Mechanika kwantowa/Zasada wariacyjna Schwingera: Różnice pomiędzy wersjami

==Przejście między klasycznym i kwantowym Hamiltonianem, a zasada wariacyjna Schwingera==

Ideom mechaniki kwantowej jest prowadzenie pewnych operatorów w zamian za wielkości skalarne lub wektorowe w mechanice kwantowej, co wykorzystamy w metodzie kwantyzacji Schwingera.

{{CentrujWzór|<MATH>{{dF}\over{dt}}=\{F,\mathcal{H}\}_P+{{\partial F}\over{\partial t}}\;</MATH>|31.1}}

 

{{CentrujWzór|<MATH>{{d\hat{F}}\over{dt}}=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{F},\hat{H}]+{{\partial \hat{F}}\over{\partial t}}\;</MATH>|31.2}}

*gdzie: {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MaTh>}} jest to hamiltonian (operator energii całkowitej układu lub cząstki) według mechaniki kwantowej.

Odpowiednikiem nawiasu Poissona według {{Formuła|<MATH>\{F,G_q\}_P\;</MATH>}} w mechanice kwantowej jest operator napisany jako {{Formuła|<MATh>-{{i}\over{\hbar}}[F,\hat{G}_q]\;</MATH>}}, bo {{LinkWzór|31.3}}, zatem możemy napisać na postawie {{LinkWzór|31.9}}, ale kwantowo.

{{CentrujWzór|<MATH>\delta \hat{F}(q_i)=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{F},\hat{G}_{q_i}]\;</MATH>|31.10}}

{{CentrujWzór|<MATH>\delta \hat{q}_i=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{q}_i,\hat{p}_i\delta \hat{q}_i]=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{q}_i,\hat{p}_i]\delta \hat{q}_i=-{{i}\over{\hbar}}i\hbar\delta \hat{q}_i=\delta \hat{q}_i\;</MAth>|31.11}}

A więc otrzymaliśmy tożsamość, tzn. doszliśmy do tego, że skrajnie lewa i skrajnie prawa strona wyprowadzenia {{LinkWzór|31.11}} są sobie równe, a więc zasada {{LinkWzór|31.10}} jest poprawnie skonstruowane.

==Zasada wariacyjna, a pole Kleina-Gordona==

Znając gęstość Lagrangianu policzymy czemu jest równy operator Schwingera w "pędowej" i "położeniowej" reprezentacji i policzymy komutatory będących kombinacją tychże wielkości według naszej zasady wariacyjnej.

{{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}={{1}\over{2}}{{\hbar^2}\over{m_0}}\left[{{1}\over{c^2}}\left({{\partial\Phi}\over{\partial t}}\right)^2-\left(\nabla\Phi\right)^2\right]-{{1}\over{2}}m_0c^2\Phi^2\;</MATH>|31.21}}

Napiszmy funkcjonał S, który jest całką z gęstości Lagrangianu {{LinkWzór|31.21}} względem współrzędnych czasoprzestrzennych:

Mając dwa ostatnie obliczenia podstawmy je do wzoru {{LinkWzór|31.23}}, to otrzymujemy całkę działania z pewnej funkcji:

{{CentrujWzór|<MATH>\delta S= {{1}\over{2c}}\int d^4x\left[{{\hbar^2}\over{m_0}}\left(\nabla^2\Phi-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\Phi}\over{\partial t^2}}\right)-m_0c^2\Phi\right]\delta\hat{\Phi}+{{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3x\left[\left({{\partial\Phi}\over{\partial t}}\delta\hat{\Phi}\right)\right]^{t_2}_{t_1}=G_{\Phi}(\tau_2)-G_{\Phi}(\tau_1)\;</MATH>|31.24}}

{{CentrujWzór|<math>G_{\Phi}={{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3 x\left({{\partial\Phi}\over{\partial t}}\delta {\Phi}\right)={{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3x\Pi\delta\Phi\;</MATH>|31.25}}

*gdzie funkcja pola "pędu" określamy jako pochodna cząstkowa funkcji "położenia" względem czasu:

 

==Zasada wariacyjna, a pole Diraca==

{{CentrujWzór|<MATH>S={{1}\over{c}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\mathfrak{L}={{1}\over{c}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\overline{\psi}\left(i\hbar c\overset{\leftrightarrow}{\not{\partial}}-m_0c^2\right)\psi=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{c}}\left[{{i\hbar c}\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi -{{i\hbar c}\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\psi\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\overline{\psi}-\int^{\tau_2}_{\tau_1} d^4x_1m_0c^2\psi\overline{\psi}\right]\;</MATH>|31.39}}

