Mechanika kwantowa/Zasada wariacyjna Schwingera: Różnice pomiędzy wersjami

{{IndexWzór|<MATH>G_{\Pi}=-{{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3x\Phi\delta\Pi\;</MATH>|31.27}}

Zastępując funkcję &Phi; przez operator położenia {{Formuła|<MATH>\hat{\Phi}\;</MATH>}}, a &Pi; przez operator pędu {{Formuła|<MATH>\hat{\Pi}\;</MATH>}}, otrzymujemy wzory na operatory {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\Phi}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\Pi}\;</MATH>}}, których definicja jest przestawiona w postaci całkowania względem współrzędnych przestrzennych:

Mając operator Schwingera {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\Phi}\;</MATH>}} możemy napisać, że wariacja operatora {{Formuła|<MATH>\hat{F}\;</MATH>}} jest równa wyrażeniu zbudowanej przy pomocy komutatora w sposób:

{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{F}=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{F},\hat{G}_{\Phi}]\;</MATH>|31.30}}

{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{\Phi}=-{{i\hbar}\over{2m_0 c^2}}\int d^3x[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Phi}(x_1,t)]\delta\hat{\Pi}(x_1,t)-{{i\hbar}\over{2m_0c^2}}\int d^3x[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Pi}(x_1,t)]\delta\hat{\Phi}(x_1,t)\;</MATH>|31.36}}

By tożsamość {{LinkWzór|31.36}} była spełniona, to powinny być spełnione tożsamości na operatorach "położenia", a podobnie zachodzi na operatorach "pędu":

 

==Zasada wariacyjna, a pole Diraca==

-{{i\hbar }\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\partial_{\mu}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\hat{\alpha}\delta\psi-{{1}\over{c}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\left({{i\hbar c}\over{2}}\psi\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\overline{\psi}+m_0c^2\overline{\psi}\right)\delta\psi=\;</MATH><BR><MATH>={{i\hbar }\over{2}}\left[\int d^3x_1\psi^{+}\delta\psi\right]^{\tau_2}_{\tau_1}-{{1}\over{c}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\left(i\hbar c\psi\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\overline{\psi}+m_0c^2\overline{\psi}\delta\psi\right)\;</MATH>|31.45}}

Drugi wyraz w {{LinkWzór|31.45}} jest równy zero według równania Diraca w mechanice kwantowej relatywistycznej {{LinkWzór|26.35|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, to powiemy, że zachodzą związki na funkcje skalarne na funkcję "pędu" i "położenia":

Operatorowo zastępując wielkości klasyczne jej wielkościami operatorowymi, tzn. zastępujemy &psi; operatorem "pędu" {{Formuła|<MATH>\hat{\psi}\;</MATH>}} a &psi;⁺ operatorem "pędu" {{Formuła|<MATH>\hat{\psi}^+\;</MATH>}}, wtedy możemy napisać operatory Schwingera, tzn. {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\psi}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\psi^+}\;</MATH>}}, które są całkami zbudowanej na operatorach "pedu" i "położenia" względem współrzędnych położenia w czteroprzestrzeni:

Napiszmy operator Schwingera w następującej postaci przy definicjach odpowiedników operatorowych do {{LinkWzór|31.48}} i {{LinkWzór|31.49}}, zatem:

{{IndexWzór|<MATH>\hat{G}=\hat{G}_{\psi}+\hat{G}_{\psi^+}\;</MATH>|31.50}}

\;</MATH>|31.52}}

We obliczeniach {{LinkWzór|31.52}} zauważamy, że zachodzą wnioski antykomutacyjne na operatorach "pędu" i "położenia", to przepisy tychże antykomutatorów są:

Wtedy wyrażenie {{LinkWzór|31.52}} przy pomocy {{LinkWzór|31.53}} możemy napisać w celu dowodu tego ostatniego, że tak jest:

{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{\psi}_{\alpha}(x,t)=\int\left\{\hat{\psi}_{\alpha},\hat{\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\right\}\delta\hat{\psi}_{\beta}+\int\{\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)\}d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)=\delta_{\alpha\beta}\delta\hat{\psi}_{\beta}+\int 0d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)=\delta\hat{\psi}(x,t)\;</MATH>|31.55}}

==Własności operatorów kreacji i anihilacji, a pole Kleina-Gordona==

Napiszmy rozwiązanie równania pola Kleina-Gordona i jego sprzężenie zespolone, przepisy ich są:

Wstawiamy równanie {{LinkWzór|31.58}} do równania pola Kleina-Gordona {{LinkWzór|26.30|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} dla przestrzeni trójwymiarowej, otrzymujemy:

{{IndexWzór|<MATH>-{{1}\over{c^2}}\omega^2+k^2=-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\Rightarrow

Założymy, że cząstka znajduje się w sześcianie o długości jakiegoś jednego bogu równym L.

Warunkami brzegowymi dla naszego przypadku są to przepisy zapisane jako:

Wszystkie te trzy warunki tzn. {{LinkWzór|31.61}}, {{LinkWzór|31.62}} oraz {{LinkWzór|31.63}} sprowadzają się do jednego równania dla współrzędnej j-tej wektora położenia dla j=1,2,3:

{{IndexWzór|<MATH>e^0=e^{ik_jL}\Rightarrow 0=k_jL-2\pi n_j\Rightarrow k_j={{2\pi}\over{L}}n_j\;</MATH>|31.64}}

Wektor falowy, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|31.64}}, możemy przestawić w postaci ogólnego wzoru przy pomocy trójki liczb całkowitych podanej też w tej linijce:

Rozwiązaniem równania Kleina-Gordona {{LinkWzór|26.30|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, możemy napisać w bazie na funkcjach {{Formuła|<MATH>\Phi(\vec r,t)\;</MATH>}} {{LinkWzór|31.71}}, {{Formuła|<MATH>\Phi^{*}(\vec r,t)\;</MATH>}} {{LinkWzór|31.72}}, przyjmuje postać:

{{IndexWzór|<MATH>\Phi(\vec{r},t)=\sum_k\left({{\hbar\omega_k L^3}\over{m_0c^2}}\right)^{-{{1}\over{2}}}\left(b_k^-\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)+b_k^+\exp(-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k t)\right)\;</MATH>|31.67}}

{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}^+_k,\hat{b}^+_{k^{'}}]=0\;</MATH>|31.83}}

W tym rozdziale otrzymaliśmy ogólne prawa komutacyjne operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów, które podaliśmy z dowodami, ale innym sposobami niż w rozdziale [[Mechanika_kwantowa/Wprowadzenie_do_interpretacji_fizycznych_operatorów#Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji bozonów|"Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji bozonów"]].