Wikibooks

Mechanika kwantowa/Kwantowy oscylator harmoniczny: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 3:
==Kwantowy jednowymiarowy oscylator harmoniczny==
Energia potencjalna ciała w oscylatorze harmonicznym jest wyrażona jako wyrażenie proporcjonalne do wychylenia od położenia równowagi:
{{IndexWzórCentrujWzór|<math>V(x)={{1}\over{2}}m\omega^2x^2\;</MATH>|17.1}}
Hamiltonian oscylatora jednowymiarowa jest sumą operatorów energii kinetycznej i operatora energii potencjalnej (operator energii potencjalnej jest to operator mnożenia przez liczbę, podobnej jak operator współrzędnej położenia, który jest operatorem mnożenia) {{LinkWzór|17.1}}, jeśli założymy, że pomijamy spin cząstki kwantowej, to operator energii całkowitej kinetycznej wyrazimy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{d^2}\over{dx^2}}+{{1}\over{2}}m\omega^2x^2\cdot\;</MATH>|17.2}}
Równanie własne operatora energii {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}}, tuż potem po przekształceniu do postaci wygodnej, jest zapisane według:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MaTH>\left(-{{\hbar^2}\over{2m}}{{d^2}\over{dx^2}}+{{1}\over{2}}m\omega^2x^2\right)\psi=E\psi
\Rightarrow \left({{d^2}\over{dx^2}}-{{m^2\omega^2}\over{\hbar^2}}x^2\right)\psi+{{2mE}\over{\hbar^2}}\psi=0\;</MaTH>|17.3}}
===Zamiana zmiennych===
Jest to równanie stacjonarne wyprowadzone z niezależnego od czasu równania falowego Schrödingera i idąc dalej
wprowadzimy nowe parametry i zmienne, dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego, w celu uproszczenia obliczeń do wyznaczenia wartości i funkcji własnej naszego przekształconego równania {{LinkWzór|17.3}}, wtedy te oznaczenia:
{{ElastycznyWiersz|1={{IndexWzórCentrujWzór|<math>\alpha^2={{m\omega}\over{\hbar}}\;</MATH>|17.4}}|2={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\xi=\alpha x\;</MAtH>|17.5}}}}
Przy powyższym oznaczeniu nowej zmiennej {{LinkWzór|17.5}} równanie {{LinkWzór|17.3}} w tychże zmiennych jest:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\alpha^2{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\alpha^4x^2\psi+{{2mE}\over{\hbar^2}}\psi=0\Rightarrow
{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\alpha^2x^2\psi+{{2mE}\over{\hbar^2}}{{\hbar}\over{m\omega}}\psi=0\Rightarrow{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\alpha^2x^2\psi+{{2E}\over{\hbar\omega}}\psi=0\;</MATH>|17.6}}
Przyjmując jeszcze raz oznaczenie {{LinkWzór|17.5}} oraz wprowadzony następny stały parametr w trzecim składniku sumy ostatniego wyrażenia, czyli parametr zależny od energii cząstki w oscylatorze harmonicznym i jest on zdefiniowany wedle sposobu:
{{IndexWzórCentrujWzór|<math>\lambda={{2E}\over{\hbar\omega}}\;</maTH>|17.7}}
to dostajemy równanie różniczkowe wyprowadzonej z {{LinkWzór|17.6}} wyprowadzonej przy pomocy {{linkWzór|17.7}}, z którego będziemy wyznaczali jego rozwiązania.
{{IndexWzórCentrujWzór|<matH>{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\xi^2\psi+\lambda\psi=0\;</MATH>|17.8}}
Z powyższego równania wyprowadzimy funkcję własne operatora energii całkowitej mechanicznej cząstki kwantowej dla ściśle określonych energii jako wartości własnej.
 
===Rozwiązania asymptotyczne===
Napiszmy równanie asymptotyczne spełnione dla {{Formuła|<MATH>x\rightarrow\infty\;</MATH>}}, według definicji {{Formuła|<MATH>\xi\;</MATH>}} {{LinkWzór|17.5}} zauważamy, że mamy warunek dla niej, gdy zmienna z kwadratem {{Formuła|<MATH>\xi^2\;</math>}} jest o wiele większa od parametru {{Formuła|<MATH>\lambda\;</MATH>}}, czyli zachodzi warunek dla rozwiązania asymptotycznego {{Formuła|<math>\xi^2>>\lambda\;</MATH>}}, odpowiednikiem asymptotycznym równania własnego {{LinkWzór|17.8}} jest równanie:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\xi^2\psi=0\;</MATH>|17.9}}
Rozwiązaniem powyższego równania jest zestaw funkcji, a znak występującej w tej funkcji przyjmiemy jako plus lub minus, i udowodnimy czy dla tego rozwiązania asymptotycznego właściwym znakiem jest znak minus, bo jest on rozwiązaniem asymptotycznym:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\psi=e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.10}}
który udowodnimy poniżej rozpisując pierwszą i drugą pochodną, które podstawimy później do równania różniczkowego asymptotytycznego {{LinkWzór|17.9}}:
{{ElastycznyWiersz|1={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{d}\over{d\xi}}\psi=\pm\xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.11}}|2={{IndexWzórCentrujWzór|<math>{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi={{d}\over{d\xi}}\left(\pm\xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}\right)=\pm \xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}+\xi^2e^{\pm {{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.12}}}}
Drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|17.10}} zależnego tylko od zmiennej rzeczywistej {{Formuła|<MaTh>\xi\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|17.12}} i {{LinkWzór|17.10}}, podstawiamy do równania różniczkowego asymptotycznego {{LinkWzór|17.9}}, dostajemy niezerowe tożsamościowo wyrażenie, pamiętając o wyborze znaku minus, która dla &xi; nieskończonego, dąży do zera, co opiszemy z komentarzami poniżej, nasze wyrażenie możemy napisać:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MAtH>{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\xi^2\psi=\pm \xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}+\xi^2e^{\pm {{\xi^2}\over{2}}}-\xi^2e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}=\pm \xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.13}}
Ponieważ wyznaczamy równanie asymptotyczne {{LinkWzór|17.8}} dla {{Formuła|<math>\xi\;</Math>}} bardzo dużego, zatem musi być spełniony warunek:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\lim_{\xi\rightarrow\infty}\pm \xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}=0\;</MATH>|17.14}}
Aby powyższe wyrażenie w nieskończonościach dążyło do zera musimy wybrać znak minus, bo ze znakiem plus powyższe wyrazie dąży do nieskończoności i nie jest poprawnym wyrażeniem rozwiązania asymptotycznego:
{{IndexWzórCentrujWzór|<math>\lim_{\xi\rightarrow\infty}\left(-\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\right)=-\lim_{\xi\rightarrow \infty}{{\xi}\over{e^{{{\xi^2}\over{2}}}}}=-\lim_{\xi\rightarrow\infty}{{1}\over{\xi e^{{{\xi^2}\over{2}}}}}=0\;</MATH>|17.15}}
Doszliśmy do wniosku, że rozwiązaniem asymptotycznym równania {{LinkWzór|17.8}}, czyli dla {{LinkWzór|17.9}}, jest rozwiązanie w postaci funkcji ze znakiem minus, ale już nie ze znakiem plus:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\psi=e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.16}}
Powyższe rozwiązanie jest rozwiązaniem całkowalnym z kwadratem po całej linii prostej {{Formuła|<MATH>(-\infty,\infty)\;</MATH>}}, czyli dobrze zrobiliśmy.
 
===Równanie różniczkowe dla funkcji aplitudowej rozwiązania asymptotycznego===
Dla rozwiązania asymptotycznego {{LinkWzór|17.16}} uzmiennijmy stałą zależącą od zmiennej &xi;, którego rozwiązaniem pełnego rozwiązania równania różniczkowego jest {{LinkWzór|17.8}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\psi=\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.17}}
Wyznaczmy dwie pierwsze pochodne funkcji {{LinkWzór|17.17}} przy założeniu, że funkcja {{Formuła|<MatH>\nu\;</MATH>}} jest zależna od zmiennej &xi;, które te pochodne i samą funkcję podstawimy do równania różniczkowego {{LinkWzór|17.8}} z którego wyznaczymy funkcję aplitudową {{Formuła|<MAth>\nu\;</MATH>}} zależną od omawianej zmiennej.
*pierwsza pochodna funkcji {{LinkWzór|17.17}} względem {{Formuła|<math>\xi\;</Math>}}.
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{d}\over{d\xi}}={{d\nu}\over{d\xi}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.18}}
*druga pochodna funkcji {{LinkWzór|17.17}}, a więc pierwsza pochodna pierwszej pochodnej {{LinkWzór|17.18}}.
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi={{d}\over{d\xi}}\left({{d\nu}\over{d\xi}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\right)={{d^2\nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\nu\xi^2e^{-{{\xi^2}\over{2}}}=\;</MATH><BR><MATH>={{d^2\nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-2{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\nu\xi^2e^{-{{\xi^2}\over{2}}}
\;</MATH>|17.19}}
Drugą pochodną {{LinkWzór|17.19}} wyrażenia {{LinkWzór|17.17}} i tą właśnie funkcję podstawiamy do równania różniczkowego {{LinkWzór|17.8}}, dostajemy wyrażenie:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>
{{d^2\nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-2{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\nu\xi^2e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\lambda\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\xi^2\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}=0\Rightarrow
{{d^2\nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-2{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\lambda\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}=0\;</MATH>|17.20}}
Równanie różniczkowe {{LinkWzór|17.20}} dzielimy obustronnie przez funkcję eksponencjalną {{Formuła|<MaTH>e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>}}, która jest zawsze nierówna zero ze względu na jej własności, to dostajemy wynikowe równanie:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{d^2\nu}\over{d\xi^2}}-2{{d\nu}\over{d\xi}}\xi +(\lambda-1)\nu=0\;</MATH>|17.21}}
 
===Rozwiązania aplitudowe funkcji asymptotycznej===
Weźmy rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|17.21}}, co jest rozwiązaniem w postaci szeregu potęgowego zmiennej &xi; o wykładnikach całkowitych, ale nieujemnych, i współczynnikach a<sub>k</sub>, które tworzą w wyniku kombinacji liniowej funkcję &nu; zależną od zmiennej &xi; zdefiniowaną w {{LinkWzór|17.5}}.
