Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Suma częściowa ciągu: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Linia 129:
Możemy teraz bez problemu obliczyć sumę stu wyrazów <math> S_n = 2 + 2 + 2 + 2 + \dots +2 </math>. Nie znając powyższego twierdzenia także umielibyśmy obliczyć tę sumę. Mamy sto dwójek, więc <math> S_n = 100 \cdot 2 </math>, co się pokrywa z odpowienim wzorem, gdzie <math> a_1 = 2 </math> i iloraz ciągu wynosi <math> q = 1 </math>.
Obliczmy sumę 4 kolejnych wyrazów ciągu <math> (b_n) </math>, gdzie <math> b_1 = 11 </math>, a <math> \frac{b_{k+1}} = \frac{b_k} = 3 \mbox{ dla } k \in \mathbb{Z}_+ </math>. Ponieważ <math> q = 3 </math>, więc wykorzystamy wzór dla <math> q \neq 1 </math>:
: <math> S_4 = a_1 \cdot \frac{1-q^4}{1-q} = 11 \cdot \frac{1-3^4}{1-3} = 11 \cdot \frac{-80}{-2} = 440 </math>.
Przejdźmy teraz do nieco trudniejszego przykładu. Obliczmy sumę <math> S_n = 1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 64 </math>. Sumę tę tworzą kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Widzimy, że <math> a_1 = 1 </math>, ponadto <math> q = 2 </math>. Zastanówmy się, z ilu elementów składa się tasuma (czyli ile wynosi n)? Z wzoru ogólnego wynika, że <math> a_n = 1 \cdot 2^{n-1} </math>, a z sumy do policzenia, że <math> a_n = 64 </math>. Więc <math> a_n = 2^{n-1} = 64 = 2^6 </math>, czyli <math>n-1=6 \implies n=7</math>. Ponieważ <math> q = 2 \neq 1 </math>, więc wykorzystamy wzór drugi:
: <math>
Obliczmy sumę 10 kolejnych wyrazów ciągu <math> (s_n) </math> zdefiniowanego wzorem:
: <math> s_k = 9 \cdot 10^{k-1} \mbox { dla } k \in \mathbb{Z}_+ </math>.
Pamiętamy, że każdy ciąg geometryczny zdefiniowany jest wzorem:
: <math> a_k = a_1 \cdot q^{k-1} \mbox { dla } k \in \mathbb{Z}_+ </math>
Zauważmy, że gdybyśmy jako <math>a_1</math> podstawili 9, a jako q liczbę 10, otrzymalibyśmy taki sam wzór na n-ty wyraz, jaki ma ciąg <math> (s_n) </math>. Zatem musi zachodzić <math>s_1 = 99</math>, a <math> q = 10 </math>. Możemy teraz wyliczyć sumę, a ponieważ <math> q \neq 0 </math> mamy:
: <math> S_{10} = 9 \cdot \frac{1-10^{10}}{1-10} = \frac{1-10^{10}}{-1} = 10^{10} - 1 </math>
<noinclude>
| |||