Mechanika kwantowa/Proste przykłady zagadnień kwantowomechanicznych: Różnice pomiędzy wersjami

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaStart}}</noinclude>

==Cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału==

Wewnątrz studni potencjału, jak na rysunku obok, panuje zerowy elektryczny potencjał skalarny. Nie ma natomiast wektorowego potencjału magnetycznego. Równanie własne tego obszaru wygląda następująco:

Przyjmijmy oznaczenia, czyli wprowadźmy nową stałą w oparciu o inne wielkości występujące w równaniu {{LinkWzór|11.1}}, który charakteryzuje ruch swobodnej cząstki w przedziale (-a/2,a/2):

Równanie {{LinkWzór|11.1}} przyjmuje postać

Jeśli założymy, że {{Formuła|<MATH>E>0\;</MATH>}}, to {{Formuła|<MATH>k^2>0\;</MATH>}}, zatem jego rozwiązaniem jest kombinacja liniowa funkcyj trygonometrycznych:

Zajmijmy się warunkami brzegowymi dla nieskończonej studni potencjału według rysunku obok dla punktów: {{Formuła|<MATh>x=\pm{{a}\over{2}}\;</MATH>}}. Funkcja falowa w tychże punktach powinna przyjmować wartość zero, ze względu na hermitowskość operatora pędu.

\psi(-{{a}\over{2}})=0\Rightarrow 0=-A\sin k{{a}\over{2}}+B\cos k{{a}\over{2}}\\

\psi({{a}\over{2}})=0\Rightarrow 0=A\sin k{{a}\over{2}}+B\cos k{{a}\over{2}}

\end{cases}\;</MATH>|11.5}}

Aby współczynniki układu równań {{LinkWzór|11.5}} były niezerowe musimy stworzyć wyznacznik z elementów stojących przy stałych {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}}, a jego wartość przyrównać do zera oraz wyznaczyć wartość zmiennej {{Formuła|<MATH>k</MATH>}}

-\sin k{{a}\over{2}}&\cos k{{a}\over{2}}\\

\sin k{{a}\over{2}}&\cos k{{a}\over{2}}

\end{vmatrix}\Rightarrow \sin k{{a}\over{2}}\cos k{{a}\over{2}}=0\;</math>|11.6}}

Z równości, które otrzymaliśmy dostajemy alternatywę równań:

k{{a}\over{2}}=n\pi\;\vee\; k{{a}\over{2}}=n\pi -{{\pi}\over{2}}\Rightarrow k={{2n\pi}\over{a}}\;\vee\; k={{(2n-1)\pi}\over{a}}\Rightarrow k={{n\pi}\over{a}}\;</math>|11.7}}

Powyżej dowiedzieliśmy się, że stała n jest zależna od liczby nieparzystej {{Formuła|<MATH>2n-1</MATH>}} lub liczby parzystej {{Formuła|<MATH>2n</MATH>}}, które można połączyć w jedno rozwiązanie, gdzie {{Formuła|<MATH>n</MATH>}} zależy od liczby naturalnej większej od zera.

Ze wzoru {{LinkWzór|11.2}} wyznaczmy energię cząstki:

*gdzie: n=1,2,3,...

Załóżmy, że k zależy od liczby n dla rozwiązania nieparzystego, mamy A=0, a także {{Formuła|<MATH>B\neq 0\;</MATH>}} według {{LinkWzór|11.5}}, zatem przy wartościach tych stałych rozwiązanie {{linkWzór|11.4}} zapisujemy poniżej, z którego w tej samej linijce wyznaczymy stałą B.

Ale już dla przypadku, gdy k dla rozwiązania parzystego, której funkcję falową można zapisać przy pomocy A&ne;0 i B=0 według {{LinkWzór|11.5}}, zatem przy wartościach tych stałych rozwiązanie {{linkWzór|11.4}} zapisujemy równanie, z którego w tej samej linijce wyznaczać będziemy stałą A.

Na podstawie ostatnich obliczeń dla rozwiązania nieparzystego {{LinkWzór|11.9}} i dla parzystego {{LinkWzór|11.10}} ogólne dla rozwiązania zależnego od n parzystego mamy do czynienia z rozwiązaniem parzystym, i dla n nieparzystego mamy do czynienia z rozwiązaniem nieparzystym, ono jest zapisane przy pomocy funkcji trygonometrycznych funkcji sinus dla rozwiązania parzystego, i z funkcji kosinus dla rozwiązania nieparzystego, w których co w tych funkcjach występuje zmienna x pomnożona przez n&pi;/a.

\sqrt{2/a}\sin{{n\pi}\over{a}}x&\mbox{ dla n=2,4,6,...}\\

\sqrt{2/a}\cos{{n\pi}\over{a}}x&\mbox{ dla n=1,3,5,..}

\end{cases}\;</MATH>|11.11}}

Funkcjami równania własnego równania niezależnego od czasu są zatem dwa rozwiązania dla {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} parzystego (pierwsze rozwiązanie w {{LinkWzór|11.11}}) i nieparzystego (drugie rozwiązanie w {{LinkWzór|11.11}}), które można je połączyć w jedno rozwiązanie dla n naturalnego (bez zera) do {{LinkWzór|11.12}}, które rozkładamy z definicji funkcji trygometrycznych do {{LinkWzór|11.13}}, które jak widzimy dla odpowiednich {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} przechodzi w {{LinkWzór|11.11}}. Przykładowe wykresy dla n=1, n=2 i n=3 są wykreślone na rysunkach w {{LinkGrafika|wk11}}, {{LinkGrafika|wk2}} i {{LinkGrafika|wk3}}.