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\nu=\sum^{\infty}_{k=0}a_k\xi^k\;</math>|17.22}}
A jego dwie kolejne pochodne licząc je po kolei, tzn. pierwszą i drugą pochodną funkcji {{LinkWzór|17.22}}, co tą ostatnia jest pochodną pierwszej pochodnej, piszemy w postaci:
{{ElastycznyWiersz|1={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{d\nu}\over{d\xi}}=\sum^{\infty}_{k=1}a_k k\xi^{k-1}\;</MATh>|17.23}}|2={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{d^2\nu}\over{d\xi^2}}=\sum^{\infty}_{k=2}a_k k(k-1)\xi^{k-2}\;</MATH>|17.24}}}}
Pochodne zmiennej aplitudowej pierwsze i drugie i samą funkcję podstawiamy do wzoru różniczkowego {{LinkWzór|17.21}} dostając następne wyrażenie:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\sum^{\infty}_{k=2}a_k k(k-1)\xi^{k-2}-2\xi\sum^{\infty}_{k=1}a_k k\xi^{k-1}+(\lambda-1)\sum^{\infty}_{k=0}a_k\xi^k=0\;</MATH>|17.25}}
Dokonując drobnych obliczeń w {{LinkWzór|17.25}} przenosząc w drugim wyrazie zmienną {{Formuła|<MATH>\xi\;</MATH>}} pod sumę i włączając ją do potęgi o wykładniku k-1 dostając wykładnik k:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MaTH>\sum^{\infty}_{k=2}a_k k(k-1)\xi^{k-2}-2\sum^{\infty}_{k=0}a_k k\xi^{k}+(\lambda-1)\sum^{\infty}_{k=0}a_k\xi^k=0\;</MATH>|17.26}}
Dokonujemy zamiany zmiennych w pierwszym składniku sumy wedle schematu, tzn. {{Formuła|<math>k-2\rightarrow k^'\;</MATH>}} w ostatnim wyrażeniu różniczkowym:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\sum^{\infty}_{k=0}a_{k+2} (k+2)(k+1)\xi^{k}-2\sum^{\infty}_{k=0}a_k k\xi^{k}+(\lambda-1)\sum^{\infty}_{k=0}a_k\xi^k=0\Rightarrow\sum^{\infty}_{k=0}\left(a_{k+2}(k+2)(k+1)-2a_k k+(\lambda-1)a_k\right)\xi^k=0\;</MATH>|17.27}}
Wszystkie współczynniki, wyrażone w postaci pewnych wyrażeń, leżące przy współczynnikach {{Formuła|<MATH>\xi^k\;</MATh>}} są równe zero dla dowolnych zmiennych {{Formuła|<math>\xi\;</MATH>}} rzeczywistych, zatem powinno zachodzić:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>a_{k+2}(k+2)(k+1)-2a_k k+(\lambda-1)a_k=0\Rightarrow a_{k+2}(k+2)(k+1)=(2k-\lambda+1)a_k\;</MATH>|17.28}}
Zatem dla współczynników wzory iteracyjne {{Formuła|<maTH>a_k\;</Math>}} są wyrażone wzorem:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>a_{k+2}={{2k-\lambda+1}\over{(k+2)(k+1)}}a_k\;</math>|17.29}}
Dla dużych k powyższe wyrażenie iteracyjne zapisujemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>a_{k+2}\simeq{{2k}\over{(k+2)(k+1)}}a_k\Rightarrow a_{k+2}\simeq{{2}\over{k}}a_k\;</MATH>|17.30}}
Dla wyrażenia <math>e^{\xi^2}\;</MaTh> rozwińmy go w szereg Taylora:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>e^{\xi^2}=1+\xi^2+{{\xi^4}\over{2!}}+{{\xi^6}\over{3!}}+...=\sum^{\infty}_{k=0}{{\xi^{2n}}\over{n!}}\;</MaTH>|17.31}}
Dla szeregu potegowego {{LinkWzór|17.31}} napiszmy stosunek współczynnika o numerze k+2 do współczynnika o numerze "k" dostając przy tym pewne uproszczone wyrażenie, i wyraźmy go dla dużych k:
{{IndexWzórCentrujWzór|<Math>{{b_{k+2}}\over{b_k}}={{ {{1}\over{(k/2+1)!}} }\over{ {{1}\over{(k/2)!}} }}={{(k/2)}\over{(k/2+1)!}}={{(k/2)1}\over{(k/2)!(k/2+1)}}={{1}\over{(k/2+1)}}\simeq{{2}\over{k}}\;</MATH>|17.32}}
Na podstawie końcowego wyrażenia {{LinkWzór|17.30}} i współczynników rozwinięcia funkcji {{LinkWzór|17.31}} czyli ilorazem kolejnych wyrazów b<sub>k</sub> w {{LinkWzór|17.32}}, zatem rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|17.21}} są takie funkcje, które z {{LinkWzór|17.17}} były niecałkowalne z kwadratem, a rozwiązaniem równania oscylatora harmonicznego powinny być funkcje całkowalne z kwadratem, zatem szereg {{LinkWzór|17.22}} należy urwać na pewnym wyrazie, tzn. {{Formuła|<math>a_{k}\neq 0\;</Math>}} i {{Formuła|<MaTH>a_{k+1}=0\;</MaTH>}}, zatem w {{LinkWzór|17.28}} musi być spełniony warunek by była zachowana całkowalność z kwadratem funkcji {{LinkWzór|17.22}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>2k-\lambda+1=0\;</MATH>|17.33}}
Do równania {{LinkWzór|17.33}} za parametr &lambda; należy podstawić wyrażenie oznaczone {{LinkWzór|17.7}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>2k-{{2E}\over{\hbar\omega}}+1=0\Rightarrow {{2E}\over{\hbar\omega}}=2k+1\Rightarrow
2E=(2k+1)\hbar\omega\Rightarrow E=\left(k+{{1}\over{2}}\right)\hbar\omega\;</MATH>|17.34}}
Energie E są skwantowane w zależności od parametru naturalnego k i napiszmy go w postaci zamieniając k na n:
{{IndexWzórCentrujWzór|<Math>E_n=\left(n+{{1}\over{2}}\right)\hbar\omega\;</MATH>|17.35}}
Energia własna jednowymiarowego oscylatora harmonicznego jest skwantowana i zależna od liczby kwantowej n, mówi ona, że dla zerowej liczby kwantowej n układ będzie miał jeszcze energię równą {{Formuła|<MaTH>1/2\hbar\omega\;</Math>}}.
