Wstęp do fizyki jądra atomowego/Rozpraszanie cząstek na jądrze atomowym: Różnice pomiędzy wersjami

 

Całkowy przekrój czynny jest to iloraz prawdopodobieństwa zajścia reakcji oznaczonej przez λ przez jednostkę gęstości (stężenia cząstek Φ) i przez liczbę cząstek tarczy N.

Definicją 1 barn(b) jest 10^-24cm².

 

 

Różniczkowy przekrój czynny opisuje prawdopodobieństwo reakcji, w której cząstka produkt jest wysyłana w określonym kierunku (θφ) w elemencie kąta bryłowego dΩ, a jego definicja jest:

Definicja {{linkWzór|5.11}} nazywamy kątowym przekrojem czynnym.

Jeśli wykorzystamy definicję całkowego przekroju czynnego {{LinkWzór|5.1}}, to podstawiając to do wzoru {{linkWzór|5.2}}, otrzymujemy:

Jednostką kątowego różniczkowego przekroju czynnego jest bsr^-1.

*'''Energetyczny różniczkowy przekrój czynny'''

 

Zależność różniczkowego przekroju czynnego od energii cząstek wylatujących nazywamy energetyczny różniczkowym przekrojem czynnym, a jego definicja:

Jednostką energetycznego różniczkowego przekroju czynnego jest beV^-1.

 

==Wzbudzenie kulombowskie jądra==

Cząstka a zderza się z jądrem X i wyniku tego jądra X wzbudzają się:

W jądrze występuje bariera kulombowska, w której energia cząstki "a" jest ma tyle mała od tej bariery kulombowskiej, więc cząstka nie może wniknąć do jądra, gdy by wnikła, to by była reakcja, a nie rozpraszanie.

W wyniku rozpraszania {{linkWzór|5.5}} uzyskujemy jądro wzbudzone kosztem energii kinetycznej jakoby jądro X by miało, gdy by jądro nie zostało wzbudzone. Przekrój czynny na rozpraszanie pochodzi od promieniowania elektrycznego i magnetycznego, który to przekrój jest ich sumą przekrojów czynnych tychże promieniowań.

Przekrój czynny pochodzący od promieniowania elektrycznego jest o wiele większy niż pochodzący od promieniowania magnetycznego, tzn. &sigma;_if(El)>>&sigma;_if(Ml), wtedy człon pochodzący od pola magnetycznego możemy pominąć i &sigma;<Sub>if</sub> nosi nazwę wzbudzenia kulombowskiego, a nie wzbudzenia elektromagnetycznego. Przekrój czynny {{linkWzór|5.6}} wyrażamy wzorem w zależności od zredukowanego prawdopodobieństwa przejścia ze stanu niższego {{Formuła|<MATH>|i\rangle\;</MATH>}} do wyższego {{Formuła|<MATH>|f\rangle\;</MATH>}}:

Do równania {{linkWzór|5.7}} należy skorzystać ze wzoru na przekrój czynny {{linkWzór|5.1}}, a ona zależy od prawdopodobieństwa zajścia rozproszenia (reakcji) &lambda;, a &lambda; jest opisywane przez {{linkWzór|3.88|Wstęp_do_fizyki_jądra_atomowego/Rozpady_(przejścia,_przemiany)_jądrowe}}, która zależy od prawdopodobieństwa zredukowanego B(&sigma;l,i→f), co kończy dowód ostatniej równości. Prawdopodobieństwo zredukowane {{Formuła|<MATH>B(i\rightarrow f,\sigma l)\;</MATH>}} oznacza przejście ze stanu niższego do wyższego.

Zredukowane prawdopodobieństwo przejścia, ze stanu wyższego do niższego i odwrotnie są sobie równe, je przedstawiamy:

&sigma;<Sub>if</sub> są szczególnie duże w pomiarach nad jądrem parzysto-parzystym.

Na podstawie zredukowanych prawdopodobieństw przejścia możemy policzyć wewnętrzny moment kwadrupolowy.

Oczywiście, że zachodzi dla przejścia prostego i odwrotnego:

*gdzie {{Formuła|<MATH>\pi_i\;</MATH>}} to są np. liczby na rysunku {{LinkGrafika|5.1}}.

