Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 2:
Przestrzeń jest opisana n współrzędnymi, która wraz ze współrzędną czasową tworzą n+1 współrzędnych, co w rezultacie otrzymujemy n+1 wymiarowy wektor.
==Czterowektor wielkości tensorowych==
Jest to tensor jednowskaźnikowy, w którym mamy współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne, np. dla tensora kontrawariantnego {{Formuła|<MATH>T^{\mu}\;</MATH>}} i kowariantnego {{Formuła|<MATH>T_{\mu}\;</MATH>}}, mamy czterowektor kontrawariantny i kowariantny na podstawie definicji tensora metrycznego podwójnie kowariantnego dla czasoprzestrzeni prostokątnej {{Formuła|<MATH>\eta_{\mu\nu}\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.76|Szczególna teoria względności/Transformacje
{{indexWzór|<MATH>T^{\mu}=\begin{bmatrix}T_t\\\vec T\end{bmatrix}=[T_t,T_x,T_y,T_z]^T\wedge T_{\mu}=T^{\nu}\eta_{\mu\nu}=\begin{bmatrix}T_t\\-\vec T\end{bmatrix}=[T_t,-T_x,-T_y,-T_z]^T\;</MATH>|G1}}
Linia 15:
Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia x<sup>μ</sup> {{LinkWzór|2.1}} względem interwału czasoprzestrzennego:
{{IndexWzór|<MATH>u^{\mu}={{dx^{\mu}}\over{ds}}\;</MATH>|2.2}}
*gdzie ds jest to różniczka interwału czasoprzestrzennego, którego kwadrat jest napisany w punkcie {{LinkWzór|1.74a|Szczególna teoria względności/Transformacje
===Szczególna teoria względności===
Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości {{LinkWzór|2.2}} wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla skończonego czasu jest zapisana wzorem {{LinkWzór|1.74a|Szczególna teoria względności/Transformacje
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>u^0={{dx^0}\over{ds}}={{cdt}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}=\gamma\;</MATH>|2.3}}|2={{IndexWzór|<MATH>u^i={{dx^i}\over{ds}}={{dx^0}\over{ds}}={{dx^i}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}={{v^i}\over{c}}\gamma\;</MATH>|2.4}}}}
Zbierając wnioski {{LinkWzór|2.3}} (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i {{LinkWzór|2.4}} (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:
Linia 24:
===Mechanika Newtona===
Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia x<sup>μ</sup> {{LinkWzór|2.1}} względem interwału czasoprzestrzennego, jest w takiej samej postaci jak w punkcie {{LinkWzór|2.2}}.
Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości {{LinkWzór|2.2}} wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla absolutnego czasu jest zapisana wzorem {{LinkWzór|1.80a|Szczególna teoria względności/Transformacje
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>u^0={{dx^0}\over{ds}}={{cdt}\over{cdt}}=1\;</MATH>|2.3a}}|2={{IndexWzór|<MATH>u^i={{dx^i}\over{ds}}={{dx^i}\over{cdt}}={{v^i}\over{c}}\;</MATH>|2.4a}}}}
Zbierając wnioski {{LinkWzór|2.3a}} (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i {{LinkWzór|2.4a}} (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:
Linia 33:
Będziamy tutaj badali własności interwału czasoprzestrzennego.
===Szczególna teoria względności===
Interwał czasoprzestrzenny definiujemy przy pomocy definicji tensora metrycznego Minkowskiego {{linkWzór|1.75|Szczególna teoria względności/Transformacje
{{IndexWzór|<MATH>ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}\Rightarrow 1=\eta_{\mu\nu}{{dx^{\mu}}\over{ds}}{{dx^{\nu}}\over{ds}}\;</MATH>|2.6}}
Jeśli wykorzystamy definicję n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie {{LinkWzór|2.2}}, to końcową tożsamość wynikową {{LinkWzór|2.6}} przepisujemy:
Linia 40:
{{IndexWzór|<MATH>1=u_{\nu}u^{\nu}\;</MATH>|2.8}}
===Mechanika Newtona===
Interwał czasoprzestrzenny wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego {{LinkWzór|1.77|Szczególna teoria względności/Transformacje
{{IndexWzór|<MATH>ds=cdt\Rightarrow 1={{dct}\over{ds}}={{dx^0}\over{ds}}=u^0\Rightarrow u^0=1\wedge v^0=u^0c=c\Rightarrow v^0=c\;</MATH>|2.8aa}}
Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.8aa}} w mechanice Newtona część czasowa tensora prędkości jest równe jeden, a wielkość wskaźnikowa czasowa też jest równa prędkości światła {{Formuła|<MATH>v^0=c\;</MATH>}}, co jest zgodne tez dla tej samej teorii ze wzorem {{linkWzór|2.5a}}.
Linia 65:
Będziemy się tutaj zajmowali transformacją tensora pędu, wektora pędu i energii relatywistycznej w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.
