Logika i teoria mnogości/Aksjomat wyboru: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
m Poprawna forma to Twierdzenie Zermelo
Nie podano opisu zmian
Linia 12:
Zbiór wartości tej funkcji nazywamy selektorem.
 
{{Twierdzenie|tekst='''Twierdzenie Zermelo''' (o dobrym uporządkowaniu). Dla każdego zbioru A istnieje relacja < dobrze porządkująca zbiór A}}
 
{{Twierdzenie|tekst='''Lemat Kuratowskiego-Zorna'''. Jeśli dla każdego łańcucha <math> A\subseteq X </math>, gdzie X jest zbiorem uporządkowanym, istnieje element maksymalny, to X też ma element maksymalny. }}
 
{{Definicja3|Dla dowolnej rodziny zbiorów niepustych, jej produkt jest zbiorem niepustym.}}
 
Wykażemy teraz równoważność tych zdań. Aby to zrobić należy udowodnić kolejne implikacje. Niech więc na początek dane będzie
{{Twierdzenie|tekst=Twierdzenie Zermelo implikuje, że dla każdej rodziny zbiorów niepustych, parami rozłącznych, istnieje selektor.}}
Dowód. Niech <math> \mathcal{A} = \{A_t\}_{t\in T} </math> będzie dowolną rodziną parami rozłącznych zbiorów niepustych. Niech <math> \mathcal{U} = \bigcup\mathcal{A} </math>. Z twierdzenia o dobrym porządku istnieje dobry porządek < na zbiorze <math> \mathcal{U} </math>. Niech teraz <math> f:T\rightarrow\mathcal{U} </math> będzie funkcją taką, że f(t) będzie najmniejszym elementem w sensie relacji < zbioru <math> A_t </math>. Ponieważ <math> \mathcal{A} </math> jest rodziną zbiorów parami rozłącznych, więc f(T) jest selektorem tej rodziny. <math> \ \ \Box </math>