Dzięki prawdopodobieństwom zredukowanym możemy policzyć wewnętrzny moment kwadrupolowy.

 

==Rozpraszanie rezonansowe kwantów &gamma; przez jądra atomowe. Efekt Mössbauera==

Rozpraszanie rezonansowe rozpraszania kwantów &gamma; można zrealizować w sposób:

Widzimy, że kwant &gamma; zderza się z jądrem X i wyniku czego powstaje wzbudzone jądro X^*, później to jądro wysyła kwant &gamma; przechodząc do stanu podstawowego o takiej samej energii jak przed zderzeniem z nim. Dla jąder atomowych spowodowanie rozpraszania rezonansowego przy małej szerokości energetycznej jest trudne, bo wtedy jest znaczna energia odrzutu.

Aby nastąpiła absorpcja kwantu &gamma;, to energia kwantu musi być równa sumie energii pomiędzy dwoma kwantowymi poziomami w jądrze X i energii odrzutu samego jądra:

Z zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.10}}, to równanie możemy uzupełnić, korzystając z definicji energii kinetycznej jądra X:

Jeśli dodatkowo uwzględnimy, że pęd kwantu &gamma; jest przekazywany jadru X, który jest równy energii kwantu &gamma; podzielonej przez prędkość światła, czyli p_&gamma;=E_&gamma;/c, co wynika z zasady zachowania pędu, to:

Patrząc na wzór {{LinkWzór|5.12}} możemy powiedzieć, że energia odrzutu jądra X, w wyniku zderzenia jego z fotonem jest równa ilorazowi kwadratu energii kwantu &gamma; zderzającego się z jądrem przez podwojoną energię spoczynkową jądra X, jest napisana:

Dla uzyskania rezonansu dla emisji i absorpcji klwantu &gamma; należy skompensować {{Formuła|<MATH>2E_{od}={{2E_0^2}\over{2M_xc^2}}=10^{-2}eV\;</MATH>}} energii.

Dla jąder atomowych rozpraszanie rezonansowe jest trudno zrealizować z powodu małej szerokości energetycznej poziomów jądrowych i znacznej energii odrzutu {{linkWzór|5.13}} jądra przy emisji kwantu &gamma;. Naturalna szerokość, wynika z nieoznaczności czasu i energii, jest pisana poprzez wzór:

Dla przejść jądrowych szerokość połówkowa energii dla nieokreśloności czasu zwykle 10^-15s&le;&tau;&le;10^-8s jest równa 5&sdot;10^-9eV&le;&Gamma;&le;5&sdot;10^-3eV. Energia odrzutu {{linkWzór|5.8}} jądra X osiąga, wtedy wartość od 0,1 do 10eV.

Np. dla ⁵⁷Fe szerokość naturalna linii &gamma; jest o energii 14,4keV, szerokość połówkowa jest &Gamma;=4,7&sdot;10^-9eV, przy emisji kwantu &gamma; o energii 14,4keV energia odrzutu jądra ⁵⁷Fe jest: {{Formuła|<MATH>E_{od}={{E^2_{\gamma}}\over{2Mc^2}}\simeq 2\cdot 10^{-3}eV\;</MATH>}}, wtedy E_od>>&Gamma; (blisko 10⁶ razy). Linie emisyjne nie pokrywają się z liniami absorpcyjnymi, tzn. energia pochłoniętego fotonu, której częstość nie pokrywa się z częstotliwością emisji kwantów &gamma;. Przejścia optyczne występują dla szerokości połówkowej &Gamma;&asymp;10<sup>-8</SUP>eV, dla której energia odrzutu jest E_od&asymp;10^-10eV, co wtedy energia odrzutu jest o wiele mniejsza niż szerokość połówkowa energii stanu wzbudzonego jądra X, który pochłonął kwant &gamma;, tzn. &Gamma;>>E_od.

