Matematyka dla liceum/Logika/Kwantyfikatory: Różnice pomiędzy wersjami

Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie długich zdań w krótszej formie. Na przykład zdanie „kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest większy bądź równy 0” możemy zapisać krócej <math> \forall forall_{x \in \mathbb{R}:}\ x^2 \geq 0 </math>. Podobnie zdanie „sześcian każdej liczby całkowitej dodatniej jest większy od 0”, możemy zapisać <math> \forall forall_{n \in \mathbb{Z_+}:}\ n^3 > 0 </math> (zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez <math> \mathbb{Z_+}). </math>. Zdanie to przeczytamy „dla każdego ''x'' należącego do liczb całkowitych dodatnich, sześcian tej liczby jest większy od 0”. Podamy teraz formalną definicję.

'''Kwantyfikator ogólny''' oznaczamy przez <math> \forall xforall_x </math>, mówi on, że dane stwierdzenie jest prawdziwe dla każdego ''x''. Nazywany jest także '''kwantyfikatorem dużym''' lub '''kwantyfikatorem uniwersalnym'''.}}

Czasamy dane zdanie niespełniają wszystkie liczby, lecz zaledwie jedna liczba np. istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi 0. Jest to tylko jedna liczba -- samo 0. Tak więc zdanie „istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi 0” możemy zapisać za pomocą pewnego kwantyfikatora: <math>\exists exists_{x \in \mathbb{R}:}\ x^2=0 </math>. Zdanie to przeczytamy „istnieje taka liczba ''x'' należąca do liczb rzeczywistych, że kwadrat tej liczby wynosi 0”. Kwantyfikator ten (łatwo zauważyć, że został zapisany jako <math> \exist )</math> nazywany jest '''kwantyfikatorem szczegółowym'''.

'''Kwantyfikator szczegółowy''' oznaczamy przez <math> \exist xexist_x </math>, mówi on, że istnieje takie ''x'', że dane stwierdzenie jest prawdziwe. Nazywany jest także '''kwantyfikatorem małym''' lub '''kwantyfikatorem egzystencjalnym'''.}}