 
===Rozwiązania funkcji własnych równania własnego operatora energii oscylatora harmonicznego===
Szeregiem {{LinkWzór|17.22}} dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego z dokładnością do stałej są to unormowane funkcje Hermite'a z definiowane w postaci:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\nu_n=H_n(\xi)=(-1)^ne^{\xi^2}{{d^n}\over{d\xi^n}}\left(e^{-\xi^2}\right)\;</Math>|17.36}}
Zatem rozwiązanie całkowite równania {{LinkWzór|17.8}} można przepisać w postaci:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\psi_n(\xi)=C_ne^{-{{\xi^2}\over{2}}}H_n(\xi)\;</math>|17.37}}
W równaniu {{LinkWzór|17.37}} występująca funkcja Hermite'a dla małych współczynników można wyrazić go jako:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>H_0=(-1)^0e^{\xi^2}e^{-\xi^2}=1\;</MATH><BR><MATH>H_1=(-1)^ne^{\xi^2}{{d}\over{d\xi}}e^{-\xi^2}=(-1)e^{\xi^2}(-2\xi)e^{-\xi^2}=2\xi\;</MATH><BR><MATH>H_2=(-1)^2e^{\xi^2}{{d^2}\over{d\xi^2}}e^{-\xi^2}=e^{\xi^2}{{d}\over{d\xi}}\left[(-2)\xi e^{-\xi^2}\right]=-2e^{\xi^2}\left[e^{-\xi^2}-2\xi^2e^{-\xi^2}\right]=4\xi^2-2\;</MATH>|17.38}}
Funkcję {{LinkWzór|17.37}} można unormować całkując ją z kwadratem wyznaczając z stąd stałą {{Formuła|<MATH>C_n\;</MATH>}} zależną od liczby kwantowej n i mając stałą {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}} zdefiniowaną w {{LinkWzór|17.4}}, i przechodząc przez kolejne jego etapy tego unormowania, którego całka jest równa jeden:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>1=\int_{-\infty}^{\infty}|\psi_n(\xi)|^2dx=C_n^2\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\xi^2}H_n^2(\xi){{d\xi}\over{\alpha}}=C_n^2\alpha^{-1}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\xi^2}H_n^2(\xi)d\xi=C_n^2\alpha^{-1}2^nn!\sqrt{\pi}\;</MATH>|17.39}}
Z powyższego równania normalizacyjnego wyznaczamy stałą {{Formuła|<MATH>C_n\;</MATH>}}, którego wygląd:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>C_n={{\alpha^{{{1}\over{2}}}}\over{\sqrt{2^nn!\sqrt{\pi}}}}\;</MATH>|17.40}}
wtedy wyrażenie {{LinkWzór|17.37}}, które jest funkcją własna bazy dyskretnej rozwiązania kwantowego równania własnego {{LinkWzór|17.3}} natomiast jest w postaci:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\psi_n(\xi)={{\alpha^{{{1}\over{2}}}}\over{\sqrt{2^nn!\sqrt{\pi}}}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}H_n(\xi)\;</MATH>|17.41}}
Równanie własne operatora energii {{LinkWzór|17.2}} ma energie własne (wartości własne) w postaci {{LinkWzór|17.35}}, zdefiniowane dla funkcji własnymi zdefiniowanej według {{LinkWzór|17.41}}, co odpowiada jemu energia {{linkWzór|17.35}}.
 
==Kwantowy trójwymiarowy oscylator harmoniczny==
Rozpatrzmy oscylator kwantowy o energii potencjalnej, który zależy od promienia radialnego (odległości radialnej) w przestrzeni trójwymiarowej w układzie kulistym:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>V(r)={{1}\over{2}}kr^2={{1}\over{2}}\underbrace{M\omega^2}_{k}r^2\;</MATH>|17.42}}
Równanie własne dla oscylatora harmonicznego z uwzględnieniem potencjału tego oscylatora {{LinkWzór|17.42}}, przyjmuje postać:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\left\{-{{\hbar^2}\over{2M}}\Delta+{{1}\over{2}}M\omega^2r^2\right\}\psi=E\psi\;</MATH>|17.43}}
Powyższe równanie jest równaniem falowym Schrödinegera dla kwantowego oscylatora harmonicznego w przestrzeni trójwymiarowej.
===Radialne równanie trójwymiarowego oscylatora harmonicznego===
Dokonując takich samych przekształceń jak dla atomu wodoru w potencjale kulombowskim, tylko w tym przypadku cząstka kwantowa znajduje w potencjale oscylatora harmonicznego trójwymiarowego, co w tym celu wykorzystujemy przy tym równanie {{LinkWzór|7.135|Mechanika kwantowa/Postulat_drugi_mechaniki_kwantowej}}
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{d^2R}\over{dr^2}}+\left\{{{2M}\over{\hbar^2}}\left(E-{{M\omega^2r^2}\over{2}}\right)-{{l(l+1)}\over{r^2}}\right\}R=0\;</MATH>|17.44}}
Widzimy, że powyższe równanie jest równaniem różniczkowym radialnym, który pozwala wyznaczyć R(r) względem zmiennej radialnej r, który z kolei zależy od liczby kwantowej momentu pędu l.
