Metody matematyczne fizyki/Rachunek wariacyjny: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 24:
==Równanie Eulera-Lagrange'a==
Rozpatrzmy, że minimum funcjonału jest napisane dla funkcji y<sub>o</sub> i dalej weźmy funkcję y, która różni się od funkcji y<sub>0</sub> niewiele, zatem funkcję y możemy zapisać jako y=y<sub>o</sub>+&delta;y Zakładamy, że wariacja jest na końcach, czyli w punktach a i b, jest równa zero, co matematycznie &delta;y(a)=&delta;y(b)=0 na końcach, w których liczymy naszą całkę {{linkWzór|17.1}}, zatem wariacje &delta;y' i &delta;y są o wiele mniejsze kolejno niż funkcje |y<sup>'</sup>(x)| i |y<sub>0</sub>(x)|, co matematycznie piszemy je dla x&isin;(a,b) równaniami:
{{FlexRowElastycznyWiersz|1={{IndexWzór|<MATH>|\delta y(x)|<<|y_0(x)|\;</MATH>|17.8}}|2={{indexWzór|<MATH>|\delta y^'(x)|<<|y^'(x)|\;</MATH>|17.9}}}}
Rozwińmy funkcję F w szereg Taylora względem ziennych &delta;y i &delta;y' wokół punktu y i y', wiedząc, że te różniczki są bardzo małe, zatem możemy ograniczyć się do części liniowej naszego rozwinięcia:
{{IndexWzór|<MATH>F(x,y,y^')=F(x,y_0,y_0^')+{{\partial F}\over{\partial y}}\delta y+{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta y^'\;</MATH>|17.10}}
Linia 40:
{{IndexWzór|<MATH>F^*=F+\sum_j\lambda_j\phi_j\;</MATH>|17.14}}
Mając już nową funkcję {{linkWzór|17.14}} i aby wyznaczyć funkcję szukaną y, należy podstawić tą wspomnianą funkcję do {{linkWzór|17.1}} i w ten sposób możemy określić funkcjonał L<sup>*</sup>, i wtedy dla tak obranego funkcjonału możemy wykorzystać na samym końcu wzór {{linkWzór|17.13}} wynikająca zerowania się wariacji funkcjonału F<sup>*</sup>, wtedy to równanie różniczkowe możemy wykorzystać do znalezienia naszej szukanej funkcji y(x).
<noinclude>{{kreska nawigacja|Metody matematyczne fizyki{{AktualnaKsiążka}}|Transformacja Laplace'a{{NastępnyArtykuł}}|Grupy i ich reprezentacje{{PoprzedniArtykuł}}}}</noinclude><noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>