===Ruchy termiczne jąder atomowych, a emisja kwantu &gamma;===

Naturalna szerokość linii &gamma; jest powiększona o efekt Dopplera związanego z ruchem termicznym jądra, jeśli będziemy rozpatrywać składową p_t w kierunku emisji kwantu &gamma;, to z zasady zachowania możemy powiedzieć:

Jeśli wykorzystamy, że pęd kwantu &gamma; jest równa ilorazowi energii kwantu &gamma; i prędkości światła, czyli p_&gamma;=E_&gamma;/c, wtedy równość {{linkWzór|5.10}} możemy przepisać do postaci:

Jeśli &Delta;E_&gamma;=E_od, to energia kwantu &gamma; w zjawisko, w którym nie ma odrzutu jądra, wtedy zachodzi E_&gamma;=E₀ i &Delta;E<sub>&gamma;</SUB> ma rozkład Boltzmanowski i następuje poszerzenie dopplerowskie linii emisyjnej (absorpcyjnej),dla temperatury pokojowej dla szerokości D=0,05eV, tzn. E_od, a więc wtedy w tym przypadku linie emisyjne i absorpcyjne pokrywają się częściowo, wtedy proces rezonansowy staje się możliwy. To pokrycie jest zwykle bardzo małe.

 

===Poszerzenie linii emisyjnej i absorpcyjnej przy obracającym się źródle===

Obszar linii emisyjnej i absorpcyjnej można istotnie zwiększyć w wyniku przesunięcia dopplerowskiego przez umieszczenie źródła kwantów &gamma; źródła na ruchomej tarczy, nadanie określonej prędkości jąder X w kierunku emisji kwantów &gamma;, wtedy poszerzenie linii jest równe iloczynowi energii emitowanego kwantu &gamma; przez iloraz prędkości źródła i prędkości światła:

Przy energii odrzutu mniejszej od energi kwantu &gamma; (E_od>E_&gamma;.

Wzór {{linkWzór|5.17}} podobnie możemy wyprowadzić jak dla termicznego poszerzenia linii {{linkWzór|5.16}}.

===Zjawisko Mössbauera===

Zjawisko Mössbauera jest to bezodrzutowa emisja i absorpcja kwantu &gamma;. W 1958 niemiecki fizyk R. Mössbauer zauważył, że bezodrzutowa emisja i absorpcja kwantu &gamma; istnieje w bardzo w niskich temperaturach, co jest związane z siecią krystaliczną. Przy tym faktach obserwowana linia &gamma; nie wykazuje poszerzenia dopplerowskiego, co za tym idzie:

Co wynika, że jądro w niskich temperaturach nie może przyjąć dowolnej energii, tylko te skwantowane. Jeżeli {{Formuła|<math>E_{od}<\hbar\omega_f\;</MATH>}} drgania nie mogą zostać wzbudzone, i energia nie może zostać przyjęta przez jądro w sieci krystalicznej, bo to jest układ sztywny, tylko może zostać przyjęta na wzbudzenie jądra i energię odrzutu przyjęta przez całą sieć, bo energia odrzutu napisana poprzez wzór {{linkWzór|5.8}} jest o wiele mniejsza niż poszerzenie linii absorpcyjnej i emisyjnej, co w konsekwencji E_od<<&Gamma;.

Stosunek liczby kwantów &gamma; wyemitowanych bezodrzutowo do całkowitej liczby kwantów wyemitowanych nazywamy czynnikiem Debey'a-Wallera f, który może być obliczony na gruncie dopplerowskiego modelu sieci krystalicznej przy temperaturze Debye'a {{Formuła|<MATH>\hbar\Theta_D=\hbar\omega_f^{max}\;</MATH>}}, gdzie &omega;<Sup>max</sup> jest to maksymalna częstość fononów. Czynnik f jest tym większy czym mniejsza jest energia odrzutu E_od, im wyższe jest temperatura Debye'a &Theta;<Sub>D</sub>, im mniejsza jest temperatura kryształu.

 

==Nierelatywistyczne rozpraszanie elastyczne==

Rozpraszaniem Rutheforda nazywamy rozpraszanie elastyczne cząstki "a" w polu kulomboskim jądra atomowego X(a,a)X na potencjale elektrycznym (dla &kappa;>0), wtedy potencjał odpychający wyrażamy:

Będziemy się tutaj ograniczali do małych energii jądra atomowego, tak by przybliżenie nierelatywistyczne miało sens, cząstka "a" ma na tyle małą energię, by cząstka "a" nie mogła wejść do jadra by zaszła reakcja. Pomijamy tutaj krótkozasięgowe siły jądrowe. Przyjmijmy natomiast, że masa jądra M_X jest o wiele większa niż masa cząstki o masie "m" oddziaływając z jądrem, wtedy mamy w przybliżeniu układ środka masy. Równanie toru cząstki "m" w układzie biegunowym jest:

