Matematyka dla liceum/Logika/Spójniki logiczne: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Piotr (dyskusja | edycje)
mNie podano opisu zmian
Piotr (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Linia 8:
{{index|koniunkcja, logiczny spójnik „i”}}
Zajmijmy się takim prostym, logicznym zdaniem: „Byłem w księgarni i kupiłem książkę”. Oznaczmy to zdanie jako ''r''. Zdanie to można podzielić na dwa zdania proste:
* „Byłem w księgarni”, które oznaczymy przez ''{{math|p''}}
* „Kupiłem książkę”, które oznaczymy przez ''{{math|q''}}
Te obydwa zdania proste łączą się spójnikim ''i'', które w matematyce oznaczamy przez <math> \and </math>. '''Zdania''' połączone '''spójnikiem ''i''''' nazywamy '''koniunkcją'''.
Możemy przyjąć, że zdanie ''{{math|r''}} jest prawdziwe jedynie wtedy, kiedy rzeczywiście byliśmy w księgarni (''{{math|1=p = 1''}}) i kupiliśmy książkę (''{{math|1=q = 1''}}). Natomiast, jeśli któreś ze zdań ''{{math|p''}} i ''{{math|q''}} byłoby fałszywe (czyli nie byliśmy w księgarni lub nie kupiliśmy książki), oznaczałoby to, że skłamaliśmy, czyli wartość logiczna zdania {{math|r}} wynosiłaby {{math|0}}. W zależności od wartości logicznych ''{{math|p''}} i ''{{math|q''}} możemy stworzyć tabelkę prawdziwości zdania <math> p \and q </math> (czyli zdania ''{{math|r''}}), która jest pokazana niżej. Wynika z niej, że koniunkcja jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy obydwa zdania ''{{math|p''}} i ''{{math|q''}} są prawdziwe.
 
 
<center>
{| class="wikitable" style="text-align:center" |-
! style="width: 60px" | ''{{math|p''}}
! style="width: 60px" | ''{{math|q''}}
! style="width: 60px" | ''{{math|p <big>&and;</big> q''}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
|}
</center>
 
W przypadku zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi i pies ma osiem łap” pierwsza część zdania jest prawdziwa, a druga fałszywa. Zatem całe zdanie będzie fałszywe.
 
=== Alternatywa ===
{{index|alternatywa, spójnik logiczny „lub”}}
Oznaczmy przez ''{{math|r''}} zdanie: ''„Dziś rano posprzątam w pokoju lub pooglądam telewizję”''. Zdanie ''{{math|r''}} możemy podzielić na dwa zdania proste:
* zdanie ''{{math|p''}}: „Dziś rano posprzątam w pokoju”
* i zdanie ''{{math|q''}}: „Dziś rano pooglądam telewizję”
połączone spójnikiem ''lub''. Jak było pokazane wcześniej w tabelce, '''spójnik lub''' oznaczamy przez <math> \or </math>. Nasze zdanie ''{{math|r''}} będzie zarówno prawdziwe wtedy, kiedy zdanie ''{{math|p''}} będzie prawdziwe (posprzątamy w pokoju) lub zdanie ''{{math|q''}} będzie prawdziwe (pooglądamy telewizję). Ponadto nie skłamiemy, jeśli posprzątaliśmy i pooglądaliśmy telewizję (obydwa zdania ''{{math|p''}} i ''{{math|q''}} są prawdziwe). TablkaTabelka przedstawiającą wartości logiczne alternatywy, w zależności od prawdziwości zdania ''{{math|p''}} i ''{{math|q''}} będzie wyglądać tak:
 
<center>
{| class="wikitable" style="text-align:center" |-
! style="width: 60px" | ''{{math|p''}}
! style="width: 60px" | ''{{math|q''}}
! style="width: 60px" | ''{{math|p <big>&or;</big> q''}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
|}
</center>
 
W poprzednim podrozdziale powiedzieliśmy, że zdanie złożone „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap” jest prawdziwe. Widzimy, że zdanie {{math|p}} „Księżyc krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, a zdanie {{math|q}} „pies ma osiem łap” jest fałszywe, dlatego wartość logiczna zdania {{math|p &or; q}} wynosi {{math|1 &or; 0}}, czyli {{math|1}}. Zatem to zdanie będzie rzeczywiście ''prawdziwe''.
 