Wprowadźmy do równania {{LinkWzór|17.44}} nowe oznaczenia zastępujące pewne stałe w omawianym równaniu wiążące pewne stałe i parametry:
{{ElastycznyWiersz|1={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\lambda={{2ME}\over{\hbar^2}}\geq 0\;</MATH>|17.45}}|2={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\nu={{M\omega}\over{\hbar}}\;</MATH>|17.46}}}}
Równanie {{LinkWzór|17.44}} na podstawie nowych parametrów {{LinkWzór|17.45}} i {{LinkWzór|17.46}} przyjmuje bardziej prostą postać:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{d^2R}\over{dr^2}}+\left\{\lambda-\nu^2r^2-{{l(l+1)}\over{r^2}}\right\}R=0\;</MATH>|17.47}}
 
===Część radialna rozwiązania względem rozwiązań Laguerra===
Zakładamy, że funkcja {{Formuła|<MATH>R(r)\;</MATH>}}, która jest rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|17.47}}, która składa się z trzech części i na ostatku z funkcji L(r), którą musimy wyznaczyć, a całkowite rozwiązaniem naszego równania różniczkowego można przedstawić:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>R(r)=r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)\;</MATH>|17.48}}
Policzmy dwie kolejne pochodne ostatniej funkcji, która zależy od promienia r względem tejże zmiennej (radialnej), najpierw zabierzmy się za pierwszą pochodną naszej funkcji:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{dR}\over{dr}}=(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)-r^{l+1}\nu re^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL}\over{dr}}\;</MATH><br>
<MATH>=(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL}\over{dr}}\;</MATH>|17.49}}
Jeśli już mamy pierwszą pochodną {{LinkWzór|17.49}} funkcji radialnej {{LinkWzór|17.48}}, możemy zabrać się z kolei do obliczenia drugiej pochodnej naszej funkcji mając już pierwszą pochodną.
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{d^2R}\over{dr^2}}={{d}\over{dr}}{{dR}\over{dr}}={{d}\over{dr}}\left\{(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL}\over{dr}}\right\}=l(l+1)r^{l-1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+\;</MATH><BR><MATH>-(l+1)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL(r)}\over{dr}}-(l+2)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+r^{l+3}\nu^2e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL}\over{dr}}+\;</MATH><BR><MATH>+(l+1)r^{l}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL(r)}\over{dr}}-\nu r^{l+2}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL(r)}\over{dr}}+r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}=
r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\Bigg\{-\nu r^{l+2}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}+\;</MATH><BR><MATH>+(l+1)r^{l}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}+(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}} \Bigg\}+L(r)\Bigg\{l(l+1)r^{l-1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-(l+1)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-(l+2)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}+\;</MATH><BR><MATH>+r^{l+3}\nu^2e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\Bigg\}=e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\Bigg\{r^{l+1}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{-2\nu r^{l+ 2}+(2l+2)r^l \right\}+L(r)\left\{-(2l+3)r^{l+1}\nu+l(l+1)r^{l-1}+r^{l+3}\nu^2\right\}\Bigg\}\;</MATH>|17.50}}
Obliczoną drugą pochodną {{LinkWzór|17.50}} i wyrażenie {{LinkWzór|17.48}} wstawiamy do równania różniczkowego {{LinkWzór|17.47}}, dostajemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\Bigg\{r^{l+1}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{-2\nu r^{l+ 2}+(2l+2)r^l \right\}+L(r)\left\{-(2l+3)r^{l+1}\nu+l(l+1)r^{l-1}+r^{l+3}\nu^2\right\}=\;</MATH><BR><MATH>=\left\{\lambda-\nu^2r^2-{{l(l+1)}\over{r^2}}\right\}r^{l+1}L(r)\Bigg\}=0\;</MATH>|17.51}}
Równanie {{LinkWzór|17.51}} dzielimy obustronnie przez {{Formuła|<MATH>e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\;</MATH>}}, która jak wiadomo z analizy matematycznej jest wyrażeniem zawsze niezerowym, a następnie dokonujmy odpowiednich przekształceń w równości {{LinkWzór|17.51}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>r^{l+1}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{-2\nu r^{l+2}+(2l+2)r^l \right\}+L(r)\left\{\lambda r^{l+1}-(2l+3)r^{l+1}\nu \right\}=0\;</MATH>|17.52}}
Otrzymane równanie dzielimy obustronnie przez {{Formuła|<MATH>r^{l}\;</MATH>}}, otrzymujemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>r{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{2l+2-2\nu r^2\right\}+L(r)r\left\{\lambda-(2l+3)\nu\right\}=0\;</MATH>|17.53}}
