Matematyka dla liceum/Logika/Spójniki logiczne: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
mNie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 8:
{{index|koniunkcja, logiczny spójnik „i”}}
Zajmijmy się takim prostym, logicznym zdaniem: „Byłem w księgarni i kupiłem książkę”. Oznaczmy to zdanie jako ''r''. Zdanie to można podzielić na dwa zdania proste:
* „Byłem w księgarni”, które oznaczymy przez
* „Kupiłem książkę”, które oznaczymy przez
Te obydwa zdania proste łączą się spójnikim ''i'', które w matematyce oznaczamy przez <math> \and </math>. '''Zdania''' połączone '''spójnikiem ''i''''' nazywamy '''koniunkcją'''.
Możemy przyjąć, że zdanie
<center>
{| class="wikitable" style="text-align:center" |-
! style="width: 60px" |
! style="width: 60px" |
! style="width: 60px" |
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
|}
</center>
W przypadku zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi i pies ma osiem łap” pierwsza część zdania jest prawdziwa, a druga fałszywa. Zatem całe zdanie będzie fałszywe.
=== Alternatywa ===
{{index|alternatywa, spójnik logiczny „lub”}}
Oznaczmy przez
* zdanie
* i zdanie
połączone spójnikiem ''lub''. Jak było pokazane wcześniej w tabelce, '''spójnik lub''' oznaczamy przez <math> \or </math>. Nasze zdanie
<center>
{| class="wikitable" style="text-align:center" |-
! style="width: 60px" |
! style="width: 60px" |
! style="width: 60px" |
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
|}
</center>
W poprzednim podrozdziale powiedzieliśmy, że zdanie złożone „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap” jest prawdziwe. Widzimy, że zdanie {{math|p}} „Księżyc krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, a zdanie {{math|q}} „pies ma osiem łap” jest fałszywe, dlatego wartość logiczna zdania {{math|p ∨ q}} wynosi {{math|1 ∨ 0}}, czyli {{math|1}}. Zatem to zdanie będzie rzeczywiście ''prawdziwe''.
=== Negacja ===
{{index|negacja zdania, zaprzeczenie zdania}}
Zdanie „Nieprawda, że byłem dzisiaj w kinie” oznaczmy jako zdanie
<center>
{| class="wikitable" style="text-align:center" |-
! style="width: 60px" |
! style="width: 60px" |
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
|}
</center>
Linia 88 ⟶ 91:
=== Implikacja ===
{{index|implikacja, wyrażenie „jeżeli ...\, to ...”}}
Oznaczmy
* zdania
* zdania
Implikację zdań oznaczamy za pomocą spójnika <math> \implies </math>, a w tym przypadku przez <math> p \implies q </math>.
Pozostaje zastanowić się, kiedy zdanie
<center>
{| class="wikitable" style="text-align:center" |-
! style="width: 100px" |
! style="width: 100px" |
! style="width: 100px" |
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
|}
</center>
Powróćmy znowu do przykładu przedstawionego w poprzednim podrozdziale. Otóż było tam zdanie „jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”. To zdanie złożone możemy podzielić na dwa proste zdania:
: {{math|p}}: „pies ma osiem łap”,
: {{math|q}}: „Księżyc krąży wokół Ziemi”.
Wiemy, że pierwsze {{math|p}} jest fałszywe, a zdanie {{math|q}} jest prawdziwe. Zatem wartość logiczna zdania {{math|p ⇒ q}} wynosi {{math|1=0 ⇒ 1}}. Otrzymujemy wartość logiczna tego zdania wynosi {{math|1}}. Jest to podobna sytuacja do tej, jak syn był niegrzeczny, a dostał czekoladę.
=== Równoważność ===
Linia 124 ⟶ 132:
<center>
{| class="wikitable" style="text-align:center" |-
! style="width: 100px" |
! style="width: 100px" |
! style="width: 100px" |
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
|}
</center>
Powróćmy teraz do zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”. Na pierwszy rzut oka nam coś w nim nie pasuje. Podzielmy to zdanie na dwa podzdania {{math|p}} i {{math|q}}:
: {{math|p}}: „Księżyc krąży wokół Ziemi”
: {{math|q}}: „pies ma osiem łap”
Wartość logiczna zdania {{math|p}} wynosi {{math|1}}, a {{math|q}} wynosi {{math|0}}. Ponieważ obie wartości logiczne zdań podrzędnych nie są sobie równe, więc zdanie to jest fałszywe, jego wartość logiczna wynosi {{math|0}}. Jednak gdyby to zdanie brzmiało „Ziemia krąży wokół Księżyca wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”, wówczas byłoby prawdziwe, ponieważ wartości logiczne obu zdań podrzędnych byłyby sobie równe i wynosiłyby {{math|0}}.
Czy można tworzyć zdania, które będą zawsze prawdziwe? Oczywiście. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić, a także jak sprawdzić, czy dane zdanie jest rzeczywiście prawdziwe.
<noinclude>
|