=== Negacja ===
{{index|negacja zdania, zaprzeczenie zdania}}
Zdanie „Nieprawda, że byłem dzisiaj w kinie” oznaczmy jako zdanie ''{{math|r''}}. Zdanie to jest zaprzeczeniem (negacją) zdania „Byłem dzisiaj w kinie”, które oznaczmymy przez ''{{math|p''}}. Negację zdania ''{{math|p''}} przedstawiamy jako <math> \neg p </math>. Jeśli zdanie ''{{math|p''}} jest prawdziwe (byliśmy w kinie), to zdanie ''{{math|r''}} jest fałszywe, bo skłamaliśmy, że nie byliśmy w kinie. Natomiast jeśli zdanie ''{{math|p''}} jest nieprawdziwe, oznacza to, że zdanie ''{{math|r''}} jest prawdziwe. Wnioski te można to przedstawić w poniższej tabelce.
 
<center>
{| class="wikitable" style="text-align:center" |-
! style="width: 60px" | ''{{math|p''}}
! style="width: 60px" | ''<big>{{math|&not;</big> p''}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
|}
</center>
Linia 88 ⟶ 91:
=== Implikacja ===
{{index|implikacja, wyrażenie „jeżeli ...\, to ...”}}
Oznaczmy ''{{math|r''}} jako zdanie „Jeżeli będziesz grzeczny, to dostaniesz czekoladę”. Zdanie to jest implikacją. Zdanie te składa się z dwóch zdań prostych:
* zdania ''{{math|p''}}: „Będziesz grzeczny”
* zdania ''{{math|q''}}: „Dostaniesz czekoladę”
Implikację zdań oznaczamy za pomocą spójnika <math> \implies </math>, a w tym przypadku przez <math> p \implies q </math>.
Pozostaje zastanowić się, kiedy zdanie ''{{math|r''}} będzie prawdą, a kiedy kłamstwem. Załóżmy, że zdanie to wypowiedziała mama do swojego syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę, mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał czekolady, mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny, a nie dostał czekolady, oznacza to, że został okłamany. Okazuje się także, że jakby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę, mama by nieskłamała. Dlaczego? Ponieważ, mama nie stwierdziła, co go spotka, jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie, co go spotka jeśli będzie grzeczny. Dlatego też o zdaniu '''''{{math|p''}}''' mówimy, że jest '''warunkiem wystarczalnym''', a o '''''{{math|q''}}''', że jest '''warunkiem koniecznym'''. Tabelka wartości logicznych będzie wyglądać tak:
 
<center>
{| class="wikitable" style="text-align:center" |-
! style="width: 100px" | ''{{math|p''}}
! style="width: 100px" | ''{{math|q''}}
! style="width: 100px" | ''{{math|p <math>&rArr; \implies </math>q''}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
|}
</center>
 
Powróćmy znowu do przykładu przedstawionego w poprzednim podrozdziale. Otóż było tam zdanie „jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”. To zdanie złożone możemy podzielić na dwa proste zdania:
: {{math|p}}: „pies ma osiem łap”,
: {{math|q}}: „Księżyc krąży wokół Ziemi”.
Wiemy, że pierwsze {{math|p}} jest fałszywe, a zdanie {{math|q}} jest prawdziwe. Zatem wartość logiczna zdania {{math|p &rArr; q}} wynosi {{math|1=0 &rArr; 1}}. Otrzymujemy wartość logiczna tego zdania wynosi {{math|1}}. Jest to podobna sytuacja do tej, jak syn był niegrzeczny, a dostał czekoladę.
 
=== Równoważność ===
Linia 124 ⟶ 132:
<center>
{| class="wikitable" style="text-align:center" |-
! style="width: 100px" | ''{{math|p''}}
! style="width: 100px" | ''{{math|q''}}
! style="width: 100px" | ''{{math|p <math>\iff</math>&hArr; q''}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
|}
</center>
 
Powróćmy teraz do zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”. Na pierwszy rzut oka nam coś w nim nie pasuje. Podzielmy to zdanie na dwa podzdania {{math|p}} i {{math|q}}:
: {{math|p}}: „Księżyc krąży wokół Ziemi”
: {{math|q}}: „pies ma osiem łap”
Wartość logiczna zdania {{math|p}} wynosi {{math|1}}, a {{math|q}} wynosi {{math|0}}. Ponieważ obie wartości logiczne zdań podrzędnych nie są sobie równe, więc zdanie to jest fałszywe, jego wartość logiczna wynosi {{math|0}}. Jednak gdyby to zdanie brzmiało „Ziemia krąży wokół Księżyca wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”, wówczas byłoby prawdziwe, ponieważ wartości logiczne obu zdań podrzędnych byłyby sobie równe i wynosiłyby {{math|0}}.
 
 
Czy można tworzyć zdania, które będą zawsze prawdziwe? Oczywiście. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić, a także jak sprawdzić, czy dane zdanie jest rzeczywiście prawdziwe.
 
<noinclude>