}}

''Rysunki przedstawiają prawdopodobieństwo znalezienia cząstki (oś igrekowa) w zależności od położenia cząstki (oś iksowa). według {{LinkWzór|11.11}} kolejno dla n=1,2,3 oraz dla a=1.''

 

Rozwiązanie {{LinkWzór|11.11}} zapisujemy w sposób ogólny:

W celu udowodnienia równoważności równań {{LinkWzór|11.12}} z równaniami {{LinkWzór|11.11}} z dokładnością do znaku należy ostatnie równanie przepisać:

Widzimy w zależności od n, czy jest parzyste czy nie, to przechodzi w równanie w pierwsze czy drugie z układu równań {{LinkWzór|11.11}} z dokładnością do znaku.

 

==Cząstka w skończonej studni potencjału==

Będziemy się tutaj zajmować stanami, w których cząstka może się znajdować, a mianowicie w dwóch stanach. W stanach o energii ujemnej i w stanach o energii dodatniej. W stanach o energii ujemnej będziemy się zajmować tylko stanami, których wartość bezwzględna całkowitej energii |E| jest mniejsza niż głębokość studni U.

===Stany związane===

Rozpatrzmy stany o energii ujemnej E, tzn. związane, ale tak by było spełnione E+U>0.

Równanie Schrödingera w obszarach 1 i 3, w których panuje zerowa postać potencjału skalarnego, możemy zapisać:

Na rysunku obok zakładamy, że energia cząstki jest ujemna, zatem możemy wprowadzić oznaczenie zależne od ujemnej energii cząstki w skończonej studni potencjału, masy cząstki i jednej stałej fizycznej stałej kreślonej Plancka:

Wprowadzimy oznaczenie stałej {{Formuła|<MATH>\kappa^2\;</MATH>}} {{LinkWzór|11.15}} do równania własnego zdefiniowanej w {{LinkWzór|11.14}}, dochodzimy do wniosku, że:

Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|11.15}} są dwie funkcje eksponecjalne jako wektory bazy, ale na razie nie wiemy czy ta baza jest ciągła, czy nawet dyskretna, ale przekonamy się, że ta baza jest skwantowana, wtedy funkcje własne {{LinkWzór|11.15a}} są:

Równanie własne {{LinkWzór|11.15}} powinno być słuszne dla obszaru 1 i 3, czyli była całkowalna z kwadratem, to musi zachodzić warunek:

Widzimy, że dla zakresu obowiązywania tych funkcji, tzn. {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}} powyższe funkcje nie mają wartości nieskończonej.

 

Wyprowadźmy rozwiązanie równania falowego dla obszaru 2:

{{d^2}\over{dx^2}}\psi=-{{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}\psi\;</MATH>|11.19}}

W prowadźmy oznaczenie zależne od energii cząstki, głębokości studni potencjału i stałych fizycznych:

Przy oznaczeniu przy stałej k² {{LinkWzór|11.20}} równanie różniczkowe {{LinkWzór|11.19}} przyjmuje inną równoważną postać:

Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|11.21}} w obszarze 2 jest rozwiązanie w postaci kombinacji funkcji trygometrycznych, tzn. kosinusa i sinusa i piszemy ją dla tego obszaru w postaci:

Na granicy obszarów 1 i 2 oraz 2 i 3 funkcje oraz jego pochodne muszą być ciągłe, tzn. muszą zachodzić związki:

Na podstawie powyższych warunków otrzymujemy układ równań:

A_1e^{-\kappa a}-A_2\cos ka+B_2\sin ka=0\\

A_1\kappa e^{-\kappa x}-A_2k\sin ka-B_2k \cos ka=0\\

\end{cases}\;</MATH>|11.27}}

Aby układ równań {{LinkWzór|11.27}} miał niezerowe współczynniki musi być wyznacznik równy zero dla współczynników stojących przy niewiadomych.

e^{-\kappa a}&-\cos ka&\sin ka&0\\

\kappa e^{-\kappa x}&-k\sin ka&-k\cos ka&0\\

\end{vmatrix}=2e^{-2\kappa a}\left(-k\sin ka+\kappa\cos ka\right)\left(k\cos ka+\kappa\sin ka\right)\;</MATH>|11.28}}

Z wyznacznika {{LinkWzór|11.28}} otrzymujemy wynik, który jest równy zero:

Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|11.29}} jest takie, że po skorzystaniu przy tym z twierdzenia o alternatywie równań, to rozwiązaniem powyższego równania są dwa równania łączące parametry k z parametrem &kappa;, których te parametry zależą od energii cząstki kwantowej, więc dojdziemy do wniosku później, że energia cząstki jest skwantowana (dyskretna) w stanach związanych.

====Współczynniki rozwiązań parzystych====

Aby układ równań {{LinkWzór|11.27}} dla rozwiązań parzystych miał rozwiązania w postaci niezerowych stałych, to musi być spełniona zależność {{LinkWzór|11.30}}.

Zajmijmy się dwoma pierwszymi równaniami {{LinkWzór|11.27}}, do którego podstawiamy wzór na &kappa;, czyli {{LinkWzór|11.30}}:

A_1e^{-\kappa a}-A_2\cos ka+B_2\sin ka=0\\

A_1k{{\sin ka}\over{\cos ka}}e^{-\kappa a}-A_2k\sin ka-B_2k\cos ka=0\Rightarrow A_1e^{-\kappa a}-A_2\cos ka-B_2{{\cos^2ka}\over{\sin ka}}=0

\end{cases}\;</MATH>|11.32}}

Możemy odjąć od siebie dwa równania ostatniego układu równań od siebie dochodząc do wniosku, że stała B₂ jest stałą równą zero.

