Metody matematyczne fizyki/Rachunek tensorowy: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 57:
==Wykorzystanie tensora metrycznego prostego lub odwrotnego w działaniach na zwykłych tensorach==
Aby zamienić zwykły tensor lub tensor metryczny z jego wersji kowariantnej do kontrawariantnej lub odwrotnie, postępujemy wedle schematów:
{{FlexRowElastycznyWiersz|1={{indexWzór|<MATH>A^p=A_sg^{sp}\;</MATH>|2.14}}|2={{IndexWzór|<MATH>A_p=A^sg_{sp}\;</MATH>|2.15}}}}
Jeśli zwykły tensor ma kilka wskaźników, składających się ze wskaźników dolnych lub górnych albo składających się ze wskaźników jednocześnie górnych i dolnych, to możemy je przenosić z góry na dół lub odwrotnie, wykorzystując podobne przedstawienia do {{LinkWzór|2.14}} lub {{linkWzór|2.15}}.
 
Linia 65:
{{\partial p^m}\over{\partial p^k}}={\delta^m}_{k}={\delta_k}^m</MATH>|2.16}}
Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.16}} dochodzimy do wniosku, że prawdziwe są poniższe wzory na tensor metryczny kowariantno-kontrawariantny i na tensor metryczny kontrawariantno-kowariantny:
{{FlexRowElastycznyWiersz|1={{IndexWzór|<MATH>{g_k}^{m}={\delta_k}^m</MATH>|2.17}}|2={{IndexWzór|<MATH>{g^m}_k={\delta^m}_k</MATH>|2.18}}}}
Macierz g<sup>m</sup><sub>k</sub> jest macierzą diagonalną i jednostkową, a także tensor jako macierz g<sub>ij</sub> jest macierzą odwrotną do macierzy (tensora) g<sup>ij</sup> wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|2.16}}.
 
Linia 162:
{{IndexWzór|<MATH>\phi_{,i,j}={{\partial}\over{\partial x^{i}}}{{\partial}\over{\partial x^{j}}}\phi\;</MATH>|2.50}}
Można udowodnić, z warunku że zwykła pochodna funkcji jest tensorem stopnia zerowego, że jego pochodna cząstkowa jest także tensorem, zatem możemy napisać dwie tożsamości, z których będziemy korzystać w dalszych krokach naszego rozważania:
{{FlexRowElastycznyWiersz|1={{IndexWzór|<MATH>\phi_{;i;j}=\phi_{;j;i}\;</MATH>|2.51}}|2={{indexWzór|<MATH>\phi_{,i}=\phi_{;i}\wedge \phi_{,j}=\phi_{;j}\;</MATH>|2.52}}}}
Z definicji pochodnej kowariantnej oraz korzystając z faktu, że pochodna cząstkowa zwykłej funkcji jest tensorem, dochodzimy:
{{IndexWzór|<MATH>\phi_{,i,j}-\phi_{,k}{\Gamma^{k}}_{ij}=\phi_{,j,i}-\phi_{,k}{\Gamma^{k}}_{ji}\;</MATH>|2.53}}
Linia 194:
{{IndexWzór|<MATH>dA=d\left[\left(A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)\right]=d\left(A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}\right)\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\left(\sum^r_{q=1}A^{...,k_{q-1},k_q,k_{q+1},...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}de_{k_q}\prod^r_{i=1,i\neq q}e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\;</MATH><BR><MATH>+\left(\sum^m_{q=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{q-1},r_q,r_{q+1},...}de^{r_q}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1,i\neq q}e^{r^i}\right)\;</MATH>|2.62}}
Teraz skorzystajmy z definicji symboli Christofela, czyli ze wzorów {{LinkWzór|2.24}} i {{LinkWzór|2.25}}, aby dojść do wniosku, że różniczki zupełne wektorów kowariantnych i kowariantnych wyrażają się jak poniżej:
{{FlexRowElastycznyWiersz|1={{IndexWzór|<MATH>de_q={{\partial e_q}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_l e_q dx^l={\Gamma^k}_{lq}e_kdx^l\;</MATH>|2.63}}|2={{IndexWzór|<MATH>de^q={{\partial e_q}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_le^qdx^l=-{\Gamma^q}_{lk}e^kdx^l\;</MATH>|2.64}}}}
A zatem wzór na różniczką wielkości A przedstawia się na podstawie wzoru {{linkWzór|2.62}} do którego podstawiamy dwie tożsamości {{LinkWzór|2.63}} i {{LinkWzór|2.64}}, wtedy dostajemy:
{{IndexWzór|<MATH>dA={{\partial A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}}\over{\partial x^l}}dx^l\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\sum^r_{i=1} A^{...,k_{i-1},q,k_{i+1},...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}{\Gamma^{k_i}}_{lq}dx^l\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}+\;</MATH><BR><MATH>-\sum^m_{i=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}{\Gamma^{q}}_{lr_i}\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}dx^l\right)\;</MATH>|2.65}}
Linia 202:
{{IndexWzór|<MATH>A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m;l}={{\partial A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_q,r_2,r_3,..,r_m}}\over{\partial x^l}}+\sum^r_{i=1}A^{...,k_{i-1},q,k_{i+1}...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}{\Gamma^{k_i}}_{lq}-\sum^m_{i=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}{\Gamma^q}_{lr_i}\;</MATH>|2.67}}
Dla tensorów dwu-wskaźnikowych górnych lub dolnych podamy ogólny wzór określony według wzoru {{linkWzór|2.67}}, dla przykładów poniżej:
{{FlexRowElastycznyWiersz|1={{indexWzór|<MATH>{A^{ij}}_{;l}={{\partial A^{ij}}\over{\partial x^l}}+A^{qj}{\Gamma^i}_{lq}+A^{iq}{\Gamma^j}_{lq}\;</MATH>|2.68}}|2={{indexWzór|<MATH>A_{ij;l}={{\partial A_{ij}}\over{\partial x^l}}-A_{kj}{\Gamma^k}_{li}-A_{ik}{\Gamma^k}_{lj}\;</MATH>|2.69}}}}
Dla tensora dwuwskaźnikowego górno-dolnego podamy ogólny wzór według wzoru {{linkWzór|2.67}}, które zapisujemy:
{{IndexWzór|<MATH>{A^i}_{j;l}={{\partial {A^i}_j}\over{\partial x^l}}+{A^{m}}_j{\Gamma^i}_{lm}-{A^{i}}_m{\Gamma^{m}}_{lj}\;</MATH>|2.70}}
Linia 220:
==Wyznaczanie symboli Christoffela==
Ponieważ pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa wzorowi {{LinkWzór|2.75}}, to wykorzystując przy okazji wzór {{linkWzór|2.69}}, możemy powiedzieć, że:
{{FlexRowElastycznyWiersz|1=<strong>(j,r,l)-></strong>|2={{indexWzór|<MATH>{{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}-{\Gamma^k}_{lj}g_{kr}-{\Gamma^k}_{lr}g_{jk}=0\;\;</MATH>|2.76}}|_1=width:auto;}}
Poprzez permutację wskaźników we wzorze {{linkWzór|2.76}} otrzymujemy dwa dalsze równania dostajemy trzy równania z powyższym, z których mamy zamiar wyznaczyć tensor Christoffela:
{{FlexRowElastycznyWiersz|1=<Strong>(r,l,j)-></strong>|2={{IndexWzór|<MATH>{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{\Gamma^k}_{jr}g_{kl}-{\Gamma^k}_{jl}g_{rk}=0\;\;</MATH>|2.77}}|_1=width:auto;}}
{{FlexRowElastycznyWiersz|1=<strong>(l,j,r)-></strong>|2={{IndexWzór|<MATH>{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}-{\Gamma^k}_{rl}g_{kj}-{\Gamma^k}_{rj}g_{lk}=0\;\;</MATH>|2.78}}|_1=width:auto;}}
Następnie dwa pierwsze równania dodajemy do siebie, a ostatnie od otrzymanego odejmujemy i zastępując wskaźnik niemy przy symbolu Christoffer'a z k na p, dochodzimy do wniosku:
{{IndexWzór|<MATH>{{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}-2{\Gamma^p}_{lj}g_{pr}=0\;\;</MATH>|2.79}}
Linia 351:
Poniżej traktujemy jako zmienne g<sub>im</sub> i jego pochodne cząstkowe względem współrzędnych, co wtedy
można udowodnić, że na pewno zachodzą własności powiedziana poniżej, bo tensor czterowskaźnikowy krzywizny {{LinkWzór|2.101}} i jego pochodna zawierają w sobie kolejno drugie i trzecie pochodne podwójnie kowariantnego tensora metrycznego względem współrzędnych, co z definicji pochodnej złożonej znana ze szkoły średniej przedstawiamy te własności jako:
{{FlexRowElastycznyWiersz|1={{indexWzór|<MATH>{{\partial R_{imnl}}\over{\partial g^{im}}}=0\;</MATH>|2.123a}}|2={{indexWzór|<MATH>{{\partial R_{imnl,p}}\over{\partial g^{im}}}=0\;</MATH>|2.123b}}}}
Poniżej traktujemy jako zmienne g<sup>im</sup> i jego pochodne cząstkowe względem współrzędnych.
Z wiadomości pochodzących z analizy matematycznej możemy napisać tożsamość matematyczną, która będą przydatne do dalszych obliczeń w celu maksymalnego uproszczenia tożsamości {{linkWzór|2.122}} wykorzystując udowodnioną tożsamość {{LinkWzór|2.123a}} i {{LinkWzór|2.123b}}:
Linia 372:
A skalar Ricciego można zdefiniować poprzez tensor Ricciego {{LinkWzór|2.129}} wedle sposobu podanego poniżej lub inaczej wyrażając w tym samym wzorze tensor Ricciego poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny:
{{IndexWzór|<MATH>R=g^{ln}R_{ln}=g^{ln}g^{km}R_{klmn}\;</MATH>|2.130}}
<noinclude>{{kreska nawigacja|Metody matematyczne fizyki{{AktualnaKsiążka}}|Układ współrzędnych{{NastępnyArtykuł}}|Działania na wektorach{{PoprzedniArtykuł}}}}</noinclude><noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>