Metody matematyczne fizyki/Wprowadzenie do funkcji zespolonej: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Linia 37:
 
Policzmy teraz dla funkcji zespolonej pochodną funkcją f względem liczby z, a także pochodną tej samej funkcji co poprzednio, ale względem liczby zespolonej sprzężonej do niego, co matematycznie te dwie pochodne piszemy:
{{ElastycznyWiersz
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>{{\partial f}\over{\partial z}}={{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}-i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\;</MATH>|8.9}}
|{{IndexWzór|<MATH>{{\partial f}\over{\partial\overline{z}}}={{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}+i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\;</MATH>|8.10}}
|}}
Wprowadzając oznaczenia {{linkWzór|8.9}} i {{LinkWzór|8.10}} do wzoru {{LinkWzór|8.7}}, wtedy on przechodzi w:
{{IndexWzór|<MATH>df={{\partial f}\over{\partial z}}dz+{{\partial f}\over{\partial\overline{z}}}d\overline{z}\;</MATH>|8.11}}
Linia 48:
{{IndexWzór|<MATH>{{\partial f}\over{\partial\overline{z}}}={{1}\over{2}}\left[\left({{\partial u}\over{\partial x}}+i{{\partial v}\over{\partial x}}\right)+i\left({{\partial u}\over{\partial y}}+i{{\partial v}\over{\partial y}}\right)\right]={{1}\over{2}}\left[{{\partial u}\over{\partial x}}-{{\partial v}\over{\partial y}}+i\left({{\partial v}\over{\partial x}}+{{\partial u}\over{\partial y}}\right)\right]\;</MATH>|8.13}}
Aby funkcja f była funkcją holomorficzną, to na podstawie wzoru końcowego {{LinkWzór|8.13}} muszą być spełnione związki:
{{ElastycznyWiersz
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>{{\partial u}\over{\partial x}}={{\partial v}\over{\partial y}}\;</MATH>|8.14}}
|{{IndexWzór|<MATH>{{\partial u}\over{\partial y}}=-{{\partial v}\over{\partial x}}\;</MATH>|8.15}}
|}}
 
==Całkowanie we przestrzeni funkcji zespolonych==