Mając już wyliczoną stałą B₂ możemy wyznaczyć stałą A₂ z drugiego równania wynikowego układu równań {{linkWzór|11.32}}, a także stałą B₃ z trzeciego równania układu równań {{linkWzór|11.27}}, zatem wszystkie trzy stałe możemy napisać przy pomocy stałej A₁, oprócz stałej B₂ równą zero:

B_2=0\\

A_2=A_1e^{-\kappa a}/\cos ka\\

====Współczynniki rozwiązań nieparzystych====

Mając rozwiązanie {{LinkWzór|11.31}}, zajmijmy się dwoma ostatnimi równaniami układu równań {{LinkWzór|11.27}}, możemy napisać:

B_3e^{-\kappa a}-A_2\cos ka-B_2\sin ka=0\\

k{{\cos ka}\over{\sin ka}} B_3e^{-\kappa a}+A_2k\sin ka-B_2k\cos ka=0\Rightarrow

\end{cases}\;</maTh>|11.34}}

Odejmując od siebie dwa równania ostatniego układu równań, dochodzimy do wniosku, że stała {{Formuła|<math>A_2\;</mATH>}} jest równa zero:

Znając już policzoną stałą A₂=0 możemy policzyć stałą B₂ z pierwszego równania układu równań {{linkWzór|11.27}}, a także stałą B₃ przy pomocy trzeciego równania wspomnianego układu równań, do której wyznaczenia dalszego jest potrzebna wyznaczona stała B₂, którą podamy w tym samym układzie rozwiązań dla stałych poniżej. Wszystkie te stałe są w zależne od stałej A₁, nie licząc stałej A₂, która jest równa zero.

A_2=0\\

B_2=-A_1e^{-\kappa a}/\sin ka\\

|<center style="white-space:nowrap">'''Funkcje falowe dla rozwiązań nieparzystych dla {{LinkWzór|11.31}}'''</center>

|-

\psi_1=A_2\cos ka e^{\kappa (x+a)}\\

\psi_2=A_2\cos kx\\

\psi_3=A_2\cos ka e^{\kappa (a-x)}

\end{cases}\;</MATH>|11.36}}

\psi_1=-B_2\sin ka e^{\kappa (x+a)}\\

\psi_2=B_2\sin kx\\

Ogólnie dla nieskończonego przedziału niech rozwiązaniem będzie funkcja {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}}, którą można podzielić na poszczególne przedziały jak dla rozwiązania parzystego {{LinkWzór|11.36}} i nieparzystego {{LinkWzór|11.37}}.

Aby unormować rozwiązania parzyste {{LinkWzór|11.36}} lub rozwiązania nieparzyste {{LinkWzór|11.37}} należy dokonać całkowania z kwadratem:

\int_{-\infty}^{-a}|\psi|^2dx+\int_{-a}^{a}|\psi|^2dx+\int_{a}^{\infty}|\psi|^2dx=\;</MATH><BR><MATH>=\int_{-\infty}^{-a}|\psi_1|^2dx+\int_{-a}^{a}|\psi_2|^2dx+\int_{a}^{\infty}|\psi_3|^2dx\;</MATH>|11.38}}

 

====Normowanie funkcji parzystych====

Wyznaczmy stałą normującą dla funkcji typu parzystych {{LinkWzór|11.36}} dla skończonej jamy potencjału o głębokości U pisząc całkę z kwadratu modułu funkcji parzystych w całym przedziale nieskończonym jednowymiarowym według {{linkWzór|11.38}}.

A_2^2\cos^2ka\int_{a}^{\infty}e^{2\kappa(a-x)}dx=

{{A_2^2}\over{2\kappa}}\cos^2ka+{{A_2^2}\over{2}}\int_{-a}^{a}(1+\cos 2ka)dx+\;</MATH><BR><MATH>+{{A_2^2}\over{2\kappa}}\cos^2ka=

Do powyższych przekształceń skorzystamy z rozwiązania parzystego {{LinkWzór|11.30}} jako warunku łączącego te nasze dwa parametry w tym wspomnianym równaniu, czyli z tego wspomnianego równania

{{Formuła|<MATH>\kappa=k\operatorname{tg}ka\Rightarrow \cos ka={{k}\over{\kappa}}\sin ka\;</Math>}} możemy wyjaśnić ile wynosi stała A₂ dla rozwiązań parzystych:

A_2^2\left[{{1}\over{\kappa}}\left(\cos^2ka+\sin^2ka\right)+a\right]=A_2^2\left[{{1}\over{\kappa}}+a\right]=A_2^2{{\kappa a+1}\over{\kappa}}

</MATH>}}

Warunek normujący funkcje parzyste {{LinkWzór|11.36}} na podstawie powyższych obliczeń jest w postaci:

Ta stała &kappa; występująca w definicji stałej A₂ jest zależna od skwantowanej energii kwantowego układu, która wynika z normowania funkcji parzystych.

 

====Normowanie funkcji nieparzystych====

Wyznaczmy stałą normującą dla funkcji nieparzystych {{LinkWzór|11.37}} w skończonej jamie potencjału o głębokości U z całkowaną z kwadratem w przypadku naszej funkcji własnej, które obowiązują w poszczególnych przedziałach sklejając je dochodzimy do wniosku, że one całkowite wypełniają przestrzeń nieskończoną i ta norma jest równa jeden:

{{B_2^2}\over{2\kappa}}\sin^2ka+\;</math><br><math>+{{B_2^2}\over{2}}\int_{-a}^{a}(1-\cos 2kx)dx+\sin^2ka{{B_2^2}\over{2\kappa}}=

{{B_2^2}\over{\kappa}}\sin^2ka+B_2^2a-{{B_2^2}\over{2k}}\sin 2ka=

{{B_2^2}\over{\kappa}}\sin^2ka+B_2^2a-{{B_2^2}\over{k}}\sin ka\cos ka\;</MATH>}}

Skorzystamy, ze wzoru {{LinkWzór|11.31}} jako równania wiążące parametr &kappa; z k, co przekształcając go do postaci {{Formuła|<MATH>\kappa=-k\operatorname{ctg}ka\Rightarrow\sin ka=-{{k}\over{\kappa}}\cos ka\;</MATH>}}, to powyższy warunek normowania piszemy w postaci:

B_2^2\left[{{1}\over{\kappa}}\left(\sin^2ka+\cos^2ka\right)+a\right]\Rightarrow 1=B_2^2{{1+\kappa a}\over{\kappa}}\;</MATH>}}

Stała normująca dla funkcji nieparzystych jest wyrażona przy pomocy stałej &kappa;, która z kolei zależy od skwantowanej energii układu:

co kończy obliczenia dotyczące nieparzystych funkcji falowych.

