Matematyka dla liceum/Logika/Spójniki logiczne: Różnice pomiędzy wersjami

Możemy przyjąć, że zdanie {{math|r}} jest prawdziwe jedynie wtedy, kiedy rzeczywiście byliśmy w księgarni ({{math|1=p = 1}}) i kupiliśmy książkę ({{math|1=q = 1}}). Natomiast, jeśli któreś ze zdań {{math|p}} i {{math|q}} byłoby fałszywe (czyli nie byliśmy w księgarni lub nie kupiliśmy książki), oznaczałoby to, że skłamaliśmy, czyli wartość logiczna zdania {{math|r}} wynosiłaby {{math|0}}. W zależności od wartości logicznych {{math|p}} i {{math|q}} możemy stworzyć tabelkę prawdziwości zdania <math> p \and q </math> (czyli zdania {{math|r}}), która jest pokazana niżej. Wynika z niej, że koniunkcja jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy obydwa zdania {{math|p}} i {{math|q}} są prawdziwe.

 

{| class="wikitable" style="text-align:center" |-

! style="width: 60px" | {{math|p}}

| align="center" | {{math|0}}

|}

 

W przypadku zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi i pies ma osiem łap” pierwsza część zdania jest prawdziwa, a druga fałszywa. Zatem całe zdanie będzie fałszywe.

połączone spójnikiem ''lub''. Jak było pokazane wcześniej w tabelce, '''spójnik lub''' oznaczamy przez <math> \or </math>. Nasze zdanie {{math|r}} będzie zarówno prawdziwe wtedy, kiedy zdanie {{math|p}} będzie prawdziwe (posprzątamy w pokoju) lub zdanie {{math|q}} będzie prawdziwe (pooglądamy telewizję). Ponadto nie skłamiemy, jeśli posprzątaliśmy i pooglądaliśmy telewizję (obydwa zdania {{math|p}} i {{math|q}} są prawdziwe). Tabelka przedstawiającą wartości logiczne alternatywy, w zależności od prawdziwości zdania {{math|p}} i {{math|q}} będzie wyglądać tak:

 

{| class="wikitable" style="text-align:center" |-

! style="width: 60px" | {{math|p}}

| align="center" | {{math|0}}

|}

 

W poprzednim podrozdziale powiedzieliśmy, że zdanie złożone „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap” jest prawdziwe. Widzimy, że zdanie {{math|p}} „Księżyc krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, a zdanie {{math|q}} „pies ma osiem łap” jest fałszywe, dlatego wartość logiczna zdania {{math|p &or; q}} wynosi {{math|1 &or; 0}}, czyli {{math|1}}. Zatem to zdanie będzie rzeczywiście ''prawdziwe''.

Zdanie „Nieprawda, że byłem dzisiaj w kinie” oznaczmy jako zdanie {{math|r}}. Zdanie to jest zaprzeczeniem (negacją) zdania „Byłem dzisiaj w kinie”, które oznaczmymy przez {{math|p}}. Negację zdania {{math|p}} przedstawiamy jako <math> \neg p </math>. Jeśli zdanie {{math|p}} jest prawdziwe (byliśmy w kinie), to zdanie {{math|r}} jest fałszywe, bo skłamaliśmy, że nie byliśmy w kinie. Natomiast jeśli zdanie {{math|p}} jest nieprawdziwe, oznacza to, że zdanie {{math|r}} jest prawdziwe. Wnioski te można to przedstawić w poniższej tabelce.

 

{| class="wikitable" style="text-align:center" |-

! style="width: 60px" | {{math|p}}

| align="center" | {{math|1}}

|}

 

=== Implikacja ===

Pozostaje zastanowić się, kiedy zdanie {{math|r}} będzie prawdą, a kiedy kłamstwem. Załóżmy, że zdanie to wypowiedziała mama do swojego syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę, mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał czekolady, mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny, a nie dostał czekolady, oznacza to, że został okłamany. Okazuje się także, że jakby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę, mama by nieskłamała. Dlaczego? Ponieważ, mama nie stwierdziła, co go spotka, jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie, co go spotka jeśli będzie grzeczny. Dlatego też o zdaniu '''{{math|p}}''' mówimy, że jest '''warunkiem wystarczalnym''', a o '''{{math|q}}''', że jest '''warunkiem koniecznym'''. Tabelka wartości logicznych będzie wyglądać tak:

 

{| class="wikitable" style="text-align:center" |-

! style="width: 100px" | {{math|p}}

| align="center" | {{math|1}}

|}

 

Powróćmy znowu do przykładu przedstawionego w poprzednim podrozdziale. Otóż było tam zdanie „jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”. To zdanie złożone możemy podzielić na dwa proste zdania:

Gdyby poprzednie zdanie mama wypowiedziała tak: „Dostaniesz czekoladę jedynie wtedy, jeśli będziesz grzeczny” lub „Dostaniesz czekoladę wtedy i tylko wtedy, gdy będziesz grzeczny”, to okazałoby się, że gdyby synek był niegrzeczny, a mama i tak by mu dała czekoladę, to mama by skłamała. Spójnik logiczny „wtedy i tylko wtedy, gdy...” oznaczamy przez <math> \iff </math>. Tabela równoważności będzie wyglądać tak:

 

{| class="wikitable" style="text-align:center" |-

! style="width: 100px" | {{math|p}}

| align="center" | {{math|1}}

|}

 

Powróćmy teraz do zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”. Na pierwszy rzut oka nam coś w nim nie pasuje. Podzielmy to zdanie na dwa podzdania {{math|p}} i {{math|q}}: