t_{31} </math>, dlatego musimy wykorzystać wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
: <math> t_{31} = 10 + (31-1) \cdot 4 = 10 + 120 = 130 </math>
Teraz tylko zastosować wzór na sumę początkowych wyrazów:
: <math>S_n = t_1 + t_2 + t_3 + \dots + t_{31} = \frac{t_1 + t_{31}}{2} \cdot 31 = </math>
:: <math> = \frac{10 + 130}{2} \cdot 31 = 2170 </math>.
Znajdźmy wzór na sume n początkowych wyrazów ciągu znając jedynie ''n'', <math> a_1 </math> i ''r''. Wiemy ze wzoru na n-ty wyraz, że <math> a_n = a_1 + (n-1)\cdot r</math>. Podstawiając do wzoru na sumę otrzymujemy:
: <math> S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{a_1 + a_1 + (n-1) \cdot r}{2} \cdot n </math>
Po drobnym przekształceniach mamy:
: {{Wzór|<math> S_n = \frac{[2a_1 + (n-1)\cdot r] \cdot n}{2} </math>|suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego}}
=== Suma częściowa ciągu geometrycznego ===
| |||