 

====Energie własne stanów związanych====

Wykorzystując związki {{LinkWzór|11.15}} i {{LinkWzór|11.20}} wyznaczmy wyrażenie:

</MaTH>|11.41}}

Udowodniliśmy, że powyższe wyrażenie, nie zależy od energii cząstki, ale zależy od głębokości studni U.

Podstawiamy warunek {{LinkWzór|11.30}} dla rozwiązań parzystych do {{LinkWzór|11.41}}, dostajemy, że:

Powyżej przyjęliśmy, że tg(ka) jest dodatnie przy dodatnich k² {{LinkWzór|11.20}} i &kappa;² {{LinkWzór|11.15}} według {{LinkWzór|11.30}}.

Podobnie podstawiamy warunek {{LinkWzór|11.31}} dla rozwiązań nieparzystych do {{LinkWzór|11.41}}, wtedy:

\operatorname{tg}(ka)=-{{ka}\over{\sqrt{C^2-(ka)^2}}}\;</MATH>|11.43}}

Parametr {{Formuła|<MATH>C\;</MATH>}} ma sens objętości jamy potencjału. Ponieważ w {{LinkWzór|11.43}} przyjęliśmy, że ctg(ka) jest wartością ujemną przy dodatnich k² {{LinkWzór|11.20}} i &kappa;² {{LinkWzór|11.15}} według {{LinkWzór|11.31}}. Np. dla {{Formuła|<MATH>C=1,1.5\;</MATH>}} cząstka może mieć tylko jedną wartość rozwiązania E (rozwiązania {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\beta\;</MATH>}}), ale już np. dla {{Formuła|<MATH>C=2,2.25\;</MATH>}} cząstka może przyjmować dwie wartości energii (tzn. określone przez {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\delta\;</MATH>}} oraz kolejno {{Formuła|<MATH>\alpha^'\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\beta^'\;</MATH>}}). Oczywiste jest, że dalsze powiększanie jamy potencjału powoduje pojawianie się dalszych poziomów energetycznych {{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}}, przy czym poziomy odpowiadające rozwiązaniom parzystym i nieparzystym pojawiają się na przemian, bo {{Formuła|<MATH>ka\;</MATH>}} dla rozwiązania parzystego jest mniejsze niż dla rozwiązania nieparzystego dla ściśle określonej objętości jamy potencjału {{Formuła|<MATH>C\;</MATH>}}. Z rozwiązań {{LinkWzór|11.36}} (rozwiązanie parzyste) i {{LinkWzór|11.37}} (rozwiązanie nieparzyste) wynika, że mamy niezerowe funkcje falowe na ściankach studni potencjałów i cząstka może oczywiście wnikać w ściankę jamy potencjału, to zjawisko nie jest możliwe w mechanice klasycznej.

Weźmy w równaniu {{LinkWzór|11.42}} i {{LinkWzór|11.43}}, tzn. w pierwszych tam równościach, za zmienną {{Formuła|<MATH>\xi\;</MATH>}} dla rozwiązania parzystego {{LinkWzór|11.30}} oraz dla rozwiązania nieparzystego {{LinkWzór|11.31}}:

wtedy wzory na zmienną {{Formuła|<MATH>\eta\;</MATH>}} dla rozwiązań parzystych i nieparzystych piszemy:

Mając na uwadze wzory na stany energetyczne dla rozwiązań parzystych {{linkWzór|11.30}} i nieparzystych {{LinkWzór|11.31}}, wtedy dla nich mając na uwadze {{LinkWzór|11.41}} wykorzystując {{LinkWzór|w1}} oraz {{LinkWzór|w2}} (rozwiązania parzyste) i {{LinkWzór|w3}} (rozwiązania nieparzyste), mamy:

Gdzie w {{LinkWzór|w4}} głębnokość studni potencjału jest zdefiniowana według {{LinkWzór|11.41}}.

Widzimy z rysunku {{LinkGrafika|wk2121}}, że rozwiązaniem na rysunku jest co najmniej jeden stan parzysty {{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}}, która wynika napewno z rozwiązania parzystego, dla stanów nieparzystych dla danej głębokości jamy potencjału może nie być rozwiązań nieparzystych. Ogólnie liczba rozwiązań parzystych jest co najmniej jeden, a nieparzystych co najmniej zero, dla danego {{Formuła|<MATH>C\;</MATH>}}.

====Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w studni potencjału====

Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w studni potencjału nazywamy wyrażenie dla stanów parzystych {{LinkWzór|11.36}} lub nieparzystych {{LinkWzór|11.37}} ze stałą {{Formuła|<MATH>A_2\;</MATH>}} {{LinkWzór|11.39}} lub {{Formuła|<MATH>B_2\;</math>}}{{LinkWzór|11.40}}, których ich ostateczna postać jest taka sama.

\cos^2kx\\

\sin^2kx\\

Jest to ogólny wzór na prawdopodobieństwo znalezienia cząstki wewnątrz studni potencjału.