Dokonajmy zamiany zmiennych w równaniu różniczkowym {{LinkWzór|17.53}} zmienną r na zmienną x:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>x=\nu r^2\;</MATH>|17.54}}
licząc najpierw pierwszą pochodną funkcji {{Formuła|<MATH>L\;</MATH>}} względem r, by potem je przekształcić względem x:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{dL}\over{dr}}={{dL}\over{dx}}{{dx}\over{dr}}=2\nu r{{dL}\over{dx}}\;</MATH>|17.55}}
a także drugą pochodną funkcji L(r), korzystając z pierwszej pochodnej {{LinkWzór|17.55}}, przy definicji zmiennej x {{linkWzór|17.54}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{d^2L}\over{dr^2}}={{d}\over{dr}}{{dL}\over{dr}}={{d}\over{dr}}2\nu r{{dL}\over{dx}}=2\nu{{d}\over{dr}}r{{dL}\over{dx}}=2\nu {{dL}\over{dx}}+2\nu r{{d}\over{dr}}{{dL}\over{dx}}=2\nu {{dL}\over{dx}}+4\nu^2r^2 {{d^2L}\over{dx^2}}=4\nu x{{d^2L}\over{dx^2}}+2\nu{{dL}\over{dx}}\;</MATH>|17.56}}
Równanie {{LinkWzór|17.53}} mnożymy przez {{Formuła|<MATH>\nu r\;</MATH>}}, dostajemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\nu r^2{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+\nu r{{dL}\over{dr}}\left\{2l+2-2\nu r^2\right\}+L(r)r^2\nu\left\{\lambda-(2l+3)\nu\right\}=0\;</MATH>|17.57}}
Dokonujemy teraz wstędnej zamiany zmiennych {{LinkWzór|17.54}} w równaniu różniczkowym {{LinkWzór|17.57}}, co w rezultacie otrzymujemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>x{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+\nu r{{dL}\over{dr}}\left\{2l+2-2x\right\}+L(r)x\left\{\lambda-(2l+3)\nu\right\}=0\;</MATH>|17.58}}
Teraz dokonajmy, podstawień za pochodne, tzn. za pierwszą {{LinkWzór|17.55}} i drugą {{LinkWzór|17.56}} zapisaną względem r funkcji L(r) do {{LinkWzór|17.58}}, dochodzimy do wniosku:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>4\nu x^2{{d^2L}\over{dx^2}}+2\nu x{{dL}\over{dx}}+2\nu x{{dL}\over{dx}}(2l+2-x)+L(r)x\left\{\lambda-(2l+3)\right\}=0\;</MATH>|17.59}}
Ponieważ mamy w ogólności, że zmienna x {{LinkWzór|17.54}} spełnia takowy warunek {{Formuła|<MATH>x\neq 0\;</MATH>}}, bo nielogiczne jest, że cząstka może przyjmować tylko położenie x=0, więc możemy dokonać dzielenia przez x we wzorze {{LinkWzór|17.59}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>4\nu x{{d^2L}\over{dx^2}}+2\nu {{dL}\over{dx}}(2l+3-x)+L(r)\left\{\lambda-(2l+3)\right\}=0\;</MATH>|17.60}}
Dzielimy obie strony przez niezerowy parametr {{Formuła|<MATH>4\nu\;</MATH>}} dla równania {{LinkWzór|17.60}}, dostajemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>x{{d^2L}\over{dx^2}}+{{dL}\over{dx}}(l+{{3}\over{2}}-x)+L(r)\left\{{{\lambda}\over{4\nu}}-{{2l+3}\over{4\nu}}\right\}=0\;</MATH>|17.61}}
Idąc dalej w {{LinkWzór|17.61}} przekształcamy go do postaci bardzo podobnej do równania różniczkowego Laguerra:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>x{{d^2L}\over{dx^2}}+{{dL}\over{dx}}(l+{{1}\over{2}}+1-x)+L(r)\left\{{{\lambda}\over{4\nu}}-{{2l+3}\over{4\nu}}\right\}=0\;</MATH>|17.62}}
Obierzmy w równaniu {{LinkWzór|17.62}} definicję nowych pomocnych parametrów, które jak się przekonamy będą dla nas bardzo potrzebne:
{{ElastycznyWiersz|1={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>a=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>|17.63}}|2={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>b={{\lambda}\over{4\nu}}+{{l}\over{2}}-{{1}\over{4}}\;</MATH>|17.64}}}}
|}
Oraz policzmy na podstawie {{LinkWzór|17.63}} i {{LinkWzór|17.64}} podane wyrażenie, które jak się przekonamy występuje w {{LinkWzór|17.62}} jako różnica zmiennych b {{LinkWzór|17.64}} i a {{LinkWzór|17.63}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>b-a={{\lambda}\over{4\nu}}+{{l}\over{2}}-{{1}\over{4}}-l-{{1}\over{2}}=
{{\lambda}\over{4\nu}}-{{l}\over{2}}-{{3}\over{4}}={{\lambda}\over{4\nu}}-
{{2l+3}\over{2}}\;</MATH>|17.65}}
Linia 158:
===Rozwiązania względem równania różniczkowego Laguerra===
Dochodzimy do wniosku, że równanie {{LinkWzór|17.62}} według {{LinkWzór|17.63}} i {{LinkWzór|17.65}} przyjmuje dobrą postać, która jest dla nasz oczekiwanym równaniem różniczkowym Laguerra:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>x{{d^2L}\over{dx^2}}+\left\{a+1-x\right\}{{dL}\over{dx}}+(b-a)L=0\;</MATH>|17.66}}
Aby rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|17.66}} było zawsze skończone, które jest rozwiązaniem Laguerra, to musi zachodzić na podstawie {{LinkWzór|17.65}}, że poniższe wyrażenie musi mieć całkowitą skończoną podstać, z której możemy wyznaczyć zmienną b znając a z {{LinkWzór|17.63}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>b-a={{\lambda}\over{4\nu}}-{{l}\over{2}}-{{3}\over{4}}\equiv n-1\Rightarrow b=n-1+a=n-1+l+{{1}\over{2}}\Rightarrow b=n+l-{{1}\over{2}}\;</MATH>|17.67}}
*gdzie: {{Formuła|<MATH>n=1,2,3,...\;</MATH>}}.
