Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Suma częściowa ciągu: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
→Suma częściowa ciągu arytmetycznego: dokończenie dowodu |
|||
Linia 66:
sumę tę możemy także przepisać jako (idąc od końca do początku):
: <math> S_n = [a_1 + (n-1) \cdot r] + [a_1 + (n-2) \cdot r] + \dots + [a_1 + (2-1) \cdot r] + [a_1 + (1-1) \cdot r] </math>
Dodając obydwie sumy do siebie otrzymujemy:
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="text-align: right"
|-
|
| <math>S_n</math>
| <math>=</math>
| <math> [a_1 + (1-1) \cdot r] </math>
| <math> + </math>
| <math> [a_1 + (2-1) \cdot r] </math>
| <math> + </math>
| <math> [a_1 + (3-1) \cdot r] </math>
| <math> + </math>
| <math> \dots </math>
| <math> + </math>
| <math> [a_1 + (n-1) \cdot r] </math>
|-
| style="text-align: center" | <math> + </math>
| <math> S_n </math>
| <math> = </math>
| <math> [a_1 + (n-1) \cdot r] </math>
| <math> + </math>
| <math> [a_1 + (n-2) \cdot r] </math>
| <math> + </math>
| <math> [a_1 + (n-3) \cdot r] </math>
| <math> + </math>
| <math> \dots </math>
| <math> + </math>
| <math> [a_1 + (n-1) \cdot r] </math>
|-
| style="border-top: 1px solid black" |
| style="border-top: 1px solid black" | <math> 2S_n </math>
| style="border-top: 1px solid black" | <math> = </math>
| style="border-top: 1px solid black" | <math> [2a_1 + (n-1) \cdot r] </math>
| style="border-top: 1px solid black" | <math> + </math>
| style="border-top: 1px solid black" | <math> [2a_1 + (n-1) \cdot r] </math>
| style="border-top: 1px solid black" | <math> + </math>
| style="border-top: 1px solid black" | <math> [2a_1 + (n-1) \cdot r] </math>
| style="border-top: 1px solid black" | <math> + </math>
| style="border-top: 1px solid black" | <math> \dots </math>
| style="border-top: 1px solid black" | <math> + </math>
| style="border-top: 1px solid black" | <math> [2a_1 + (n-1) \cdot r] </math>
|-
|}
Wszystkie powyższe sumy posiadają n składników, zatem:
: <math> 2S_n = [2a_1 + (n-1) \cdot r] \cdot n </math>
Po podzieleniu przez dwa mamy:
: <math> S_n = \frac{[2a_1 + (n-1) \cdot r] \cdot n}{2} </math>
Czyli dochodzimy do wzoru przedstawionego nieco wyżej.
=== Suma częściowa ciągu geometrycznego ===
| |||