Dla rozwiązań parzystych obowiązuje wzór {{LinkWzór|11.30}}, z którego można napisać {{Formuła|<MATH>\kappa=k\operatorname{tg} ka\Rightarrow \cos ka={{k\sin ka}\over{\kappa}}\;</MATH>}}, zatem mając wzór {{linkWzór|11.44}}, po wykorzystaniu tego dochodzimy do wniosku:

Z elementarnych wiadomości trygonoometri, a także skorzystamy ze wzoru ze wzoru {{LinkWzór|11.30}} i wyznaczmy zależność między kwadratem sinusa a kwadratem funkcji tangens.

1+{{k^2}\over{\kappa^2}}={{\kappa^2+k^2}\over{\kappa^2}}\;</MATH>|11.46}}

Prawdopodobieństwa dla rozwiązań parzystych powstaje podstawiając odwrotność wyrażenia {{LinkWzór|11.46}} do równania {{LinkWzór|11.45}} wyrażające prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w studni potencjału.

{{\kappa}\over{\kappa a+1}}\left[a+{{\kappa}\over{\kappa^2+k^2}}\right]={{\kappa}\over{\kappa a+1}}{{a\kappa^2+ak^2+\kappa}\over{\kappa^2+k^2}}

={{\kappa^2(a\kappa+1)+ak^2\kappa+k^2-k^2}\over{(\kappa a+1)(\kappa^2+k^2)}}=\;</MATH><BR><MATH>=

{{(a\kappa+1)(\kappa^2+k^2)-k^2}\over{(\kappa a+1)(\kappa^2+k^2)}}=1-{{k^2}\over{(\kappa a+1)(\kappa^2+k^2)}}</MATH>|11.47}}

Dla rozwiązań nieparzystych obowiązuje wzór {{LinkWzór|11.31}}, z tego wzoru możemy otrzymać tożsamość {{Formuła|<math>\kappa=-k\operatorname{ctg}ka\Rightarrow \sin ka=-{{k\cos ka}\over{\kappa}}\;</MATH>}} i podstawiając go do {{LinkWzór|11.44}} zaznaczaniem, że mamy do czynienia, ze stanami nieparzystymi:

Z elementarnych wiadomości o trygonometrii, mamy:

{{\kappa^2+k^2}\over{\kappa^2}}\;</MAth>|11.49}}

Wzór {{LinkWzór|11.48}} przy pomocy pomocniczych obliczeń {{LinkWzór|11.49}} przyjmuje następną postać:

Wyrażenie {{LinkWzór|11.50}} jest takie same jak wyrażenie {{LinkWzór|11.45}}, zatem dla obu przypadków mamy nie oznaczając je parzystością lub nieparzystością rozwiązań:

Możemy wykorzystać wzory, które są definicjami pewnych stałych zależne od energii własnej układu, czyli od stałej {{LinkWzór|11.15}} &kappa;² i od stałej {{LinkWzór|11.20}} k², i dalej należy je następnie podstawić do wzoru {{LinkWzór|11.51}}, dostajemy:

1-{{\hbar(E+U)}\over{U(\sqrt{-2mE}}a+\hbar)}\;</Math>|11.52}}

Na podstawie wzoru {{linkWzór|11.52}} prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w studni potencjału, która jest niezależna od parzystości i nieparzystości rozwiązania dla naszego równania własnego, którą tutaj rozpatrywaliśmy dla naszej studni potencjału o skończonej objętości, ale jest za to zależna od energii E uzyskanej z {{linkWzór|11.30}} (rozwiązanie parzyste) lub z {{linkWzór|11.31}} (rozwiązanie nieparzyste).

===Stany rozproszeniowe===

W stanach rozproszeniowych całkowita energią cząstki jest większa niż maksymalny potencjał studni potencjału. Dla stanów stacjonarnych równanie Schrödingera dla obszarów 1 i 3, w których potencjał skalarny znika i jego równanie opisujących ten stan jest:

Dla obszaru 2-ego istnieje równanie stacjonarne, w którym mamy potencjał skalarny o wartości -U, piszemy:

W ostanich dwóch równaniach wprowadźmy dwie stałe, które są zależne od dodatniej energii układu stanu rozproszeniowego i ta druga stała jest zależna od głębokości studni potencjału U, są one napisane wedle:

Prz definicjach stałych {{LinkWzór|11.55}}({{Formuła|<MATH>k^2\;</MATH>}}) i {{LinkWzór|11.56}}({{Formuła|<Math>\kappa^2\;</MATH>}}) równania różniczkowe {{LinkWzór|11.53}} (stan 1 i 3) i {{LinkWzór|11.54}} (stan 2) przyjmują wygląd:

Rozwiązania dla wszystkich obszarów wedle dwóch ostatnich rozwiązań są przedstawiane:

Ae^{ikx}+Be^{-ikx}&\mbox{ dla }x<-a\\

Ce^{i\kappa x}+De^{-i\kappa x}&\mbox{ dla }|x|<a\\

====Współczynnik odbicia i transmisji====

Współczynniki odbicia R i transmisji T definiujemy za pomocą kwadratów modułów odpowiednich stałych występujące w rozwiązaniu falowym równania niezależnego od czasu dla stanów rozproszeniowych, zatem współczynnik odbicia jest to stosunek kwadratu modułu stałej B przez kwadrat modułu stałej A, a współczynnik transmisji jest to stosunek kwadratu modułu stałej F przez kwadrat modułu stałej A. Należy zauważyć, że stałe B i F trzeba wyrazić przez stałą A, co o tym będziemy pamiętać i tak będziemy robić.

Widzimy, że przy wybranej metodzie dla funkcji falowych tracimy jego metodę probabilistyczną, tzn. nie możemy liczyć prawdopodobieństwa znalezienia pewnej cząstki w specjalnie obranym obszarze.