====Szczególna teoria względności====
Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu {{linkWzór|2.11}}, zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji {{LinkWzór|1.63a|Szczególna teoria względności/Transformacje
{{IndexWzór|<MATH>{p^'}^{\mu}=\begin{bmatrix}{{E^'_r}\over{c}}\\\vec{p}'\end{bmatrix}={M^{\mu}}_{\nu}p^{\nu}=\begin{bmatrix}
\gamma&-\gamma {{\vec{V}^T}\over{c}}A\\
Linia 74:
Mamy już transformację wektora pędu według {{LinkWzór|2.14}}, przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec p=\vec p_{||}+\vec p_{\perp}\;</MATH>}}:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\vec p_{||}^'=\gamma C_p\left(\vec p_{||}-m\vec V\right)\;</MATH>|2.15}}|2={{IndexWzór|<MATH>\vec p_{\perp}^'=C_{p}\vec p_{\perp}\;</MATH>|2.16}}}}
Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego {{LinkWzór|G0|Szczególna teoria względności/Transformacje
{{IndexWzór|<MATH>{\vec {p}^'_{\perp}}^2={\vec {p}^'}_{\perp}^TA^'{\vec p}^'_{\perp}=\vec p_{\perp}^TC_p^TA^'C_p\vec p_{\perp}=\vec p_{\perp}^TA\vec p_{\perp}=\vec p^2_{\perp}\Rightarrow {{\vec p}^'_{\perp}}^2=\vec p_{\perp}^2\Rightarrow |{\vec p}_{\perp}^'|=|\vec p_{\perp}|\;</MATH>|2.17}}
Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.
====Mechanika Newtona====
Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu {{linkWzór|2.111}}, zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji {{LinkWzór|1.63d|Szczególna teoria względności/Transformacje
{{IndexWzór|<MATH>{p^'}^{\mu}=\begin{bmatrix}{{E^'_0}\over{c}}\\\vec{p}'\end{bmatrix}={M^{\mu}}_{\nu}p^{\nu}=\begin{bmatrix}
1&0\\
Linia 89:
Mamy już transformację wektora pędu według {{LinkWzór|2.141}}, przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec p=\vec p_{||}+\vec p_{\perp}\;</MATH>}}:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\vec p_{||}^'=C_p\left(\vec p_{||}-m_0\vec V\right)\;</MATH>|2.151}}|2={{IndexWzór|<MATH>\vec p_{\perp}^'=C_{p}\vec p_{\perp}\;</MATH>|2.161}}}}
Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego {{LinkWzór|G0|Szczególna teoria względności/Transformacje
{{IndexWzór|<MATH>{\vec p^'_{\perp}}^2={{\vec p}^'_{\perp}}^TA^'\vec p^'_{\perp}=\vec p_{\perp}^TC_p^TA^'C_p\vec p_{\perp}=\vec p_{\perp}^TA\vec p_{\perp}=\vec p^2_{\perp}\Rightarrow {{\vec p}^'_{\perp}}^2=\vec p_{\perp}^2\Rightarrow |{\vec p}_{\perp}^'|=|\vec p_{\perp}|\;</MATH>|2.171}}
Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.
== Tensor siły w czasoprzestrzeni ==
N+1 wymiarowym wektorem siły nazywamy wielkość zdefiniowaną jako pochodną n+1 wymiarowego wektora pędu {{LinkWzór|2.8a}} względem linii światła, której różniczka jest zdefiniowana w punkcie {{LinkWzór|1.74a|Szczególna teoria względności/Transformacje
{{IndexWzór|<MaTH>K^{\mu}={{dp^{\mu}}\over{ds}}\;</MATH>|2.18}}
===Szczególna teoria względności===
Linia 149:
==Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych (zakrzywionych)==
A oto bardzo ważne twierdzenie matematyczne potrzebne do udowadniania fizyki (mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności) słuszne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych), które będziemy stosować.
{{Twierdzenie|Jakie=pomijania wyrazów tensorowych i skalarów w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych)|Tekst=W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli wyraz jest dokładnie równy zero z właściwości tego układu, i wymnożenie tych elementów przez macierz transformacji {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}} (popatrz na definicję macierzy transformacji {{LinkWzór|B5|Szczególna teoria względności/Transformacje
*1.A oto przykład funkcji, która w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równa zero:
{{IndexWzór|<MATH>u^{\mu}{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}=0</MATH>|Ld}}
W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości {{LinkWzór|Ld}} jest równa zero ze względu globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej {{LinkWzór|W.9da|Szczególna teoria względności/Dynamika ruchu ciał}} i globalną (lokalną) stałość tensora prędkości {{LinkWzór|4.44abc|Szczególna teoria względności/Dynamika ruchu ciał}}.
Przejdźmy do układów słabozakrzywionych, tzn. wymnażamy przez macierz transformcji {{LinkWzór|B5|Szczególna teoria względności/Transformacje
{{IndexWzór|<MATH>{\overline\Lambda^{\nu}}_{\mu}u^{\mu}{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}=\overline u^{\nu}{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}=0\;</MATH>|Ld1}}
Wyraz w {{LinkWzór|Ld1}} jest równy zero ze względu, że wyraz {{Formuła|<MATH>{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}=0\;</MATH>}} w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równy zero.
| |||