Mechanika kwantowa/Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 33:
 
==Obrazy według Schrödingera i Heisenberga==
Rozważmy równanie zależne od czasu równanie Schrödingera, która wprowadza zależność od czasu funkcji falowej, który jest rozwiązaniem równania własnego {{LinkWzór|10.1|Mechanika kwantowa/Postulat_czwarty_mechaniki_kwantowej}}, gdy mamy przedstawienie funkcji falowej rozwiązania niezależnego od czasu {{LinkWzór|7.121|Mechanika kwantowa/Postulat_drugi_mechaniki_kwantowej}} i te dwie funkcje można ze sobą połączyć używając operatora ewolucji {{LinkWzór|10.35|Mechanika kwantowa/Postulat_czwarty_mechaniki_kwantowej}} a tą operację przedstawiamy przy pomocy wzoru {{LinkWzór|10.42|Mechanika kwantowa/Postulat_czwarty_mechaniki_kwantowej}}, co tutaj przepiszemy w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(x,y,z,t)=e^{-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\phi(x,y,z)</MATH>|22.13}}
Lub odwrotną zależność do {{LinkWzór|22.13}}, gdy mamy funkcję {{Formuła|<math>\psi(x,y,z,t)\;</Math>}} (która jest rozwiązaniem równania falowego zależnego czasu), to będziemy mogli wyznaczyć funkcję niezależną od czasu {{Formuła|<math>\phi(x,y,z)\;</math>}} (która jest rozwiązaniem równania falowego niezależnego od czasu):
Linia 48:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi^{(H)}=e^{{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\psi^{(S)}</MATH>|22.17}}
 
Operator {{Formuła|<MATH>\hat{U}=e^{i{{\hat{H}}\over{\hbar}}t}</MATH>}} jest operatorem unitarnym, ponieważ zachodzi warunek dla tych operatorów w postaci {{LinkWzór|20.62|Mechanika kwantowa/Wprowadzenie_do_teorii_wektorów_Diraca}}, a jego dowód jest:
{{CentrujWzór|<MATH>(e^{i{{\hat{H}}\over{\hbar}}t})^{+}e^{i{{\hat{H}}\over{\hbar}}t}=e^{-i{{\hat{H}}\over{\hbar}}t}e^{i{{\hat{H}}\over{\hbar}}t}=e^0=1</MATH>|22.18}}
Wyznaczmy element macierzowy operatora {{Formuła|<math>\hat{A}^{(H)}\;</MATH>}} względem funkcji falowych Heisenberga, które są rozwiązaniami równania falowego niezależnego od czasu, korzystając przy tym, że operator energii jest operatorem hermitowskim:
{{CentrujWzór|<MATH>A^{(H)}_{nm}=\langle m|\hat{A}^{(H)}|n\rangle=\int{\psi^{(H)}_m}^*\hat{A}^{(H)}\psi^{(H)}_n d\tau=\int{\psi^{(H)}_m}^{*}e^{{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\hat{A}^{(S)}e^{-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\psi^{(H)}_nd\tau=\int(e^{-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\psi^{(H)}_m)^*\hat{A}^{(S)}e^{-i{{\hat{H}}\over{\hbar}}t}\psi^{(H)}_nd\tau</MATH>|22.19}}
Ponieważ zachodzi na podstawie {{LinkWzór|10.37|Mechanika kwantowa/Postulat_czwarty_mechaniki_kwantowej}}, to można rozpisać działanie operatora ewolucji na funkcję falową Heisenberga:
{{CentrujWzór|<MATH>e^{-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\psi_k^{(H)}=\left(1+(-{{i}\over{\hbar}})\hat{H}+\left(-{{i}\over{\hbar}}\right)\hat{H}^2+...\right)\psi^{(H)}_n=
\left(1+(-{{i}\over{\hbar}})E_n+\left(-{{i}\over{\hbar}}\right)E^2_n+...\right)\psi^{(H)}_n=