Następnie policzmy wariację działania S względem funkcji własnej równania własnego Diraca zależnego od czasu, czyli funkcji &psi;, korzystając z definicji funkcjonału {{LinkWzór|31.39}}:

{{CentrujWzór|<MATH>\delta S_{\psi}={{i\hbar}\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}(\delta\psi)-{{1}\over{c}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4 x_1\left({{i\hbar c}\over{2}}\psi\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\overline{\psi}+m_0c^2\overline{\psi}\right)\delta\psi\;</MATH>|31.40}}

{{CentrujWzór|<MATH>{{i\hbar}\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}(\delta\psi)=

{{i\hbar}\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\overline{\psi}\beta{{\partial}\over{\partial t}}(\delta\psi)+{{i\hbar}\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\overline{\psi}\beta\alpha\nabla(\delta\psi)\;</MATH>|31.41}}

{{i\hbar }\over{2}}\left[\int d^3x_1\overline{\psi}\hat{\beta}\delta\psi\right]^{\tau_2}_{\tau_1}

-{{i\hbar }\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\partial_{\mu}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\hat{\alpha}\delta\psi-{{1}\over{c}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\left({{i\hbar c}\over{2}}\psi\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\overline{\psi}+m_0c^2\overline{\psi}\right)\delta\psi=\;</MATH><BR><MATH>={{i\hbar }\over{2}}\left[\int d^3x_1\psi^{+}\delta\psi\right]^{\tau_2}_{\tau_1}-{{1}\over{c}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\left(i\hbar c\psi\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\overline{\psi}+m_0c^2\overline{\psi}\delta\psi\right)\;</MATH>|31.45}}

{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATh>G_{\psi}(\tau)={{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1\psi^{+}\delta\psi\;</MATH>|31.46}}|2={{CentrujWzór|<math>G_{\psi^{+}}(\tau)=-{{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1(\delta\psi^{+})\psi\;</MATH>|31.47}}}}

Operatorowo zastępując wielkości klasyczne jej wielkościami operatorowymi, tzn. zastępujemy &psi; operatorem "pędu" {{Formuła|<MATH>\hat{\psi}\;</MATH>}} a &psi;⁺ operatorem "pędu" {{Formuła|<MATH>\hat{\psi}^+\;</MATH>}}, wtedy możemy napisać operatory Schwingera, tzn. {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\psi}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\psi^+}\;</MATH>}}, które są całkami zbudowanej na operatorach "pedu" i "położenia" względem współrzędnych położenia w czteroprzestrzeni:

Napiszmy rozwiązanie równania pola Kleina-Gordona i jego sprzężenie zespolone, przepisy ich są:

{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Phi(x,t)=e^{i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t}\;</MATH>|31.58}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Phi^{*}(x,t)=e^{-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k t}\;</MATH>|31.59}}}}

{{CentrujWzór|<MATH>-{{1}\over{c^2}}\omega^2+k^2=-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\Rightarrow

\omega_k^2=k^2c^2+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\;</MATH>|31.60}}

Wektor falowy, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|31.64}}, możemy przestawić w postaci ogólnego wzoru przy pomocy trójki liczb całkowitych podanej też w tej linijce:

{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{k}={{2\pi}\over{L}}[n_1,n_2,n_3]\;</MATH>|31.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>n_j=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,...\;</MATH>|31.66}}}}

{{CentrujWzór|<MATH>\Phi(\vec{r},t)=\sum_k\left({{\hbar\omega_k L^3}\over{m_0c^2}}\right)^{-{{1}\over{2}}}\left(b_k^-\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)+b_k^+\exp(-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k t)\right)\;</MATH>|31.67}}

Korzystając ze wzoru na "kwantowy pęd" {{LinkWzór|31.26}}, co możemy napisać wzór na "pęd" w zależności od położenia przestrzennego i czasu różniczkując {{LinkWzór|31.67}} względem czasu, stąd:

W obliczeniach w {{LinkWzór|31.82}} wyznaczyliśmy komutator operatorów kreacji według przepisu:

{{CentrujWzór|<MATH>[\hat{b}^+_k,\hat{b}^+_{k^{'}}]=0\;</MATH>|31.83}}

<noinclude>{{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}</noinclude><noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>