Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Rekurencja i indukcja matematyczna: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
|||
Linia 16:
czy też liczenia od 100 do 0:
: mamy 100. odejmujemy 1 i mamy 99 i liczymy dalej, tym razem od 99 do 0.
Zobaczmy kilka przykładów ciągów określonych rekurencyjnie:
* ciąg artmetyczny <math> (a_n) </math> określony wzorem:
*: <math> a_n = \left\{\begin{matrix}
3 & \mbox{ dla } n = 1 \\
a_{n-1} + 2 & \mbox{ dla } n > 1
\end{matrix}\right.</math>
W tym przypadku widzimy na przykład, że:
<math>
a_{5} = a_4 + 2 = (a_3 + 2) + 2 = ((a_2 + 2) + 2) + 2 = (((a_1 + 2) + 2) + 2) + 2 = (((3 + 2) + 2) + 2) + 2 = 11 </math>. Wiedząc, że <math> a_1 = 3 </math> i <math> r = 2 </math> i korzystając, ze wzoru ogólnego na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy wynik <math> a_5 = 3 + (5-1) \cdot 2 = 11 </math>, dochodzimy, do takiego samego wyniku.
* ciąg geometryczny <math> (b_n) </math>, gdzie:
*: <math> a_1 = 10 </math>
*: <math> a_{n+1} = a_n \cdot 6 \mbox{ dla } n \geq 1</math>
W tym przypadku widzimy, że n-ty wyraz jest 6 razy większy od poprzedniego. Ze wzoru rekurencyjnego możemy wyliczyć, że:
: <math> a_3 = a_2 \cdot 6 = (a_1 \cdot 6) \cdot 6 = (10 \cdot 6) \cdot 6 = 360 </math>.
W poprzednim rozdziale widzieliśmy nieco skomplikowany ciąg nazywany, który jest zdefniowany wzorem:
*: <math> F_1 = 1 </math>
*: <math> F_2 = 1 </math>
*: <math> F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \mbox{ dla } n > 2</math>.
Policzmy teraz <math> F_5 </math>:
: <math> F_5 = F_4 + F_3 = (F_3 + F_2) + (F_1 + F_2) = ((F_2 + F_1) + 1) + (1 + 1) = ((1 + 1) + 1) + (1 + 1) = 5 </math>.
Powinniśmy już pamiętać, że ciąg zdefiniowany wzorem:
: <math> a_1 = x </math>
: <math> a_{n+1} = a_{n} + r \mbox{ dla } n \geq 1 </math>,
posiada postać zwartą, czyli bez rekurencji, w postaci:
: <math> a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \mbox{ dla } n \geq 1 </math>. (Jak pamiętamy, jest to ciąg arytmetyczny.)
Natomiast postać zwarta ciągu geometrycznego zdefiniowanego wzorem:
: <math> a_1 = x </math>
: <math> a_{n+1} = a_n \cdot q \mbox{ dla } n \geq 1 </math>
będzie postaci:
: <math> a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \mbox{ dla } n \geq 1</math>,
a co już zresztą wiemy.
== Indukcja matematyczna ==
| |||