 
===Wartości własne energii własnych===
Teraz mając już pierwszą postać wyrażenia {{LinkWzór|17.67}}, i odpowiednio przenosząc wyrazy w tym wyrażeniu, otrzymujemy oczekiwane wyrażenie, z której możemy wyznaczyć energię własne równania różniczkowego równania własnego operatora energii kwantowego oscylatora harmonicznego:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{\lambda}\over{2\nu}}-l-{{3}\over{2}}=2n-2\Rightarrow{{\lambda}\over{2\nu}}=2n+l-{{1}\over{2}}\;</MATH>|17.68}}
Policzmy na podstawie {{LinkWzór|17.45}} i {{LinkWzór|17.46}} w celu wyznaczenia czemu jest równa lewa strona końcowego równania {{LinkWzór|17.68}}, korzystając z definicji podanych poprzednio nowych parametrów, to on przyjmuje postać:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{\lambda}\over{2\nu}}={{2ME}\over{2\hbar^2}}{{\hbar}\over{M\omega}}={{E}\over{\hbar\omega}}\;</MATH>|17.69}}
Końcowe wyrażenie {{LinkWzór|17.68}} powstaje, gdy po podstawieniu za jej lewą stroną ostatnią tożsamość {{linkWzór|17.69}}, otrzymujemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{E}\over{\hbar\omega}}=2n+l-{{1}\over{2}}\;</MATH>|17.70}}
Zatem ostatecznie w {{LinkWzór|17.70}}, dokonujemy wymnożenia przez wyrażenie {{Formuła|<MATH>\hbar\omega\;</Math>}}, z której możemy wyznaczyć energię oscylatora harmonicznego w postaci skwantowanej zależącą od dwóch parametrów naturalnych n i l:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>E=\left(2n+l-{{1}\over{2}}\right)\hbar\omega\;</MATH>|17.71}}
Ponieważ, nic nie zakładaliśmy co do wartości n i l w rozwiązaniach równania radialnego kwantowego oscylatora harmonicznego w {{LinkWzór|17.47}} i tożsamości początkowej {{LinkWzór|17.67}}, to one mogą przebiegać niezależnie, według schematu:
{{ElastycznyWiersz|1={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>n=1,2,3,4,5\;</MATH>|17.72}}|2={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>l=0,1,2,3,...\;</MATH>|17.73}}}}
Policzmy więc stopień degeneracji poziomu energii własnych oscylatora harmonicznego, w tym celu przedstawmy {{LinkWzór|17.71}} troszeczkę w innej postaci wprowadzając całkowitą liczbę kwantową N:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>E_N=\hbar\omega\left\{N+{{3}\over {2}}\right\}\;</MATH>|17.74}}
w której ta liczba kwantowa N jest zdefiniowana w sposób:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>N=2n+l-2\;</MATH>{{Tekst|,gdzie }}<MATH>N=0,1,2,3,4,..\;</MATH>|17.75}}
aby równanie {{LinkWzór|17.74}} było zgodne z {{LinkWzór|17.71}}.
Z {{LinkWzór|17.75}} wyznaczamy {{Formuła|<MATH>l\;</MATH>}}, aby później wyznaczyć stopień generacji dla kwantowego oscylatora harmonicznego.
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>l=N+2-2n\;</MATH>{{Tekst|, &nbsp;wtedy mamy: }}<MATH>l=N,N-2,N-4,...,1\mbox{ lub } 0\;</MATH>|17.76}}
Ilość degeneracji, również z namiastką spinu, który ma dwa rzuty na oś zetową, przyjmuje postać dla N parzystego:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>2\sum_{0,2,...,N}(2l+1)=2{{1+2N+1}\over{2}}\left({{N}\over{2}}+1\right)=(N+1)(N+2)\;</MATH>|17.77}}
Dla N nieparzystego ilość degeneracji jest:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>2\sum_{1,3,..,N}(2l+1)=2{{3+2N+1}\over{2}}{{N+1}\over{2}}=(N+1)(N+2)\;</MATH>|17.78}}
Czyli stopień degeneracji na podstawie {{LinkWzór|17.77}} lub {{LinkWzór|17.78}} jest zależny od wprowadzonej liczby kwantowej naturalnej N, które to wyrażenie przyjmuje postać:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>g=(N+1)(N+2)\;\;</MATH>|17.79}}
 
===Funkcje własne trójwymiarowego kwantowego oscylatora harmonicznego===
jeśli mamy rozwiązanie R(r) {{LinkWzór|17.48}} poprzez funkcję Laguerra i mając definicję funkcji jako {{Formuła|<MATH>{{R(r)}\over{r}}\;</MATH>}}, i mając jeszcze funkcje kuliste, i uwzględniając jeszcze pojęcie spinu, to nasze rozwiązanie równania własnego {{linkWzór|17.43}} przyjmuje postać:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\psi_{nlm_lm_s}\sim r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L^{a=l+{{1}\over{2}}}_{b=n+l-{{1}\over{2}}}(\nu r^2)Y_{lm_l}(\theta\phi)\chi_{m_s}\;</MATH>|17.80}}
 
===Operator energii całkowitej z uwzględnieniem oddziaływania spin-orbita===
Wcześniej w obliczeniach nie uwzględnialiśmy spinu, czyli w {{LinkWzór|17.43}}. Teraz uwzględniając spin, czyli mianowicie oddziaływanie spinu z orbitą cząstki, wtedy napiszmy nasz poprawiony Hamiltonian mając stałą D o pewnej ściśle określonej wartości:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\hat{H}=-{{\hbar^2}\over{2M}}\Delta+{{M\omega^2r^2}\over{2}}+D\hat{s}\cdot \hat{l}\;</MATH>|17.81}}
Stała D w pierwszym przybliżeniu przyjmujemy, że jest stałą niezależną od odległości cząstki od położenia równowagi.
