Metody matematyczne fizyki/Równania różnicowe liniowe: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 5:
==Równania różnicowe liniowe pierwszego rzędu==
Równanie różnicowe liniowe, pierwszego rzędu, możemy zapisać równaniem:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>y_{n+1}-a_ny_n=b_n\;</MATH>|19.1}}
 
Wszystkie współczynniki występujące we wzorze {{linkWzór|19.1}} są różne od zera, a zakres zmienności zmiennej ''n'' jest ograniczony, chociaż nie jest to warunek konieczny. Wprowadźmy nową zmienną, tak określoną:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>z_m={{y_m}\over{a_1a_2...a_{m-1}}}\;</MATH>|19.2}}
 
Wzór na zmienną y<sub>m</sub> wyznaczoną ze wzoru {{linkWzór|19.2}} podstawiamy do równania różnicowego {{linkWzór|19.1}} i, dzieląc obustronnie tak otrzymane równanie przez a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub>, dostajemy schemat:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>z_{n+1}a_1a_2..a_{n}-z_na_na_1a_2...a_{n-1}=b_n \quad \Rightarrow \quad z_{n+1}-z_n={{b_n}\over{a_1}a_2...a_n}\Rightarrow z_{n+1}-z_n=c_n\mbox{,}\quad c_n={{b_n}\over{a_1a_2...a_n}}\;</MATH>|19.3}}
 
Ogólnym rozwiązaniem z<sub>n</sub> równania różnicowego wynikającym z końcowego związku {{LinkWzór|19.3}} jest równanie:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>z_n=C+c_1+c_2+..+c_{n-1}\;</MATH>|19.4}}
 
Z równania {{linkWzór|19.4}} możemy wyznaczyć y<sub>m</sub> wynikające z równania {{LinkWzór|19.2}}.
Linia 22:
==Równania jednorodne różnicowe rzędu drugiego==
Podamy tutaj ogólne równanie różnicowego rzędu drugiego, który często stosowane jest w fizyce, jest to równanie w postaci:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>y_{n+2}-ay_{n+1}+by_n=0\;</MATH>|19.5}}
 
Rozwiązania tego równania poszukujemy w postaci funkcji potęgowej:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>y_m=\lambda^m\qquad m=0,1,2,n,n+1,n+2,..\;</MATH>|19.6}}
 
Rozwiązanie {{linkWzór|19.6}} podstawiamy do równania {{LinkWzór|19.5}}, i dzieląc tak otrzymane równanie przez &lambda;<sup>m</sup>, dochodzimy do równania kwadratowego:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\lambda^2-a\lambda+b=0\;</MATH>|19.7}}
 
Z równania {{LinkWzór|19.7}} możemy otrzymać parametr &lambda;, który przedstawia się w postaci dwóch wzorów zależnych od stałych a i b występujących w równaniu {{LinkWzór|19.5}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\lambda_{1,2}={{1}\over{2}}\left(a\pm\sqrt{a^2-4b}\right)\;</MATH>|19.8}}
 
Ogólnym rozwiązaniem równania {{LinkWzór|19.5}} jest równanie:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>y_n=C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_2^n\;</MATH>|19.9}}
 
Jesli dwa rozwiązania równania kwadratowego są takie same, czyli &lambda;=&lambda;<sub>1</sub>=&lambda;<sub>2</sub>, to rozwiązaniem równania różnicowego {{linkWzór|19.5}} jest:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>y_n=(C_1+nC_2)\lambda^n\;</MATH>|19.10}}
 
Aby sprawdzić, czy rzeczywiście {{LinkWzór|19.10}} jest rozwiązaniem równania {{LinkWzór|19.5}}, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego {{linkWzór|19.7}} jest równy zero, podstawiamy nasze rozwiązanie do równania różnicowego i po podzieleniu przez &lambda;<sup>n</sup> otrzymujemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>(C_1+(n+2)C_2)\lambda^2-a(C_1+(n+1) C_2)\lambda+b(C_1+n C_2)=0\Rightarrow C_1(\lambda^2-a\lambda+b)+\;</MATH><BR><MATH>+C_2[(n+2)\lambda^2-a(n+1)\lambda+bn]=0\Rightarrow C_1(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2n(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2\lambda(2\lambda-a)=0\;</MATH>|19.11}}
 
Równanie {{LinkWzór|19.11}} jest rozwiązaniem prawdziwym na mocy równania kwadratowego {{LinkWzór|19.7}} i wartości parametru {{Formuła|<MATH>\lambda={{1}\over{2}}a\;</MATH>}}, gdy rozwiązaniem tego równania {{LinkWzór|19.7}} są dwa jednakowe pierwiastki.
 
<noinclude>{{kreskaKreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}</noinclude><noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>