Ciągłość funkcji i jej pochodnych będziemy badać dla punktu x=-a i x=a. Zatem ciągłość funkcji falowych dla x=-a prowadzi do warunku:

Ciągłość pochodnych w tym samym punkcie prowadzi do następnego warunku:

Ciągłość funkcji {{LinkWzór|11.59}} dla punktu x=a prowadzi do równania:

A ciągłość pochodnych w tym samym punkcie dla takiego samego układu równań prowadzi do wzoru:

Równania {{LinkWzór|11.62}}, {{LinkWzór|11.63}}, {{LinkWzór|11.64}} i {{LinkWzór|11.65}} stanowi układ czterech równań z pięcioma niewiadomymi. Zajmijmy się równaniami {{LinkWzór|11.64}} i {{LinkWzór|11.65}}, wymnażając te pierwsze równanie obustronnie przez stałą {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}}:

C\kappa e^{i\kappa a}+D\kappa e^{-i\kappa a}=F\kappa e^{ika}\\

C\kappa e^{i\kappa a}-D\kappa e^{-i\kappa a}=Fke^{ika}

\end{cases}\;</MATH>|11.66}}

Dwa równania ostatniego układu, tzn. układu równań {{linkWzór|11.66}} i dodajmy je od siebie dostając równanie przy wyznaczaniu stałej C w zależności od stałej F:

I następne otrzymane równanie według wcześniejszych omówień, tym razem odejmijmy je do siebie dostając teraz stałą D w zależności od stałej F:

Kolejny etapem rozwiązania układu równań jest wykorzystanie równań {{LinkWzór|11.62}} i {{LinkWzór|11.63}} i podstawienie do nich za stałą C wyliczoną w punkcie {{LinkWzór|11.67}} i stałej D obliczoną w punkcie {{LinkWzór|11.68}}, te owe równania możemy zapisać w postaci:

Ae^{-ika}+Be^{ika}={{F}\over{2}}\left(1+{{k}\over{\kappa}}\right)e^{ika-2i\kappa a}+{{F}\over{2}}\left(1-{{k}\over{\kappa}}\right)e^{ika+2i\kappa a}\\

Ake^{-ika}-Bke^{ika}={{F}\over{2}}\left(k+\kappa\right)e^{ika-2i\kappa a}-{{F}\over{2}}\left(\kappa-k\right)e^{ika+2i\kappa a}\\

\end{cases}\;</MATH>|11.69}}

Następnym chwytem jest zastąpienie funkcji wykładniczej {{Formuła|<MATH>e^{\pm 2i\kappa a}\;</MATH>}} odpowiednimi funkcjami trygometrycznymi {{Formuła|<MATH>\cos2\kappa a\pm i\sin 2\kappa a\;</Math>}} które oznaczają tą samą wielkość zespoloną.

Ae^{-ika}+Be^{ika}={{F}\over{2}}\left(1+{{k}\over{\kappa}}\right)e^{ika}\left(\cos 2\kappa a-i\sin 2\kappa a\right)+{{F}\over{2}}\left(1-{{k}\over{\kappa}}\right)e^{ika}\left(\cos 2\kappa a+i\sin 2\kappa a\right)\\

Ake^{-ika}-Bke^{ika}={{F}\over{2}}\left(k+\kappa\right)e^{ika}\left(\cos 2\kappa a-i\sin 2\kappa a\right)-{{F}\over{2}}\left(\kappa-k\right)e^{ika}\left(\cos 2\kappa a+i\sin 2\kappa a\right)\end{cases}\;</Math>|11.70}}

Po dalszych przekształceniach dostajemy:

Ae^{-ika}-Be^{ika}=Fe^{ika}\cos 2\kappa a-iF{{\kappa}\over{k}}e^{ika}\sin 2\kappa a

\end{cases}\;</MATH>|11.71}}

Możemy dodać do siebie dwa równania układu równań {{LinkWzór|11.71}}:

Licznik i mianownik wyrażenia na F ostatnio napisanego mnożymy przez funkcję eksponencjalną zespoloną,. tzn. e^ika, dostajemy jego odpowiednik w bardziej uproszczonej postaci:

By wyznaczyć stałą B odejmijmy oba równania od siebie układu równań {{LinkWzór|11.71}} i wyrażając je na razie za pomocą stałej F:

B=-{{i}\over{2}}F\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)\sin 2\kappa a\;</MATH>|11.73}}

Wtedy ostatecznie stałą B wedle końcowych obliczeń {{LinkWzór|11.73}} wyznaczyć możemy przy pomocy stałej &kappa; {{LinkWzór|11.15}} i stałej k {{LinkWzór|11.20}} i podstawiamy do niej wyrażenie na stałą F {{LinkWzór|11.72}}, która jest wyrażona przy pomocy stałej A:

Do obliczeniach współczynników C i D wystarczą wzory {{LinkWzór|11.67}} i {{LinkWzór|11.68}} oraz wyrażenie F poprzez A, wystarczy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|11.72}}.

Wyznaczmy kwadrat modułu wyrażenia występującej w miianowniku {{LinkWzór|11.74}}:

\cos^22ka+{{1}\over{4}}\left({{k^2+\kappa^2}\over{\kappa k}}\right)^2\sin^22\kappa a=

\cos^22\kappa a+{{1}\over{4}}{{k^4+\kappa^4+2k^2\kappa^2}\over{\kappa^2k^2}}\sin^22\kappa a=\;</Math><BR><math>=

1+\sin^2(2\kappa a){{1}\over{4}}\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)^2\;</math>|11.75}}

Współczynniki odbicia {{LinkWzór|11.60}} (R) zdefiniowanej przy pomocy {{LinkWzór|11.74}} i transmisji {{LinkWzór|11.61}} (T) przy pomocy {{LinkWzór|11.72}} przedstawiają się:

Od razu widać, że współczynniki odbicia {{LinkWzór|11.76}} i transmisji {{LinkWzór|11.77}}, co jest trywialne, spełniają na pewno nastepującą zależność:

Co obrazuje prawo zachowania liczby cząstek odbitych i przechodzących przez skończoną studnię potencjału.