Napiszmy teraz całkowitą energię mechaniczną cząstki "a" zderzającego się elastycznie z jądrem, którą przedstawiamy wedle wzoru {{linkWzór|1.141|Mechanika_teoretyczna/Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego|MT}}, z którego wyprowadzimy wzór na kwadrat mimośródu elipsy:

W prowadźmy teraz definicję parametru b=l/m przy definicji energii kinetycznej znajdującej się w nieskończoności, czyli {{Formuła|<MATH>p=\sqrt{2m_aE_a}\;</MATH>}}, wtedy wzór {{linkWzór|5.21}} przyjmuje postać:

Zamiast kąta biegunowego będziemy wprowadzali kąt rozproszenia &theta;, tzn. dla r→&infin; wprowadzając przy okazji &Phi;=&psi;/2, wtedy, jeśli przyjmować będziemy dodatkowo, że &psi;=&pi;-&phi;, wtedy mamy:

Wzór na kwadrat wielkości mimośrodu elipsy {{linkWzór|5.22}} możemy przyrównać z kwadratem wielkości {{linkWzór|5.23}}, z tak otrzymanej równości możemy wyznaczyć parametr "b" jako funkcję kąta rozproszenia &phi;, energii cząstki E_a, otrzymujemy:

Widzimy, że według {{linkWzór|5.24}}, że &phi; jest funkcją b i E_a, ale nie jest funkcją kąta azymutalnego &theta;. Opiszmy teraz przekrój czynny dla kątów (&phi;,&phi;+d&phi;), wtedy mamy:

Liczba cząstek w pierścieniu (b,b+db), które dochodzą z nieskończoności do układu z jądrem jest taka sama jak liczba cząstek po rozproszeniu na jądrze w pierścieniu (&phi;,&phi;+d&phi;), zatem możemy przyrównać te dwie ilości cząstek, otrzymujemy:

Mając wzór {{LinkWzór|5.24}}, który możemy podstawić do wzoru {{linkWzór|5.26}} za b, w ten sposób można otrzymać wzór:

Otrzymaliśmy taki sam wzór {{linkWzór|5.27}} jak w punkcie {{linkWzór|2.57|Mechanika_teoretyczna/Problem_zderzenia_cząstek|MT}} wyprowadzony dwoma różnymi sposobami. Jeśli będziemy przyjmować, ze centrum ma skończoną masę M_x, to energię kinetyczną cząstki w nieskończoności, w której to wielkości w jego definicji występuje masa, to należy tą masę zastąpić jej odpowiednikiem {{Formuła|<MATH>m_{SM}={{m_aM_X}\over{m_a+M_X}}\;</MATH>}}.

 

==Formalizm kwantowego opisu rozpraszania==

Rozpraszanie elastyczne nie zmienia struktury wewnętrznej cząstek, ich oddziaływanie prowadzi do względnego ruchu przy zachowaniu całkowitej energii kinetycznej. Potencjałem rozpraszania nazywamy sumę potencjału kulombowskiego i jądrowego.

Załóżmy, że rozpraszamy cząstki obojętne np. mezony, w tym przypadku potencjał kulombowski nie gra roli, wtedy całkowity potencjał rozpraszania piszemy:

Problem opisu cząstki polega na przyporządkowaniu jej funkcji falowej zależnej od czasu {{Formuła|<MATH>\psi(\vec{r},t)\;</MATH>}} spełniające równanie Schrödigera z potencjałem {{Formuła|<MATH>V(\vec{r},t)\;</MaTH>}}. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w elemencie objętości dV wokół punktu {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} w przestrzeni nazywamy wyrażenie:

Załóżmy, że problem rozpraszania nie zależy od czasu (opis stacjonarny), wtedy funkcję falową cząstki piszemy {{Formuła|<MATH>\psi_{czastki}=\psi(\vec{r})\;</MATH>}}, i cząstka biegnie wzdłuż osi zetowej. Zgodnie z mechaniką kwantową możemy jej przyporządkować określoną funkcję falową według wzoru wyprowadzonego w punkcie {{linkWzór|7.118|Mechanika_kwantowa/Postulat_drugi_mechaniki_kwantowej|MK}}:

Centrum rozpraszania jest źródłem kulistej fali rozproszonej, która nakłada się na falę płaską {{linkWzór|5.31}}, który przepisujemy z książki o [[Mechanika_kwantowa|mechanice kwantowej]] z punktu {{linkWzór|29.8|Mechanika_kwantowa/Asymptotyczne_właściwości_wektora_własnego_Hamiltonianu,_a_jego_przekroje|MK}}:

W dużej odległości od centrum rozpraszającego dla r<big>&#187;</big>r<sub>jądra</SUB> funkcja falowa opisująca cząstkę rozpraszaną na centrum rozpraszania pisanej przy pomocy czynnika normalizacyjnego jest sumą funkcji falowej fali płaskiej {{linkWzór|5.31}} i funkcji fali rozproszonej {{linkWzór|5.32}}:

 

==Model optyczny oddziaływania cząstka-jądro==

Aby obejść problem opisu wielu ciał w mechanice kwantowej opisujących jadro i nieznajomość potencjału oddziaływania cząstek nukleon-nukleon przy opisie reakcji na jądrze atomowym, a także opisu skomplikowanych oddziaływań między cząstką inicjującą reakcję jądrową (rozpraszanie lub reakcja właściwa), a oddziaływaniem z poszczególnymi nukleonami jądra tarczy, to całkowity potencjał oddziaływania cząstki inicjującej a poszczególnymi nukleonami w jądrze piszemy przy pomocy zespołu liczb kwantowych oznaczonych ogólnie &alpha;, które zapisujemy przez uśredniony potencjał fenomenologiczny:

Oddziaływanie cząstka-jądro w modelu optycznym traktujemy w analogii do oddziaływania fali świetlnej padającej na półprzezroczystą (mętną) kulę (tutaj jądro), stąd jest nazwa tego tutaj rozważanego modelu.

Liczbą zespoloną tutaj jest współczynnik załamania, w której jej część rzeczywistą odpowiada rozpraszaniu cząstki na jądrze, a jej część urojona odpowiada zmianie długości fali, amplitudy lub absorpcji promieniowania na jądrze, co odpowiada definicji reakcji właściwej opisywanej w następnym module. Ten współczynnik załamania definiujemy:

Potencjał oddziaływanie cząstka i jądro opisuje się przy pomocy części rzeczywistej i urojonej w podobny sposób jak opisywaliśmy te części poprzez współczynnika załamania przy pomocy części rzeczywistej i urojonej, co temu pierwszemu odpowiada rozpraszaniu elastycznemu, a temu drugiemu reakcji właściwej, wtedy potencjał zespolony zapisujemy w postaci ogólnej:

Operator całkowitej energii oddziaływania nukleon-nukleon oddziaływania cząstek inicjującej reakcję, a oddziaływaniem nukleon-nukleon zapisujemy przy pomocy operatora opisujących strukturę wewnętrzna jądra tarczy {{Formuła|<MATH>\hat{H}_0\;</MATH>}}, a także przy pomocy operatora oddziaływania jądra atomowego z cząstką {{Formuła|<MATH>\hat{V}\;</MATH>}} i przy pomocy operatora energii kinetycznej ruchu względnego pomiędzy jądrem a cząstką, co w rezultacie możemy napisać całkowity hamiltonian opisujący rozpraszanie lub reakcję jądrową:

Hamiltonian {{Formuła|<MATH>\hat{H}_0\;</MATH>}} zapisujemy we współrzędnych &xi;, którego równanie własne jest pisane:

O wyborze funkcji {{Formuła|<MATH>U(\vec{r})\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>W(\vec{r})\;</MATH>}} decydują kryteria, które muszą być jako funkcje niezbyt skomplikowane oraz potrzebna jest do tego wiedza mówiąca coś o rozkładzie nukleonów w jądrze atomowym i o właściwościach oddziaływania nukleon-nukleon. Dla reakcji rozpraszania elastycznego nukleonu na nukleonie opisujemy potencjał oddziaływania przez równość:

