Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Inne przykłady ciągów: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
|||
Linia 24:
=== Ciąg Fibonacciego ===
Ciąg ten zaczyna się od dwóch jedynek, a każdy następny wyraz jest sumą dwóch poprzednich. Ciąg ten oznaczamy przez <math> (F_n) = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \dots) </math>. Z definicji ciągu widzimy, że zachodzi relacja:
: <math> F_1 = 1 </math>
: <math> F_2 = 1 </math>
: <math> F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \mbox{ dla } n>2 </math>
Gdy <math> F_6 = 8 </math> i <math> F_7 = 13 </math>, wówczas <math> F_8 = F_7 + F_6 = 13 + 8 = 21 </math>. Podobnie, gdy wiemy, że:
: <math> F_{44} = 701408733 </math>
: <math> F_{45} = 1134903170 </math>,
wtedy:
: <math> F_{46} = F_{45} + F_{44} = 1134903170 + 701408733 = 1836311903 </math>.
Ktoś kiedyś pokazał, że n-ty wyraz tego ciągu wynosi:
: <math> F_n = \frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1 + \sqrt 5}{2}\right)^n - \frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1 - \sqrt 5}{2}\right)^n </math> (''wzór Bineta'')
<noinclude>
| |||