 

====Rezonanse====

Współczynniki odbicia i transmisji mają jeszcze jedną właściwość, gdy spełniony jest warunek:

Dla stanów rezonansowych energia cząstki w zależności od liczby kwantowej "n" z jej własności uwikłanej {{LinkWzór|11.80}} jest zapisana wzorem:

Wzór {{LinkWzór|11.81}} przestawia energię cząstki dla stanów rozproszeniowych, gdy dana cząstka znajduje się w stanie rezonansu.

 

====Dyskusja o energiach rezonansowych dla rozpraszania niskoenergetycznego====

Wprowadźmy oznaczenie głębokości potencjału U zdefiniowanej przy pomocy nowej stałej v:

Wyrażenie na energię stanów rozproszeniowych rezonansowych {{LinkWzór|11.81}}, którego można zapisać jako głębokość studni potencjału zdefiniowanego w {{LinkWzór|11.82}}, który jest zapisany przy pomocy parametry v, zatem całkowita energia cząstki jest przedstawiana w sposób:

Ale {{linkWzór|11.83}} zachodzi dla stanów rezonansowych, to energia tych stanów zwanych stanami rozproszeniowymi w porównaniu z głębokością studni, gdy mamy rozpraszanie niskoenergetyczne, to całkowita energia cząstki powinna być o wiele mniejsza niż głębokość studni:

to dla stanów zwanych rozproszonymi nazywamy energię E dla których zachodzi {{Formuła|<mATH>n>v\;</MATH>}}, to można zapisać przy pomocy p, który jest ograniczony do najbliższych liczb naturalnych, bo zachodzi ostatnie wyrażenie, czyli zachodzi własność {{Formuła|<MATH>p<<v\;</MATH>}}, dla której powinno mieć miejsce:

*gdzie: {{Formuła|<MATH>[v]\;</MATH>}} jest to największa liczba całkowita nieprzekraczająca v.

Można napisać na podstawie wcześniejszych obliczeń i przestawienia liczby n poprzez liczby p i v, czyli poprzez wzór {{LinkWzór|11.84}}, na podstawie tego możemy powiedzieć:

Nasz stosunek {{Formuła|<MATH>{{p}\over{v}}\;</MATH>}} wedle ostatnich rozważań możemy napisać, dla której {{Formuła|<MATH>0\leq{{[v]}\over{v}}\leq 1\;</MaTH>}} jest liczbą bardzo małą dodatnią, czyli zachodzi {{Formuła|<MaTH>p<<v\;</MATH>}}, zatem możemy napisać wzór na energię rezonansowe w niskoenergetycznym rozpraszaniu wedle sposobu:

Relację na głębokość studni {{LinkWzór|11.82}}, którego wyznaczmy wielkość v i podstawimy to do wzoru {{LinkWzór|11.85}}, dostajemy wzór na energię całkowitą cząstki dla stanów rozproszeniowych, w zalezności od liczby kwantowej p i za pomocą głębokości studni potencjału:

Odległość między najbliższymi poziomami rezonansowymi na podstawie wzoru napisanego w punkcie {{LinkWzór|11.86}} możemy zapisać w schematycznej postaci:

Widzimy, że według wzoru {{LinkWzór|11.87}} odległość między stanami rezonansowymi zależy od głębokości studni potencjału i innych parametrów, tzn. parametrów charakteryzujących samą cząstkę, czyli od jego masa, i szerokości studni potencjału o głębokości U, czyli od wielkości "a".

 

====Rozpraszanie niskoenergetyczne====

Rozpatrzmy stany rozproszeniowe, czyli dla których panuje energia stanów rozproszeniowych E>0 niskoenergetycznych i głębokość studni jest o wiele większa niż energia cząstki czyli stany niskoenergetyczne {{Formuła|<MATH>E<<U\;</MATH>}} lub równoważnie można zapisać:

Możemy wykorzystać wzory {{LinkWzór|11.55}}({{Formuła|<MATH>k\;</MATH>}}) i {{LinkWzór|11.56}}({{Formuła|<math>\kappa\;</MATH>}}), można zapisać stosunek tej drugiej stałej przez pierwszą, dojdziemy do wniosku, że ten obiekt jest o wiele większy od jedynki, a więc jego odwrotność jest o wiele mniejsza od jedynki.

\sqrt{1+{{U}\over{E}}}>>1\Rightarrow {{k}\over{\kappa}}<<1\;</MaTH>|11.89}}

Przy warunku {{LinkWzór|11.89}} współczynnik odbicia R {{LinkWzór|11.76}} i transmisji T {{LinkWzór|11.77}} dla rozpraszania niskoenergetycznego możemy zapisać wedle sposobu:

Gdy zachodzi {{Formuła|<MATH>E\rightarrow 0\;</MATH>}}, dochodzimy do wniosku, że {{Formuła|<MaTH>{{k}\over{\kappa}}\rightarrow 0\;</MATH>}}, co wynika ze wzoru {{LinkWzór|11.55}}, to przy tym założeniu współczynniki transmisji i odbicia spełniają warunki:

Dla rozpraszania niskoenergetycznego liczba cząstek odbitych od studni potencjału jest ich w istocie sto procent, a liczba cząstek przechodzących jest ich zero.