Jeśli wprowadzimy funkcje kształtu zwane też formfaktorami, które opisują zależność potencjału tylko od odległości oddziaływających nukleonów, wtedy funkcję {{LinkWzór|5.39}} możemy zmodyfikować na w sposób:

Zwykle się przyjmuje, że f_c(r)=f_&tau;=f(r). Najlepszym przybliżeniem dla funkcji f(r) okazuje się przybliżenie Saxona-Woodsa opisujących rozkład nukleonów w jądrze dla promienia jądra zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|1.25|Wstęp_do_fizyki_jądra_atomowego/Nukleony_a_budowa_jądra_atomowego}} przy zdefiniowanym parametrze równej "a", dla której parametr rozmycia t {{linkWzór|2.47|Wstęp_do_fizyki_jądra_atomowego/Najważniejsze_parametry_jądra_atomowego}} jest pomiędzy wartościami funkcji f(r) 0,1 a 0,9:

Oddziaływanie spin-orbita, w której funkcja kształtu opisujemy przy pomocy funkcji Thomsona w sposób:

*gdzie &lambda;_&pi; jest to komptonowska długość fali mezonu &pi;.

W przypadku potencjału lokalnego niezależnego od energii cząstki bombardującej zakłada się:

Wielkości U_OC, U_sl i U<Sub>&tau;</sub> sa to parametry występujące przy funktorach, które dobiera się eksperymentalnie do wyników przeprowadzonych doświadczeń.

O kształcie formfaktorów w części zespolonej potencjału {{linkWzór|5.36}} wiemy znacznie mniej. Z doświadczenia wiadomo, że absorpcja cząstek zachodzi w części jego powierzchniowej i dlatego możemy podać formfaktor:

gdzie f_v(r) jest to formfaktror opisujące część objętościowa absorpcji cząstki, a f_S jest to udział absorpcji jakieś cząstki przez część powierzchniową jądra atomowego. Przyjmuje się, że f_v(r)=f(r) i {{Formuła|<MATH>f_s(r)=\exp\left(-{{r-R_{0G}}\over{a_G}}\right)\;</MATH>}}, która jest funkcją Gaussa, gdzie R_0G jest to wielkość określona podobnie do {{linkWzór|1.25|Wstęp_do_fizyki_jądra_atomowego/Nukleony_a_budowa_jądra_atomowego}}, a a_G jest to parametr funkcji f_s(r), lub {{Formuła|<MATH>f_s(r)\sim{{df(r)}\over{dr}}\;</MATH>}} z parametrami wcześniej omówionymi, tzn. R_0G i a_0G.

Mając formafaktor {{LinkWzór|5.42}} możemy napisać cześć urojoną potencjału {{LinkWzór|5.36}}, którą zapisujemy w formie:

Wyznaczmy potencjał oddziaływania cząstki w polu jądra atomowego dla różnych odległości od środka jądra. Potencjał kulombowski dla jednorodnie naładowanej kuli wewnątrz jądra wyprowadzimy korzystając z twierdzenia Ostrogradsiego-Gaussa w elektrostatyce, zatem do dzieła. Natężenie pola elektrycznego wewnątrz jądra atomowego zapisujemy:

Policzmy teraz potencjał pola elektrycznego zakładając, ze potencjał pola elektrycznego na powierzchni kuli &phi;(R) jest to potencjał elektryczny tak jak cały ładunek był umieszczony w środku kuli o promieniu R, zatem wewnątrz jądra atomowego, z ciągłości potencjału elektrycznego, potencjał elektryczny zapisujemy:

Wzór {{linkWzór|5.45}} opisuje potencjał pola elektrostatycznego wewnątrz jądra atomowego, która jest kulą dla naszych przeprowadzonych rozważań. Potencjał elektrycznyna zewnątrz kuli zgodnie z twierdzeniem Ostrogradskiego-Gaussa zapisujemy:

Wzory {{linkWzór|5.45}} i {{linkWzór|5.46}} opisują potencjał jadra atomowego dla całej gamy r, którego opisują potencjał pola elektrycznego. By otrzymać energię potencjalną, czyli potencjał oddziaływania cząstki, to dla cząstki o ładunku Z_ae należy wspomniane wzory pomnożyć przez Z_ae.