Wikibooks

Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Linia 147:
Metryka dla środka mas tak samo się definiuje i ma takie same właściwości jak metryka {{LinkWzór|2.6}} dla poszczególnych punktów masowych. Wykorzystując twierdzenie {{linkWzór|1.113|Szczególna_teoria_względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względności}} o środku mas układu cząstek, to wzory {{LinkWzór|2.18}} i {{LinkWzór|2.27}} są również spełnione dla środka mas, bo te wzory są również formułowane dla definicji siły {{linkWzór|1.121|Szczególna_teoria_względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względności}} ogólnie dla środka mas układów cząstek, a {{linkWzór|1.121|Szczególna_teoria_względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względności}} udowodniliśmy wychodząc z {{linkWzór|1.110|Szczególna_teoria_względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względności}}. Stąd wzór na tensor siły dla poruszającego środka masy i wzory na tensory sił dla elementów masowych są formalnie jednakowe.
 
==Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, słabozakrzywionych i słabozakrzywionychzakrzywionych==
A oto bardzo ważne twierdzenie matematyczne potrzebne do udowadniania fizyki (mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności) słuszne jedynie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, które będziemy stosować.
{{Twierdzenie|Jakie=pomijania wyrazów tensorowych i skalarów w układach globalnie (lokalnie) płaskich, słabozakrzywionych i słabozakrzywionychzakrzywionych|Tekst=W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli wyraz jest dokładnie równy zero z właściwości tego układu, i wymnożenie tych elementów przez macierz transformacji {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}} (popatrz na definicję macierzy transformacji {{LinkWzór|B5|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} w przypadku układów słabozakrzywionych) w przypadku przejścia do układów słabozakrzywionych lub zakrzywionych, jeżeli w tych układach daje też dokładnie lub w przybliżeniu zero na podstawie teorii funkcji uogólnionych lub zwykłych funkcji, to ten wyraz w równaniu można dodać z albo usunąć w równaniu i wyrażeniu matematycznym. Skalary w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli są równe zero, to automatycznie w innych dowolnych układach współrzędnych (słabozakrzywionych, coczy najwyżej słabozakrzywionychzakrzywionych), też są równe zero, a więc je pomijamy. Można dodawać i odejmować tylko te wyrazy skalarne, tensorowe, wskaźnikowe i wskaźnikowo-tensorowe w wyrażeniu i równaniu, które w każdym układzie współrzędnych mają zerową wartość, a w wielkościach tensorowych, wskaźnikowych i wskaźnikowo-tensorowych należy wyraz ogólnić nawetw układach globalnie (lokalnie) płaskich są równe zero, by potem przejść do do układów słabozakrzywionych, czy zakrzywionych, we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych zamieniając przecinek na średnik, bo tam symbole Christoffela w układach globalnie (lokalnie) płaskich są równe zero.}}
*1.A oto przykład funkcji, która w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równa zero:
{{IndexWzór|<MATH>u^{\mu}{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}=0</MATH>|Ld}}
Linia 158:
*2.A oto przykład funkcji tensorowej słuszne dla układów co najwyżej zakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układzie globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
{{IndexWzór|<MATH>u^i{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}=0\Rightarrow\lim_{V\rightarrow 0}\int u^i{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int\left((u^iu^{\mu})_{,i}-u^{\mu}{u^{i}}_{,i}\right)dV=\lim_{S\rightarrow 0}\int u^iu^{\mu}dS_i-\lim_{V\rightarrow 0}\int u^{\mu}{u^i}_{,i}dV=\;</MATH><BR><MATH>=u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i-u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V {u^i}_{,i}dV=u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i-u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i=0\;</MATH>|Ld2}}