 

====Zależność współczynnika odbicia R i transmisji T od energii cząstki====

Możemy wykorzystać definicję stałych {{LinkWzór|11.55}}({{Formuła|<MATH>k^2\;</mATH>}}) i {{LinkWzór|11.56}}({{Formuła|<MATh>\kappa^2\;</MATH>}}), to wzory na współczynnik odbicia R {{LinkWzór|11.90}} i na współczynnik transmisji T {{LinkWzór|11.91}} przy rozpraszaniu niskoenergetycznymi, wiedząc jeszcze, że zachodzi warunek na naszych wspomnianych parametrach:

wtedy te owe współczynniki "R" (odbicia) i "T" (transmisji) przedstawiamy dla bardzo dużej głębokości studni potencjału U w zaleności od energii cząstki "R", głębokości studni "U" i szerokości skończonej studni "a" w postaci:

Obok przedstawiono wykresy zależności współczynnika transmisji T od energii cząstki.

 

====Szerokość rezonansów====

Ostatni wykres sugeruje, że rezonanse są bardzo cienkie, w tym celu wprowadźmy funkcję, która z oczywistych powodów zależy od energii cząstki E, a także od głębokości studni potencjału:

wtedy wyrażenie na współczynnik transmisji T {{LinkWzór|11.96}} dla rozpraszania niskoenergetycznego, ale przy pomocy wzoru {{linkWzór|11.97}}, zapisujemy jako funkcję energii cząstki znajdującej się w skończonej studni potencjału lub poza nią:

Gdy zachodzą rezonanse (częstości rezonansowe), wtedy T(E)=1 {{LinkWzór|11.98}}, co stąd wynika patrząc na nasz wspomniany wzór, że dla funkcji {{LinkWzór|11.97}} własność jest takowa:

Rozwijamy w szereg Taylora funkcję f(E), dla bardzo małych &Delta;E (wokół punktów rezonansowych E^rez, która jest małą liczbą z porównaniu z energiami rezonansowymi), dla których oczywiście mamy:

Możemy rozłożyć wzór {{LinkWzór|11.97}} w szereg Taylora wokół punku rezonansowego na podstawie tożsamości zachodzącej wedle {{LinkWzór|11.100}}, korzystając przy tym, gdy we wzorze {{LinkWzór|11.97}} mamy energię rezonansową i pomijając w tym szeregu wyrazy drugiego rzędu i wyższe:

Transmisja T {{LinkWzór|11.98}} po podstawieniu do niego równania przybliżonego {{LinkWzór|11.101}}, który jest spełniony w małym otoczeniu energii rezonansowej, który to wzór przyjmuje postać:

Transmisja T {{LinkWzór|11.102}} ma wartość 1/2, zatem powinno być, że iloczyn wielkości &Delta;E, która jest różnicą energii rezonansu i energii, dla której T(E) przyjmuje maksymalną wartość, przez pochodną funkcji cząstkowej funkcji f(E) względem energii, co obrazujemy:

Wyznaczmy pochodną cząstkową funkcji f(E) zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|11.101}} względem energii cząstki E:

<math>

={{1}\over{2}}\left\{-{{U}\over{2E^2}}

\right\}</MATH>|11.104}}

Liczymy powyższą pochodną dla rezonansu, jeśli mamy dla 2&kappa;a=n&pi;, to zachodzi na pewno wynikającego z poprzedniego warunku {{Formuła|<math>\sin 2\kappa a=0\;</MATH>}}, czyli również można powiedzieć:

Pochodną cząstkową wyrażenia {{LinkWzór|11.97}}, przy znajomości tożsamości zachodzącej wedle punktu {{LinkWzór|11.105}}, dla punktów rezonansowych, można napisać:

{{1}\over{2}}\sqrt{{{U+E^{rez}}\over{E^{rez}}}}a\sqrt{{2m}\over{\hbar^2(U+E^{rez})}}=

\pm{{a}\over{\hbar}}\sqrt{{m}\over{2E^{rez}}}\;</MaTH>|11.106}}

Jeśli zachodzi {{LinkWzór|11.106}}, to na podstawie wzoru {{LinkWzór|11.104}} różnica energii pomiędzy rezonansem a wartością wielkości energii E, gdy transmisja T wynosi 1/2, jest napisana wzorem w zależności od energii rezonansowej w sposób:

{{\hbar}\over{a}}\sqrt{{{2E^{rez}}\over{m}}}={{\hbar^2}\over{ma}}\sqrt{{{2mE^{rez}}\over{\hbar^2}}}=

{{\hbar^2}\over{ma}}{k}^{rez}\;</MATH>|11.107}}

Szerokość rezonansowa definiujemy jako podwojona wartość bezwzględnej odległości energii rezonansowej od energii, w którym transmisja jest równa wartości połowie jedynki.

Jak widzimy, na podstawie wzoru {{LinkWzór|11.108}}, że szerokość rezonansu rośnie wraz z energią rezonansową E^rez.

Widzimy, że szerokość rezonansów zależy od energii E^rez, w której występuje rezonans, od masy rozważanej cząstki dla studni potencjału, a także od jej szerokości.

Wyznaczmy stosunek szerokości połówkowej rezonansu {{LinkWzór|11.108}} przez odległość między rezonansami {{LinkWzór|11.87}}:

{{2\hbar}\over{a}}\sqrt{{{2E^{rez}}\over{m}}}{{a}\over{\pi\hbar}}\sqrt{{{2m}\over{U}}}={{4}\over{\pi}}\sqrt{{{E^{rez}}\over{V_0}}}<<1\;</MATH>|11.109}}

bo energia rezonansowa jest o wiele mniejsza niż głębokość studni przy rozpraszaniu niskoenergetycznym, zatem szerokość rezonansowa jest o wiele mniejsza niż odległość pomiędzy rezonansami.