Mechanika kwantowa/Proste przykłady zagadnień kwantowomechanicznych: Różnice pomiędzy wersjami

\end{cases}\;</MATH>|11.11}}

Funkcjami równania własnego równania niezależnego od czasu są zatem dwa rozwiązania dla {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} parzystego (pierwsze rozwiązanie w {{LinkWzór|11.11}}) i nieparzystego (drugie rozwiązanie w {{LinkWzór|11.11}}), które można je połączyć w jedno rozwiązanie dla n naturalnego (bez zera) do {{LinkWzór|11.12}}, które rozkładamy z definicji funkcji trygometrycznych do {{LinkWzór|11.13}}, które jak widzimy dla odpowiednich {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} przechodzi w {{LinkWzór|11.11}}. Przykładowe wykresy dla n=1, n=2 i n=3 są wykreślone na rysunkach w {{LinkGrafika|wk11}}, {{LinkGrafika|wk2}} i {{LinkGrafika|wk3}}.

|2={{IndexGrafika|Nieskończona studnia_kwantowa dla rozwiązania parzystego (n&#61;2) dla a&#61;1 (wykres funkcji falowej).png|wk2|Nieskończona studnia kwantowa dla rozwiązania parzystego (n&#61;2) dla a&#61;1 (wykres funkcji falowej)|Pozycja=center}}

|3={{IndexGrafika|Nieskończona studnia kwantowa dla rozwiązania nieparzystego (n&#61;3) dla a&#61;1 (wykres funkcji falowej).png|wk3|Nieskończona studnia kwantowa dla rrozwiązania nieparzystego (n&#61;3) dla a&#61;1 (wykres funkcji falowej)|Pozycja=center}}

{{IndexWzór|<MATH>\psi(x)=Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x}\;</matH>|11.16}}

Równanie własne {{LinkWzór|11.15}} powinno być słuszne dla obszaru 1 i 3, czyli była całkowalna z kwadratem, to musi zachodzić warunek:

Widzimy, że dla zakresu obowiązywania tych funkcji, tzn. {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}} powyższe funkcje nie mają wartości nieskończonej.

 

{{IndexWzór|<MATH>\psi_2=A_2\cos kx+B_2\sin kx\;</MATH>|11.22}}

Na granicy obszarów 1 i 2 oraz 2 i 3 funkcje oraz jego pochodne muszą być ciągłe, tzn. muszą zachodzić związki:

Na podstawie powyższych warunków otrzymujemy układ równań:

{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}

{{IndexWzór|<MATH>\left(-k\sin ka+\kappa\cos ka\right)\left(k\cos ka+\kappa\sin ka\right)=0\;</MATH>|11.29}}

Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|11.29}} jest takie, że po skorzystaniu przy tym z twierdzenia o alternatywie równań, to rozwiązaniem powyższego równania są dwa równania łączące parametry k z parametrem &kappa;, których te parametry zależą od energii cząstki kwantowej, więc dojdziemy do wniosku później, że energia cząstki jest skwantowana (dyskretna) w stanach związanych.

====Współczynniki rozwiązań parzystych====

Aby układ równań {{LinkWzór|11.27}} dla rozwiązań parzystych miał rozwiązania w postaci niezerowych stałych, to musi być spełniona zależność {{LinkWzór|11.30}}.

{{IndexWzór|<MATH>\xi=ka\;</MATH>|w1}}

wtedy wzory na zmienną {{Formuła|<MATH>\eta\;</MATH>}} dla rozwiązań parzystych i nieparzystych piszemy:

Mając na uwadze wzory na stany energetyczne dla rozwiązań parzystych {{linkWzór|11.30}} i nieparzystych {{LinkWzór|11.31}}, wtedy dla nich mając na uwadze {{LinkWzór|11.41}} wykorzystując {{LinkWzór|w1}} oraz {{LinkWzór|w2}} (rozwiązania parzyste) i {{LinkWzór|w3}} (rozwiązania nieparzyste), mamy:

{{IndexWzór|<MATH>\eta^2+\xi^2=C^2\;</MATH>|w4}}

{{IndexWzór|<MATH>-{{\hbar^2}\over{2m}}{{d^2}\over{dx^2}}\psi-U\psi=E\psi\Rightarrow {{d^2}\over{dx^2}}\psi=-{{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}\psi\;</MATH>|11.54}}

W ostanich dwóch równaniach wprowadźmy dwie stałe, które są zależne od dodatniej energii układu stanu rozproszeniowego i ta druga stała jest zależna od głębokości studni potencjału U, są one napisane wedle:

Prz definicjach stałych {{LinkWzór|11.55}}({{Formuła|<MATH>k^2\;</MATH>}}) i {{LinkWzór|11.56}}({{Formuła|<Math>\kappa^2\;</MATH>}}) równania różniczkowe {{LinkWzór|11.53}} (stan 1 i 3) i {{LinkWzór|11.54}} (stan 2) przyjmują wygląd:

Rozwiązania dla wszystkich obszarów wedle dwóch ostatnich rozwiązań są przedstawiane:

{{IndexWzór|<MATH>\psi(x)=\begin{cases}

====Współczynnik odbicia i transmisji====

Współczynniki odbicia R i transmisji T definiujemy za pomocą kwadratów modułów odpowiednich stałych występujące w rozwiązaniu falowym równania niezależnego od czasu dla stanów rozproszeniowych, zatem współczynnik odbicia jest to stosunek kwadratu modułu stałej B przez kwadrat modułu stałej A, a współczynnik transmisji jest to stosunek kwadratu modułu stałej F przez kwadrat modułu stałej A. Należy zauważyć, że stałe B i F trzeba wyrazić przez stałą A, co o tym będziemy pamiętać i tak będziemy robić.

Widzimy, że przy wybranej metodzie dla funkcji falowych tracimy jego metodę probabilistyczną, tzn. nie możemy liczyć prawdopodobieństwa znalezienia pewnej cząstki w specjalnie obranym obszarze.

Ciągłość funkcji i jej pochodnych będziemy badać dla punktu x=-a i x=a. Zatem ciągłość funkcji falowych dla x=-a prowadzi do warunku:

1+\sin^2(2\kappa a){{1}\over{4}}\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)^2\;</math>|11.75}}

Współczynniki odbicia {{LinkWzór|11.60}} (R) zdefiniowanej przy pomocy {{LinkWzór|11.74}} i transmisji {{LinkWzór|11.61}} (T) przy pomocy {{LinkWzór|11.72}} przedstawiają się:

{{1}\over{4}}\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)^2\sin^2 2\kappa a}\over{1+\sin^2(2\kappa a){{1}\over{4}}\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)^2}}\;</MaTH>|11.76}}|2={{IndexWzór|<MATH>T={{1}\over{1+\sin^2(2\kappa a){{1}\over{4}}\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)^2}}\;</MATH>|11.77}}}}

Od razu widać, że współczynniki odbicia {{LinkWzór|11.76}} i transmisji {{LinkWzór|11.77}}, co jest trywialne, spełniają na pewno nastepującą zależność:

\sqrt{1+{{U}\over{E}}}>>1\Rightarrow {{k}\over{\kappa}}<<1\;</MaTH>|11.89}}

Przy warunku {{LinkWzór|11.89}} współczynnik odbicia R {{LinkWzór|11.76}} i transmisji T {{LinkWzór|11.77}} dla rozpraszania niskoenergetycznego możemy zapisać wedle sposobu:

Gdy zachodzi {{Formuła|<MATH>E\rightarrow 0\;</MATH>}}, dochodzimy do wniosku, że {{Formuła|<MaTH>{{k}\over{\kappa}}\rightarrow 0\;</MATH>}}, co wynika ze wzoru {{LinkWzór|11.55}}, to przy tym założeniu współczynniki transmisji i odbicia spełniają warunki:

Dla rozpraszania niskoenergetycznego liczba cząstek odbitych od studni potencjału jest ich w istocie sto procent, a liczba cząstek przechodzących jest ich zero.

 

{{IndexWzór|<math>{{\kappa^2}\over{k^2}}={{E+U}\over{E}}\;</MATH>|11.94}}

wtedy te owe współczynniki "R" (odbicia) i "T" (transmisji) przedstawiamy dla bardzo dużej głębokości studni potencjału U w zaleności od energii cząstki "R", głębokości studni "U" i szerokości skończonej studni "a" w postaci:

Obok przedstawiono wykresy zależności współczynnika transmisji T od energii cząstki.

 

{{2\hbar}\over{a}}\sqrt{{{2E^{rez}}\over{m}}}{{a}\over{\pi\hbar}}\sqrt{{{2m}\over{U}}}={{4}\over{\pi}}\sqrt{{{E^{rez}}\over{V_0}}}<<1\;</MATH>|11.109}}

bo energia rezonansowa jest o wiele mniejsza niż głębokość studni przy rozpraszaniu niskoenergetycznym, zatem szerokość rezonansowa jest o wiele mniejsza niż odległość pomiędzy rezonansami.