A więc od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości na podstawie {{LinkWzór|W.9da|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} przejście do układów zakrzywionych (słabozakrzywionych) daje nam zero, boa jeśli mamy po przejściu układy słabozakrzywione, pochodna tensora tensora prędkości jest równa w przybliżeniu jego pochodnej cząstkowej, a to wynika, że przestrzenie słabozakrzywione są prawie płaskie na podstawie własności {{linkWzór|P3c1|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} w równaniu geodezyjnym {{linkWzór|P2|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}}, i dlatego w {{LinkWzór|Ld2}} tensor prędkości można przenieść przed całką powierzchniową, czy objętościową, stąd więc dla infinitezymalnych prostopadłościanów na ściankach i w jego wnętrznuwnętrzu tensor prędkości jest wszędzie w przybliżeniu taki sam. Widzimy, że w układach słabozakrzywionych, że to prawo wygląda na to, że jest spełnione w przybliżeniu, a spełnioność w układach zakrzywionych nie jest wcale oczywista, czy jest spełnione. Ale spełnionośc obliczeń w {{linkWzór|Ld2}} w układach globalnie (lokalnie) płaskich jest prawdziwa, że na podstawie powyższego twierdzenia, wynik wychodzi też zero po przejściu do układów zakrzywionych (słabozakrzywionych).
*3. A oto przykład całki słuszne dla układów co najwyżej słabozakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
{{IndexWzór|<MATH>\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S(\rho_0 c^2+p)u^{\mu}u^jdS_j=0\Rightarrow \lim_{V\rightarrow}\int_V\left((\rho_0 c^2+p)u^{\mu}u_j\right)_{,j}dV=
Linia 164:
u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{d}\over{ds}}\left(\rho_0c^2+p\right)dV+(\rho_0c^2+p)\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{u^{\mu}}_{,j}u^jdV+(\rho_0c^2+p)u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{u^j}_{,j}dV=\;</MATH><BR><MATH>=u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{d}\over{ds}}\left(\rho_0c^2+p\right)dV+(\rho_0c^2+p)\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{u^{\mu}}_{,j}u^jdV+(\rho_0c^2+p)u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_Su^jdS_j=0\;</MATH>|Ld3a}}
Pierwszy wyraz ostatniej równości jest równy zero dzięki niezależności gęstości spoczynkowej {{LinkWzór|4.44abc|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} i niezależności ciśnienia {{LinkWzór|r6|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} względem interwału czasoprzestrzennego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Drugi wyraz w {{LinkWzór|Ld3a}} jest równy zero na podstawie przykładu {{linkWzór|Ld2}}.
Całka powierzchniowa (trzeci wyraz) jest dokładnie równa zero niezależnie jak by na to patrzeć w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości według globalnej (lokalnej) stałości tensora prędkości {{LinkWzór|W.9da|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}}, a więc przejście tej całki od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych wygląda na to, że daje nam w przybliżeniu zero, a więc wtedy wynikałoby, że całka {{LinkWzór|Ld3a}} w układach co najwyżej słabozakrzywionych jest równa co najwyżej w przybliżeniu zero ze względu na przybliżoną płaskość układów słabozakrzywionych, a więc wtedy symbole Christoffela są małe, a więc na ściankach nieskończenie małego prostopadłościanu tensory prędkości są w przybliżeniu takie same ze względu na własność {{linkWzór|P3c1|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}}, a więc wtedy pochodna tensorowa jest w przybliżeniu równa pochodnej cząstkowej, a w równaniu geodezyjnym {{linkWzór|P2|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} według własności przestrzeni słabozakrzywionej pochodna cząstkowa tensora prędkości jest równa tylko w przybliżeniu zero, ale jest za to nierówna dokładnie tam zero. Ale ze względu na to twierdzenie, jeżeli całko trzecia w {{LinkWzór|Ld3a}} jest równa zero w układfach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, to w układach słabozakrzywionych (zakrzywionych) też jest równa zero.
 
==Gęstość tensora (wielkości wskaźnikowej) siły w przypadku relatywistycznego (szczególna teoria względności) i nierelatywistycznego (mechanika Newtona) ruchu płynu i punktów==
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Szczególna_teoria_względności/Tensory_w_czasoprzestrzeni”