Metody matematyczne fizyki/Równania różnicowe liniowe: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 5:
==Równania różnicowe liniowe pierwszego rzędu==
Równanie różnicowe liniowe, pierwszego rzędu, możemy zapisać równaniem:
{{
Wszystkie współczynniki występujące we wzorze {{linkWzór|19.1}} są różne od zera, a zakres zmienności zmiennej ''n'' jest ograniczony, chociaż nie jest to warunek konieczny. Wprowadźmy nową zmienną, tak określoną:
{{
Wzór na zmienną y<sub>m</sub> wyznaczoną ze wzoru {{linkWzór|19.2}} podstawiamy do równania różnicowego {{linkWzór|19.1}} i, dzieląc obustronnie tak otrzymane równanie przez a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub>, dostajemy schemat:
{{
Ogólnym rozwiązaniem z<sub>n</sub> równania różnicowego wynikającym z końcowego związku {{LinkWzór|19.3}} jest równanie:
{{
Z równania {{linkWzór|19.4}} możemy wyznaczyć y<sub>m</sub> wynikające z równania {{LinkWzór|19.2}}.
Linia 22:
==Równania jednorodne różnicowe rzędu drugiego==
Podamy tutaj ogólne równanie różnicowego rzędu drugiego, który często stosowane jest w fizyce, jest to równanie w postaci:
{{
Rozwiązania tego równania poszukujemy w postaci funkcji potęgowej:
{{
Rozwiązanie {{linkWzór|19.6}} podstawiamy do równania {{LinkWzór|19.5}}, i dzieląc tak otrzymane równanie przez λ<sup>m</sup>, dochodzimy do równania kwadratowego:
{{
Z równania {{LinkWzór|19.7}} możemy otrzymać parametr λ, który przedstawia się w postaci dwóch wzorów zależnych od stałych a i b występujących w równaniu {{LinkWzór|19.5}}:
{{
Ogólnym rozwiązaniem równania {{LinkWzór|19.5}} jest równanie:
{{
Jesli dwa rozwiązania równania kwadratowego są takie same, czyli λ=λ<sub>1</sub>=λ<sub>2</sub>, to rozwiązaniem równania różnicowego {{linkWzór|19.5}} jest:
{{
Aby sprawdzić, czy rzeczywiście {{LinkWzór|19.10}} jest rozwiązaniem równania {{LinkWzór|19.5}}, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego {{linkWzór|19.7}} jest równy zero, podstawiamy nasze rozwiązanie do równania różnicowego i po podzieleniu przez λ<sup>n</sup> otrzymujemy:
{{
Równanie {{LinkWzór|19.11}} jest rozwiązaniem prawdziwym na mocy równania kwadratowego {{LinkWzór|19.7}} i wartości parametru {{Formuła|<MATH>\lambda={{1}\over{2}}a\;</MATH>}}, gdy rozwiązaniem tego równania {{LinkWzór|19.7}} są dwa jednakowe pierwiastki.
<noinclude>{{
|