Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Suma częściowa ciągu: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Piotr (dyskusja | edycje)
Piotr (dyskusja | edycje)
Linia 56:
: <math> S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{a_1 + a_1 + (n-1) \cdot r}{2} \cdot n </math>
Po drobnym przekształceniach mamy:
: {{Wzór|<math> S_n = \frac{[2a_1 + (n-1)\cdot r] \cdot n}{2} </math>|suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy ''r''}}
 
Czy wzór <math> S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n </math> jest prawdziwy dla dowolnego ciągu arytmetycznego? Odpowiedź, brzmi tak. Aby się o tym przekonać przedstawimy dowód.
'''Dowód:'''
 
Wiemy, że <math> S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n </math>, a ponieważ <math>(a_n)</math> jest ciągiem arytmetycznym, więc <math> a_k = a_1 + (k-1)\cdot r </math>. Z tych dwóch zależności wynika, że:
: <math> S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = [a_1 + (1-1) \cdot r] + [a_1 + (2-1) \cdot r] + \dots + [a_1 + (n-1) \cdot r] </math>,
sumę tę możemy także przepisać jako (idąc od końca do początku):
: <math> S_n = [a_1 + (n-1) \cdot r] + [a_1 + (n-2) \cdot r] + \dots + [a_1 + (2-1) \cdot r] + [a_1 + (1-1) \cdot r] </math>
 
=== Suma częściowa ciągu geometrycznego ===