Wikibooks

Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Suma częściowa ciągu: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Piotr (dyskusja | edycje)
6422 edycje
Piotr (dyskusja | edycje)
6422 edycje
Linia 127:
}}
 
Możemy teraz bez problemu obliczyć sumę stu wyrazówdwójek, czyli <math> S_nS_{100} = 2 + 2 + 2 + 2 + \dots + 2 </math>. Nie znającpowinno powyższegoto twierdzeniasprawić takżeproblemu umielibyśmyosobie, obliczyćktóra tęnie sumęzna powyższego twierdzenia. Mamy sto dwójek, więc <math> S_nS_{100} = 100 \cdot 2 = 200 </math>, coproste. sięOczywiście pokrywamożemy zwykorzystać odpowienimodpowiedni wzorem,wzór. gdziePonieważ <math> a_1q = 21 </math>, iwięc ilorazzastosujemy ciągupierwszego wynosiwzór otrzymując <math> qS_{100} = 1n \cdot a_1 = 100 \cdot 2 = 200 </math>.
 
 
Linia 163:
</math>
 
Na konie pokażmy, że poznany przez nasWyznaczmy wzór będzieogólny prawdziwyna dla sumysumę n wyrazówkolejnych elementów ciągu <math> (d_n) </math>, gdziew którym <math>d_1 = 3</math> i <math> q = 5 </math>. WypiszmyPonieważ założenia,<math> tezęq i\neq przedstawmy1 dowód.</math> możemy ze znanego nam już twierdzenia powiedzieć, że:
: <math> S_n = d_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} = 3 \cdot \frac{1-5^n}{1-5}
= 3 \cdot \frac{(-1) \cdot (5^n-1)}{(-1) \cdot 4} = 3 \cdot \frac{5^n-1}{4} </math>.
 
Na koniec spróbujmy udowodnić, że ten wzór jest poprawny, nie odwołując się do wcześniej przedstawionego twierdzenia. Wypiszemy najpierw założenia i tezę, a potem przedstawimy dowód.
 
'''Założenia:'''
Linia 236 ⟶ 240:
| style="border-top: 1px solid black" | <math> 3 \cdot 5^{n} </math>
|}
 
 
Czyli <math>-4S_n = 3 - 3 \cdot 5^{n} = 3(1 - 5^{n}) </math>, po podzieleniu przez ''-4'' dochodzimy do:
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum/Ciągi_liczbowe/Suma_częściowa_ciągu”