Suma orbitalnego momentu pędu oraz jego spinu, jest to całkowity moment pędu i jest zdefiniowany:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}\;</MATH>|17.82}}
Podnosząc obie strony równania {{LinkWzór|17.82}} do kwadratu mamy następne równanie wynikowe:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{j}^2=\vec{l}^2+\vec{s}^2-2\vec{l}\vec{s}\Rightarrow \vec{l}\vec{s}={{1}\over{2}}\left(\vec{j}^2-\vec{l}^2-\vec{s}^2\right)\;</MATH>|17.83}}
A zatem nasz Hamiltonian {{LinkWzór|17.83}} przyjmuje następną równoważną postać, zastępując odpowiednie wektory momentów pędu czy to orbitalnego czy spinowego tejże wielkości fizycznej przez operatory i po podstawieniu tak otrzymanego operatora do {{linkWzór|17.81}}, otrzymujemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\hat{H}=-{{\hbar^2}\over{2M}}\Delta+{{M\omega^2r^2}\over{2}}+{{D}\over{2}}\left(\hat{j}^2-\hat{l}^2-\hat{s}^2\right)\;</MATH>|17.84}}
Napiszmy teraz równanie własne operatora zdefiniowanego w {{linkWzór|17.84}} wykorzystując równanie własne kwadratu całkowitego, orbitalnego, spinowego momentu pędu, wiedząc, że wszystkie te operatory mają wspólne funkcje własne i mają bardzo podobne wartości pod względem wyglądu:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\hat{H}\psi^{(ls)}_{nljm}=\left\{-{{\hbar^2}\over{2M}}\Delta+{{M\omega^2r^2}\over{2}}\right\}\psi^{(lm)}_{nljm}+
{{D}\over{2}}(\hat{j}^2-\hat{l}^2-\hat{s}^2)\psi^{(lm)}_{nljm}=\left\{(N+{{3}\over{2}})\hbar\omega+{{D}\over{2}}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right]\right\}\psi^{(lm)}_{nljm}\;</MATH>|17.85}}
Poprawka do energii {{Formuła|<MATH>\Delta E\;</MATH>}} poziomów oscylatora harmonicznego trójwymiarowego przyjmuje logiczną postać:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\Delta E={{D}\over{2}}\left(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right)={{D}\over{2}}\left(j(j+1)-l(l+1)-{{3}\over{4}}\right)\;</MATH>|17.86}}
Ponieważ całkowita liczba kwantowa "j" jest kwantową połówkową liczbą kwantową, która może się mieścić się pomiędzy liczbami połówkowymi, określonych przez orbitalne liczby kwantowe "l" przyjmujących wartości całkowite nieujemne, co wynika z dodawania orbitalnego momentu pędu i liczby kwantowej połówkowej spinowej liczby kwantowej równej {{Formuła|<Math>{{1}\over{2}}\;</MATH>}}, jeśli cząstka posiada spin własny.
{{ElastycznyWiersz|1={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>j=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>|17.87}}|2={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>j=l-{{1}\over{2}}\;</MATH>|17.88}}}}
Znajdziemy poprawkę do energii {{LinkWzór|17.86}} uwzględniając istnienie spinu cząstki przy całkowitym momencie pędu "j" sformułowanego według wyrażenia {{LinkWzór|17.87}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>(\Delta E)_{l+{{1}\over{2}}}={{D}\over{2}}\left[\left(l+{{1}\over{2}}\right)\left(l+{{3}\over{2}}\right)-l(l+1)-{{3}\over{4}}\right]=
{{D}\over{2}}\left(l^2+{{3}\over{2}}l+{{1}\over{2}}l+{{3}\over{4}}-l^2-l-{{3}\over{4}}\right)=
{{D}\over{2}}l\;</MATH>|17.89}}
Znajdziemy poprawkę do energii {{LinkWzór|17.86}} uwzględniając istnienie spinu cząstki przy całkowitym momencie pędu "j" sformułowanego według wyrażenia {{LinkWzór|17.88}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>(\Delta E)_{l-{{1}\over{2}}}={{D}\over{2}}\left[\left(l-{{1}\over{2}}\right)\left(l+{{1}\over{2}}\right)-l(l+1)-{{3}\over{4}}\right]=
{{D}\over{2}}\left(l^2+{{1}\over{2}}l-{{1}\over{2}}l-{{1}\over{4}}-l^2-l-{{3}\over{4}}\right)={{D}\over {2}}\left(-l-1\right)=-{{D}\over{2}}(l+1)\;</MATH>|17.90}}
Więc rozszczepienie przyjmuje wartość dla różnicy energii między dwoma skrajnymi poziomami dla tej samej orbitalnej liczby kwantowej, czyli dla najbliższych sąsiadów całkowita poprawka do energii, przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|17.89}} i {{LinkWzór|17.90}}, piszemy jako poprawkę do energii elektronu:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>(\Delta E)_{l+{{1}\over{2}}}-(\Delta E)_{l-{{1}\over{2}}}={{D}\over{2}}(l+l+1)={{D}\over{2}}(2l+1)\;</MATH>|17.91}}
W wyrażeniu {{LinkWzór|17.91}} widzimy, że po uwzględnieniu spinu cząstki rozszczepienie jest niezerowe.
<noinclude>{{kreskaKreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}</noinclude><noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/Kwantowy_oscylator_harmoniczny”